Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 9

Гл. х своводныв коливания Рассмотрим какой-лнбо полуцикл колебаний, который начинается при наибольшем отклонении А(0). В течение первой четверти цикла система движется 1 с постоянной энергией — сАю(0), и квадрат скорости в конце этой четверти цикла равен эю = — Аю(0). После а этого происходит соударение и вследствие этого — мгновенная потеря энергии на величину (2.46); далее система начинает движение, обладая энергией сА (О) Ьс 4ю(0) сА (О) (4 2Ь\ (2 4,у 2 а 2 ~ а/' которая остается постоянной в течение всей второй четверти цикла.

Поэтому, в момент, завершающий ату четверть цикла, потенциальная энергия равна величине (2.47): сА (Т/2) сА (О) (4 2Ь') 2 2 1 а/ Отсюда находим отношение отклонений в начале и конце первого полуцикла: А (О) 1 А (Т/2) )/1 — 2Ь/а Рис. 2.8 Для следующего полуцикла аналогично можно получить А А(Т/2) 1 А (Т) ')/1 — 2Ь/а Сравнивая наибольшие отклонения А(0) и А(Т), на- ходим А(0) 1 А (Т) 1 — 2Ь/а (2.48) которая характеризуется логарифмическим декрементом Л = /ст = )и —.

1 — 2Ь/а' т. е. отношение последовательных наибольших отклонений является постоянной величиной. Отсюда можно заключить, что огибающая кривой затухающих колебаний представляет собой акспоненту А=Асс "', я 3. нелинеипАя ВосстАнАВлиВАющАя силА 57 При малых отношениях 2Ь/а можно принять Л = 26/а. (2.49) Фазовая диаграмма для рассматриваемого процесса представлена на рис. 2,8; она состоит из отрезков оси д и эллиптических дуг. 5 3. Системы с одной степенью свободы при нелинейной восстанавливающей силе 1.

Общие понятия. В некоторых случаях перемещения прп колебаниях могут быть настолько значительными, что в разложении потенциальной энергии (1.6) необходимо учитывать не только член, содержащий д~, но и последующие члены. Иногда разложение (1.6) вообще не содержит квадратичного члена и начинается с члена выше второй степени.

Отметим также, что в некоторых системах потенциальная энергия, соответствующая положению равновесия, не ! имеет аналитического минимума п вообще непредставима в виде (1.6). Во всех этих случаях обобщенная восстанавливающая сила нелинейна и соответственно нелинейно дифференциальное уравнение движения. Простейшим примером может служить задача о больших колебаниях математического маятника (рис.

3.1). Голи принять за обобщенную координату ф угол отклонения маятника от вертикали, то переменная высота Ь, на которой находится груз, равна й 1(1 — соя ф), соответственно потенциальная энергия определяется выражением П = ™К и =- лгК1 (1 — соя ф) . При весьма малых значениях ф можно принять сояфж1 —— ф 2' после чего потенциальная энергия оказывается квадратичной функцией обобщенной координаты ф, и мы приходим к линейной задаче.

гл. г, своводнын колввания Такое представление становится недостаточно точным при значительных углах отклонения. Для точного решен!я нужно подставить в уравнение Лагранжа (1.1) дП вЂ” = ту(з(п сг. дг Так как кинетическая энергия равна у =в враг 2 то согласно (1 1) получится нелинейное дифференциальное уравнение ~р+ — з1п р =.= О. г В более общем случае дифференциальное уравнение имеет внд ау + Г(д) = О, (3.1) где дП Г(у) =— Дд + — =О. ' дг, ~И) дд а (3.2) представляет собой взятую с обратным знаком обобщенную восстанавливающую силу, являющуюся нелинейной функцией координаты о.

Зависимость Г(у) называют каигиупругой характеристикой или характеристикой жесткости. На рис. 3.2 показаны некоторые нелинейные системы с одной степепыо свободы и соответствующие нм характеристики жесткости, Среди приведенных здесь характеристик можно выделить характеристики симметричные (рпс. 3.2, а,б,е) и несимметричные (рис. 3.2,г), характеристики с разрывами (рис. 3.2, е), характеристики гладкие (рис. 3.2, а) и ломаные (рис. 3.2,б, е, г), 2. Точные решения. В отмеченных выше случаях исследование свободных колебаний сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения (3.1).

Выразив обобщенное ускорение через обобщеннуто сколе рость д =- д д, получим вместо (3.1) уравнение первого порядка, связывающее скорость д с коордннатой д: б 3 НВЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 59 Предположим, что система совершает колебательное движение, и выберем за начало отсчета времени момент, когда обобщенная скорость равна нулзо и достигается ,1 Рис 3.2 наибольшее отклонение системы от положения равновесия (д =А)"), *) При неманотонных зависимостях Р(д) и больших начальных возмущениях может оказгиься, что обобщенная скорость и нуль никогда не обращается, Так, например, если находящемуся 5 д.

ннлинейнАя ВОсстАнАВлиВАющАя силА В1 тельно, соответственно частота свободных колебаний определяет- ся формулой А й= — =и: 2" о 1г ~2) ~„, (3.6) й(Ч)оаа= 2 (А" — Ч )» ч А 1 ач ~/аа „1 ~ ЛТ 'о (Аоа оа) Р 1, т тча аи Заменив здесь 7'" =ф получим для входящего сюда ин- теграла следутощее выражение через гамма-функцию: по формуле (3.6) находим й = 1. (и) ~/ — А" ', 1 дт о Ф/1 — Тоа Окончательно (3.8) Изложенное решение не дает возможности найти в замкнутом виде закон движения д(1), но приводит задачу определения частоты свободных колебаний к квадратурам. Во всех случаях для вычислений по формуле (3.6) аффективно использование ЭВМ, хотя иногда их можно завершить и в аналитической форме. Остановимся на частном случае чисто нелинейной характеристики, которая не содержит линейного члена, РИ)=И'" ' (3.7) где р и п — постоянные.

Последовательно находим ГЛ, Х СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Где (3.9) Значения Уэ 1и) даны в следугощей таблице: 1,5 ~ 2 2,5 и ( 0,5 ) 1 ) 1,Ш1 ~ 10000 0,9149 ( 0,8472 0,7923 Из формулы (3.8) видно, что при пчь1 частота свободных колебаний зависит от их амплитуды. Типичная для нелинейных систем зависимость частоты от амплитуды не позволяет считать частоту параметром самой системы; поэтому длн нелинейных систем обычно пользуются не термином «собственная частота», а термином «частота свободных колебаний». Как мы видели, даже при сравнительно несложном виде зависимости (3.7) вычисления частоты приводят к неэлементарным функциям.

Чаще всего этп вычпсленпя Рис, З,З приходится делать приближенно, так как входящий в формулу (3.6) интеграл не сводится к табулированным функциям. Однако в некоторых случаях, когда нелинейная характеристика восстанавлива»ощей силы состоит нэ линейных участков 1рис. 3.3), можно получить независимое от (3.6) точное решение задачи о свободных колеба- е г ннлинвннля восстлнлвливлющля силл зз нпях, пользуясь способом поэтапного интегрирования (при пасов зевания) . Способ основан на последовательном решении ряда линейных аадач, относящихся к отдельным участкам, Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, условий перехода от этапа к этапу и условий периодичности.

Пусть кусочно-линейная характеристика системы симметрична и состоит из и участков, границы которых определяются значениями координат дм, дэз, ° ° . (в индексах указаны номера смежных участков, причем нумерация идет от крайнего участка к началу). Задаваясь, например, начальными условиями д(0) = Л, д (О) = 0 и интегрируя линейное дифференциальное уравнение, относящееся к первому этапу, мы сможем найти время движения на первом этапе Гь и соответствующую концу этапа скорость дьэ. Принимая известные значения ьььь и оьэ за начальные условия двпженяя на втором этапе, моьььно найти время двняьения ьэ н скорость Ь)эз в конце этапа.

Наконец, на и-м этапе, которому соответствует проходящий через начало координат участок характеристики, можно найти время с„прохоьььденпя и-го этапа (от его начала д„ь„до д=0). В данном случае па этом можно остановиться, так как ввиду симметричности характеристики н симметрии движения сумма найденных промежутков времени равна четверти периода свободных колебаний: Т 11+~2+ ' +1 4 Отсюда можно определить частоту свободных колебаний: 2п и — 2 — 2(, +ь ) > ь ).

(3.10) В случаях несимметричной характеристики необходимо продолжить определение отРезков времен 1„соответствующих отрнцательным значениям координаты д. Вы. чнсления заканчиваются в момент времешь, когда обращается в нуль скорость ь); сумма вычисленных таким образом отрезков времени равна полупериоду свободных колебаний. Конечно, уььье прн трех-четырех участках аналитические выкладки становятся громоздкими п необходимо обращаться к машинному счету на ЭВМ.

64 гл. 1. своБоднык колквания Изложенный способ, в принципе, можно применить и в тех случаях, когда заданная характеристика жесткости криволинейная; для этого нужно заменить ее ломаной, составленной из достаточно большого числа прямолинейных отрезков. Поскольку для дальнейших выкладок потребуются ЭВМ, здесь уместно напомнкть, что с помощью ЭВМ можно организовать и непосредственное вычисление частоты свободных колебаний по ранее полученному выраже-+,, (З.б).

— -1 ~ Пример 31, Найти частоту малых у свободных горизонтальных нолебаний круглого однородного диска, упруго закрепленного при помощи пруяривы с вертвкальной осью 1рис 3.4), Качение диска ср по горизонтальной плоскости происходит без скольжения, При вертикальном располоягевпи оси пружины, т, е. в положении рнвновесвя, натяжение пружины равно Рис.

3.4 пулю Обозначения: й — радиус диска, рп — его масса, 1 — длина пружины в ведеформяроваппом состоянии, с, — ее коэффициент жесткости. Пркннмая за обобщенную координату х горизонтальное перемещение центра диска, находим кинетическучо энергию: тх 1х Т = — « —., 2Лз Подставляя 1 = тЛР12, находим 3 Т= — тх 4 т, е, инерционный коэффициент равен 3 а = — т. 2 (а) Для определения потенциальной энергии пружины прежде всего найдем ее удлинение при горизонтальных отклоненинх верх- пего конца й1 = 1'Р.+ х' — 1.