Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 7

1,10 изменить оценки состояния равновесия как н е у с т о йчнвого: достаточно любого сколь угодно малого нарушения указанного специально выбранного возмущения, как система станет неограниченно удаляться от состояния равновесия. В данном случае отвеча»ощая положению равновесия особая точка (О, О) называется седлом. $ а систвмы с тгвнивм и известное соотношение дг» дт» дЧ будем иметь Я„= —,«~ р»т» »-д дг» чг» дт» магд р дд д дч Но так как дт» 1 д» дз» вЂ” = — —. (т»т ) = — —, де дв дв то дд д » Ь» дз» Лй 2 дв дд д %' О»з» ° ь» 2 дв »=д Входящая сюда сумма =2в 2 (2,3) формально сходна с выражением кинетической энергии и ее называют диссипативной функцией Рзлея.

Способ, использованный выше при построении выражения (1,4) для кинетической энергии, в данном случае также приведет к компактному выражению Р= — 2Ю 1 (2.4) где Ь вЂ” обоб»ценный коэффициент вязкости. Окончательно приходим к следующему выражению для обобщенной силы трения: дсР = — — = — Ьу. дв (2.5) д Так как по-прежнему Т= — адд, П= — сдг, то уравнение Лагранжа (2.1) принимает вид ад+ Ьд+ сд О.

(2.6) При не слишком больших значениях обобщенного коэффициента вязкости, когда Ь ( 2»'ас, общее решение гл, ь своводнын коливлния дифференциального уравнения (2.6) имеет вид д = е "(С,з(пй $+ Сзсозй 8), (2.7) где й= ь, й =~~й' — й', (2.8) а постоянные С~ и Сз определяются из начальных условий д(0)= уо, д(0)=до в форме то+ ьто й Сз=Чо. Другая форма решения имеет вид о= Ае ыгйп(й 8+сс), (2.9) где (т, + зт,), т,'у' ь' — а' 2 з +т ~е ь~ — ь~ то+ ьто Как видно из (2.7) или (2.9), движение представляет собой затухающие колебаиил с постоянной частотой, но Рис. 2Л постепенно убывающими амплитудами, так что процесс в целом характеризуется монотонным убыванием амплитуд (строго говоря, зтот термин относится только к незатухающему процессу гармонических колебаний) — см.

рис. 2А. 4 2., систзмы с тгвникм Огибающие кривой процесса определяются функциями А =~Аое "', (2. 40) где Аа — начальная ордината огибающей. Угловая частота свободных затухающих колебаний определяется выражением У 4ас — Ь 2а (2.И) соответственно длительность одного цикла составляет 2я 4яа г 4ас — Ь Чаще всего влияние трения на собственную частоту пренебрежимо мало, т. е.

можно принять Йа асс, Та ж Т. Последовательность максимальных отклонений следует закону геометрической прогрессии, так как согласно (2АО) отношение двух последовательных максимальных отклонений А(1): А(1+ Та), РазДеленных интеРвалом времени Та, является постоянной величиной, равной г~ '. Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декремгнтом; он равен Л = 72Та = ж =.

(2А2) 'г' 4ас — Ь 2/ас Логарифмический декремент служит удобной количественной характеристикой темпа затухания свободных колебаний. При достаточно больших значениях коэффициента вязкого трения, когда Ь ~21ас, общее репгение дифференциального уравнения (2.6) вместо (2.7) запишется в виде 1,1 221 д= С1г1 + Се', (2АЗ) где — Ь х 'г' Ь вЂ” 4ас 21,2 = 22 С 1 с — в 2 1 2 122 + 22 2 с — с 2 1 Постоянные интегрирования определяются через началь« ные условия выражениями гл,, х своводнык колввания Движение, описываемое выражением (2.13) — н е к олебательное (рис. 2.2); при любых начальных условиях величины д и д асимптотически стремятся к нулю. В случае, когда Ь = 2Уос (критическое затухание), решение дифференциального уравнения (2.6) имеет вид Ч = с ' [Чо+(йоо+ до)1] (2 14) и по характеру не отличается от показанного на рис.

2.2. Обратимся к представлет нию рассматриваемого двиа жения на фазовой плоскости у';-д и начнем со случая относительно малого трения (см. выражение (2.9)). Образуем выражение скорости д = Ас [й сов(й,ф+и)— — Ъ ьйп (й„,~ + а)] (2 15) и будем рассматривать систему (2.9), (2.15) как уравнение фазовых траекторий в параметрической форме. На рис.

2.3,а изображены две типичные фазовые траектории; они представляют собой спирали, накручивающиеся Рис. 2.3 на начало координат — особую точку, которая в данном случае называется устойчивъиа фокусом. В случае относительно большого трения, когда движение описывается решением (2.13), для скорости находим: ° $ ° Ф о = С1а,е ' + С,з,е 5 2. системы с тгкнинм Рассматривая (2.23) и (2.26) как уравнение фазовых траекторий в параметрической форме, приходим к фаэовой диаграмме, показанной на рис. 2.3,б. В данном случае начало координат является особой точкой типа устойчивый узел.

П р и и е р 2 1. По зкспериментальной виброграмме свободных колебаний некоторой системы с одной степенью свободы установлено, что за один цикл амплитуда умевьшаетск на 40 ой, Оценить, в какой мере трение в системе повлияло на частоту колебаний. Прежде всего находим логарифмический декремент 1 — 0,4 отсюда 0 511 0,511 г =з — — — — 'у йв — й*. Т 2п Решая зто уравнение, находим, что значение йт весьма малб по сравнению с йт: йз = 0,00661й'.

Соответственно частота колебаний йе У йй йз 0 997й отличается от собственной частоты системы без трения всего на 03%, Из етого примера видно, что даже прн заметном аатуханнв колебаний (почти двукратное уменьшение амплитуды за один цикл) силы трения незначительно влияют на частоту колебаний. 2. Нелкнейное трение. При обработке опытных виброграмм свободных затухающих колебаний чаще всего обнаруживается, что убывание амплитуд не следует закону геометрической прогрессии; это служит признаком того, что трение отличается от линейного. Нелинейная зависимость сил трения от скорости может быть описана различными аналитическими выражениями.

Примем, что обобщенная сила трения 0е пропорциональна и-й степени скорости, причем показатель степени н чв 1 зависит от конкретных свойств силы трения; эту зависимость записывают в форме (0.6) или в- эквивалентной форме д,=-ь|д~"-'д. (2Л7) В таком случае основное дифференциальное уравнение имеет вид ад+ ЬЦ!'-10+ сд О. (2Л8)' 46 гл,, ь своводныв колввания Точное решение етого нелинейного дифференциального уравнения получить в замкнутой форме невозможно, но существует ряд способов, позволяющих построить приближенное аналитическое описание движения.

Иаложим некоторые из них. Метод энерзетическозо баланса. Согласно атому методу предполагается, что искомое движение близко к гармоническому, но характеризуется медленно изменяющейся амплитудой и постоянной частотой, для которой можно принять значение Й, соответствующее консервативной системе без трения. Таким образом, рассматривая какой- либо один цикл колебаний и совмещая начало отсчета Рис, 2,4 времени с моментом, когда отклонение достигает максимума (рис.

2А), можно приближенно принять, что движение описывается функцией д = А(~)соз И, (2А9) где А(1) — медленно меняющаяся функция времени, т. е. АТ~А, АеА1с. Тогда в выражении обобщенной ско- ости р д = — Ай зш ах+ А соз Н можно пренебречь вторым слагаемым и приближенно принять д = — Айа1п И. По выражению (2Л7) образуем обобщенную силу трения: ф„= Ь (Ай)" ( зш И (" з)п й. Работа силы трения за рассматриваемый цикл равна т ° г И= ~Р,;дт= — Ы"+*~(А!игпи(1"+Ъ. о о 6 з, систкмы с ттвникм 47 В этом вычислении можно приближенно принять, что в течение рассматриваемого периода величина А неизменна.

Тогда получим тм в/а 77 = — 45(АД)в+г ) з[п"+'М1й1 = — 4ЬА"+Ч" ) э1п"+гфйф е о Входящий сюда интеграл обозначим буквой Х; он выра- жается через гамма-функцию Г (эйлеров интезрал второго рода), для которой имеются готовые таблицы: С помощью таких таблиц можно вычислить следующие значения Т в зависимости от показателя и: в ) 0 ~ 0,5 ~ 1,0 ~ 1,5) 2,0~ 2,5~ 3,0 Х ) 1,000 ~ 0,875 0,785 ~ 0,718 ! 0,667 ~ 0,624 ~ 0,589 Окончательно имеем 77 = — 4ЬА'+%"У(п).

(2.2[) П(Т) = — сАз(Т). Следовательно, приращение (отрицательное) потенциальной энергии равно ЛП = — с [А' (Т) — А' (О)] = — с [А (Т)+ А (О)) [А (Т) — А(0)). Сумму, стоящую в правой части равенства в первых скобках, приближенно заменим через 2А(0), а разность, входящую во вторые скобки, обозначим через ЛА. Тогда Полученное выражение равно изменению энергии системы эа рассматриваемый цикл.

Так как в начале и конце рассматриваемого цикла кинетическая энергия равна нулю, то изменение полной энергии определяется изменением потенциальной энергии П; конечно, при вычислении этого изменения необходимо учесть разницу между наибольшими отклонениями А (О) и А (Т). 1 В начале цикла П(0) = — сА'(О).

В конце цикла гл. ь своводныи колввзния 48 будет (2.22) (Здесь вместо А(0) можно написать просто А.) Приравнивая работу (2.21) приращению энергии (2.22), получаем уравнение в конечных разностях -45А "+')с"1(п) = еАЛА, или 4Ь (АЬ) 1 (л) с (2.23) Это уравнение связывает приращение (отрицательное) амплитуды за один цикл со значением амплитуды в начале этого цикла. Рассматривая огибающую как непрерывную кривую, описываемую дифференцируемой функцией времени А = А(ь),приближенно примем Т~4 2ььвА Тогда уравнение в конечных разностях (2.23) примет вид дифференциального уравнения для огибающей: ЫА 2ЬЬл+ту (л) л (2,24) аь яс При интегрировании этого уравнения нужно различать два случая: когда н 1 и когда п ль 1, В случае н 1 (линейное трение) согласно (2.20) 1 н/4, и уравнение (2.24) принимает форму — = — ЪА.

(2.25) Здесь Ъ = — = —. Решение линейного уравнения (2.25) ЬЬ Ь 2с 2в' имеет вид А-Аве ы (2.26) где Ав имеет смысл начальной ординаты огибающей. Таким образом, при и 1 мы приходим к прежнему (точному) результату (2.10). Хотя это совпадение относится только к огибающей (из-за различия между ьс и )св графики движения будут н е о д и н а к о в ы м и), но это убедительно свидетельствует в пользу приемлемости метода энергетического баланса. 3 3., систвмы с тгжнием В случае пФ1 уравнение (2.24) нелинейно, ио его точное решение затруднений не вызывает, так как переменные разделяются: АА 2ьье+г1 (и) сМ.