Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 36

Кще один примор системы, в фазовом пространстве которой возмоясеп странный аттрактор, показан на рпс. 16.2, в, Она представляет собой свободно вращающийся на осп ыасспвнь1й ротор, к фиксированной точке которого с заданным периодом Т прикладываются горизонтальные мгновенные конечные импульсы Я. Пусть непосредственно перед п-м ударом положение ударяемой точки определяется углом гр„, а угловая скорость ротора Равна ю„. Вследствпо приложения импульса угловая скорость приобретает мгновенное приращение (ЯМ)з1пгр мент инерции ротора относительно оси вращения) и и р д и пврвд 16ч 244 Гл.

1у, устОЙчиВОсть сОстояпий РАВиОВесия (и+ 4)-и ударом состояние ротора будет определяться углом 1э»~1 и угловой скоростью ю „и %»-»1 =% + ю».»17, и а1= и, +(ЯН/1)а1н 1р . С помощью этих рекуррентных соотношений можно проследить развитие процесса во времени. Как установлено, в определенном (довольно узком) диапазоне значений Яй)1 значения ю„образуют хаотическу1о последовательность, причем хаотизации движения не могут помешать силы трения, хотя соответствующий диапазон значений Я111 окажется несколько иным. 4. Заключительные замечания. Среди различных способов выявления странных аттракторов в конкретных динамических системах одним из основных следует считать численное интегрирование соответствующих дифференциальных уравнений.

Именно тан были получены результаты, приведенные в табл, на с. 240. Там было отмечено, что вычисления производились с точностью до десятого знака после запятой, но для большей компактности представленной таблицы в нее внесены аначения скорости, округленные до третьего анана. При атом особо подчеркивалось, что совпадение некоторых табличных значений скорости (например, при п = 7 и п =44) — лишь кажущиеся и поэтому последующие значения скорости (в том же примере начиная с и =8 и и 42) расходятся уже в третьем знаке. Тем самым обнаруживается неная неупорядоченность движения, которую можно трактовать как признак хаотичности и наличия странного аттрактора (разумеется, это признак недостаточно убедителен, хотя бы потому, что вычислениями охвачены лишь первые пятьдесят шагов процесса). Допустим теперь, что в процессе вычислений какие-то два значения скорости при и=и| и и пт точно совпали.

Тогда движение на интервале между шагами п1 и ит представляет собой некий, Возможно весьма длительный цикл, который затем будет повторяться. Такая повторяемость, казалось бы, свидетельствует об упорядоченности и отсутствии хаоса, Однако когда вычисления выполняются с конечным числом знаков, то раньше или поаже совпадение обязательно произойдет, Так, например, при неизменном значении целой части результата и учете девяти анаков после запятой можно получить не более десяти различных результатов, следовательно, совпадение неизбежно произойдет не позже чем через миллиард 9 !В.

СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ 245 шагов. Таким образом, при вычислениях на ЭВМ всякое движение рассматриваемого типа формально выглядит как упорядоченный процесс. Нужно предупредить читателя, что к этому заключению следует относиться с осторожностью. С практической точки зрения колебательное движение, цикличность которого обнаруживается лишь после десятков или сотен миллионов гпагов, естественно трактовать как случайный процесс. С теоретической же точки зрения существование цикла вообще остается недоказанным иэ-за ограниченной точности вычислений. ОИИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Среди многих книг, специально посвящеввых общим вопросам теория механических колебаний, в первую очередь следует отметить: 1.

Ба бак о в И. М, Теория колебаний — 2-е изд — Мз Наука, 1965. 2 Бидерман В Л. Теория механических колебаний.— Мд Высшая школа, 1980. 3. Мигули в В, В., Медведев В, И., Му стель Е. Р., П а р ы г и в В. И. Основы теории колеоавий.— Мх Наука, 1988. 4, С т р е л к о в С П, Введспие в теорию колебаний,— 2-е изд Мд Наука, 1964, Этим вопросам по вящевы также переводные книги: 5. Дев Г ар тог Дж П Механические колебания,— 2-е изд— М,." Физматгиз, 1960. 6, Тивго шеи ко С. П, Колебания в инженерном деле,— М: Наука, 1967, 7 К ив Н. То в г, Теория механических колебаний.— Мх Наука, 1963 8.

Цзе Ф, С,, Морзе И, Е., Хин кл Р, Т. Механические колебания — М: Машивостроевие, 1966. Проблемам нелинейных колебаний специально посвящевы квиги: 9 Лвдрояов Л. А., Витт Л Л„Хайкин С. Э. Теория колебавий — 2-е изд — Мд Физматгиз, 1959 Гй Боголюбов Н, Н,, Митропольский 10, Л, Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Мд Физматгиз, 1963, 11. Б у л г а н о в Б.

В Колебания.— М: Гостехвздат, 1954 (звачитсльвая часть книги отвосится и проблемам липейных колебаний). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 12, Б у те в ив Н, В., Не 6 марк 10, И., Фуфаев Н, А. Введение в теорию келивейных колебаний,— 2-е изд — Мл Наука, 1087. 13. М а ля и н И, Г, Некоторые задачи теории нелинейных колебаний,— Мл Гостехвадат, 1956, 14 Митропольски0 1О. А, Проблемы асимптотической теории вестацвоиарвых колебаний — Мс Наука, 1064, Более кратное изло;вские этой темы можио кайти в квигах: 15 Блакьер О.

Анализ нелинейных систем7Пер. с англ.— М: Мир, 1969, 16 Б у т е п и и Н, В, Элементы теории иеливепвых колебаний,— Лд Судпромгиз, 1962. 17. Как в ивгхэм В, Введение в теорию нелинейных систем/Пер с англ — Мд Экергоиздат, 1962. 18, Т е о д о р ч и к К. Ф Автоколебателькые системы — 3-е изд,— Мл Наука, 1965. 19. Хаяси Т.

Нелинейные колебания в физических системах.— МС Мир, 1968. Вопросы, связанные с параметрическими колебаниями и динамической неустойчивостью колебательиых систем, иаложепы в книгах: 20, Б о л о т и в В, В, Динамическая устойчивость упругих систем, — Мд Гостехиэдат, 1956. 21. Болотин В, В, Нековсервативиые задачи упругой устойчивости — Мс Фиэматгиз, 1961, Другим совремевпым задачам теории велипеввых колебаивй посвящены книги: 22.

Шмидт Г Параметрические колебания,— М: Мир, 1978 23, Б ле х м а в И. И. Синхронизация в природе и техвике— Мл Наука, 1981. 24, В ульф сов И. И, Кол овский М 3, Неливейпые за- дачи динамики машин,— Лл Машиностроение, 1968, 25. Ганиев Р, Ф., Кововекко В, О Колебания твердых тел.— Мд Наука, 1976, 26, К о л о в с к и й М 3, Неливейвая теория виброзащитпых систем,— Мл Наука, 1966, 27 Ко попевка В, О. Колебательвые системы с ограиичев- пьгм возбуждением,— Мд Наука, 1964, Проблемы случаввых колебаний разбираготся в киигах: 28.

Б о лоти и В, В, Случайвые колебания упругих сиате'г Мд Наука, 1979, СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 29 С ветлицкий В, А, Случайные колебания — Мх Машиностроение, 1976, 30. Случайные колебания/Пер, с англ, Под ред, С, Кренделла,— Мх Мир, 1967, О странных аттракторах см, [31, а ташке в книгах: 31, Неймарк 7О. И., Ланда П, С. Стохастические и хаотические колебания — Мл Наука, 1986.

32. Рабинович М. И, Трубецкое Д, И. Введение в теорию колебаний и волн,— Мл Наука, 1984, 33, Шустер Г. Детерминированный хаос/Пер. с англ.— Мл Мир, 1988. Общим вопросам теории механических колебаний, а так~ко различным практическим аспектам проблемы вибраций посвящен шеститомный справочник: 34, Вибрация в технине/Под ред. В. Н. Челомея.— Мл Машиностроение, 1979. ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ Автоколебания Гб — стационарные 215 Лвтоколебательные системы 17 Автопараметрические системы 10 Амплитуда 26 — комплексная 133 Амплитудно-частотная характеристика 107 Лмнлитудный спектр 136, 137 Лнтирезонанс 162 Лттрактор 208 — странный 208, 236 †2 Лэрогидроупругость 190 Балочная система 81 Биения 86 Вековой член 109 Вектор собственный 89 Виброгаситель динамический 163 Вибротранспортировка 8 Возбуждение кинематическое 9 Восстанавливающие силы 5 Вынуждающие силы 9, 101 Вынужденные колебания 8, 101 Гамма-функция 47 Гаситель колебаний динамический 163 Генераторы стохастичности 235 Гистерезис 54, 142 Главные координаты 77, 167 Граничные условия 30 Движение относительное 104, 105 Декремент логарифмический 43 Детерминированные функции времени 144 Диаграмма Айнса — Стретта 184 — устойчивости 179 — фааовая 20 Дивергенция 188 Динамическая жесткость 107 — — комплексная 133 Динамический гаситель колебаний 163 Диссипативная функция Рзлея 41 Диссипативные силы 17, 190 Дифференциальное уравнение для огибающей 48 Добротность (системы) 124 Единичные перемещения 78 — реакции 79 Жесткое самовозбуждение 207 Жесткость динамическан комплексная 133 — отрицательная 36 Задача идентификации 145 — обратная 145 — о дивергенции 189 — о флаттере 194 — оптимизации 145 — прямая 145 — синтеза 145 — Циглера 189, 202 Закон сохранения энергии 60 Затухание критическое 44 Затухающие колебания 42 Захватывание 231 Значение критическое параметра 36 — собственное матрицы 89 250 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Изгибные волебання 30 Изображающая точка 18 Импульсная реакция 111 Импульсы периодические 131 Инерционный коэффициент 23 Интеграл Фурье 138 Интегральное квадратическое уклонение 68 Интегрирование поэтапное 63, 156 Каноническая форма 76 Квадратическое трение 49 Кэазиупругая характеристика 58 Кзазиупругий коэффициент 24 Кннематические граничные условия 30 Кинематическое возбуждение 9 Колебания вынужденные 8 — затухающие 42 — изгибные 30 — мовогармонические 107 — основные 148 — параметрические Ю вЂ” продольные 33 — свободные 8 — субгармовические 148, 154 — супергармовнческие 148, 152 — устанозизщиеся вынужденные Ю7 Комплексная амплитуда 133 — динамическая жесткость 133 — — нодатливость 133 — обобщенная сила 132 Комплексное обобщенное перемещение 132 Координатные фунэщии 14 Координаты главные 77, 167 — нормальные 77 Корреляционная функция 146 Коэффициент влияния для перемещений 78 — зосставовлевия 158 — динамичности 107, 124 — инерционный 23 — кзазиупругий 24 — обобщенный вязкости 41 — — жесткости 24 — передачи силы 127 — расстройки 231 — собственных фюрм 87 — эквивалентный линейного трения 141 Кривая скелетная 150 Критерий Рауса — Гурэица 201 — Сильвестра 73 Критическая угловая скорость 200 Критическое затухание 44 — значение параметра 36 Кулоново трение 49 Линеаризация прямая 67 Лобовое сопротивление 189 Логарифмический декремевт 43 Масса обобщенная 23 — приведенная 23 Математическое ожидание 145 Матрица депфирозавия 99 — жесткости 89 — инерции 89 Метод гармонического баланса 69 — малого параметра 218 — медленно меняющихся амнлнтуд 50, 225 — Рэлея 14, 29 — 35 — точечных отображений 226 — энергетического баланса 46, 140, 216, 224 Модель Русакова — Харкевича 157 Моногармонические колебания Ю7 Мягкое самовозбуждевие 206 Нестационарные позиционные силы 1719 Неустойчивый предельный цикл 207 — увел 189, 191 — фокус 189, 191 Нормальные координаты 77, 167 Область притяжения 208 Обобщенная масса 23 — сила линейного трения 40 Обобщенные вынуждающие силы 15 — позиционные силы 15 — силы трения 16 Обобщгняый коэффициент вязкости 41 — — жесткости 24 пгкдмктный укАЭАтель 251 Обратный способ составления системы уравнений 74 Однородная система 82 Ортогональность собственных форм 89 Основной способ составления системы уравнений 75 Особые точки 21 Осциллятор хаотический Неймарка 236 Относительное движение 104, 105 Отрицательная жесткость 36 «Отрицательное трение> 180 Парадокс Циглера 203 Параметрические колебания 9 Параметрический резонанс 10, 172 Перемещения единичные 78 Переходный процесс 205 Период колебаний 26 Периодические импульсы 131 Периодическое изменение параметра 172 Петля гистерезиса 54 Плоскость фа>оная 18 Плотность спектральная 147 Подъемная сила 189 Портрет фазовый 20 Построение Ненигса — Ламерея 227, 228 По>таплое интегрирование 156 Преобразование Фурье 138 Приведенная масса 23 Приведенные вынуждающие силы 167 Припасовывание 63, 209 Продольные нолебания 33 Процесс переходный 205 Прямая линеаризация 64 Прямой способ составления системы уравнений 74 Реакции единичные 79 Реакция импульсная 111 Режим стационарный 2И Резонанс 109, 131 — параметрический 10, 172 Репеллер 208 Ротационное движение 60 Самовоабуждение 193 — жесткое 207 — мягкое 206 Свободные колебания 8 Седло 40 Сила кулонова трения 49 — обобщенная линейного трения 40 — подъемная 189 — чисто кубическая 65 Силовые граничные условия 30 Силы восстанавливающие 15 — вынуждающие 9 — диссипативные 17, 190 — нестационарные позиционные 171 — обобщенные вынуждающие 15 — приведенные вынуждающие 167 — смешанного характера 17 Система балочная 81 — однородная 82 Системы автоколебательные 17 Сьелетная кривая 150 Скорость дивергенции 190, 197 — критическая 200 — флаттера 197 Собственная форма 87 — частота 26 Собственное значение 89 Собственный вектор 89 Сопротивление лобовое 189 Спектр собственных частот 83 Спектральная плотность 147 Способ построения системы уравнений обратный 74 — — — — основной 75 — — — — прямой 74 — поэтапного интегрирования 63, 156, 209 — прямой линеаризации 67 Способы приближенного определения частоты свободных колебаний 66 Среднеквадратическое значение 148 Стационарные случайные функции 145 Стационарный режим 211 — — неустойчивый 227 — — устойчивый 227 Странный аттрактор 208, 236— 244 Субгармоника 154 252 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Субгармовические колебания 148, 154 Супергармовические колебания 148, 152 Точка изображающая 18 Точки особые 21 Траектория фазовая 18, 39 Трение квадратическое 49 — куловово 49 — линейвое 40 — зотрицательяоеэ 190 Угловая частота 26 Узел неустойчивый 189, 191 — устойчивый 44 Уклонение ввтегральвое квадратвчвое 68 Уравнение в конечных разностях 48 — Вав дер Поля 220 — дифферевциальвое для огибающей 48 — Лаграижа 75 — Матье 183 — Рзлея 204 — частотное 83 Условие сивхровиаации 235 — устойчивости 230 Условия граничные 30 — кивематические граничные 30 — начальные 63 — перехода 63 — периодичности 63, 118, 210 — силовые граничные 30 Устовчивость вращающегося вала 197 — равновесия 35 — стационарных режимов 222, 227 Устойчввый предельный цикл 205 — узел 44, 237 — фокус 44, 237 Фааавая диаграмма 20 — плоскость 18 — траектория 18, 39 Фазовый портрет 20 Флаттер 194 Фокус неустойчивый 189, 191 — устойчивый 44 Форма вынужденных колебаний 166 — каноническая кинетической энергии 76 — — котевциальвой авергии 76 — решения комклексвая 132 — собственная 87 Фувкции времеви детерминированные 144 — — случайные 144 — коордиватвые 14 — Матье 183 Функция диссипативная Рзлея 41 — корреляционная 146 — цевтрироваввая 146 Фурье интеграл 138 — преобрааовавве 138 Хаотический осциллятор Неймарка 236 Характеристика амплитудвочастотная 107 — жесткости 58 — квазиупругая 58 — частотная 133 Цевтрироваквая фувкция 146 Цикл предельный 205 — — неустойчивый 207 — — устойчивый 205 Частота собственная 26 — угловая 26 Частотная характеристика 133 Частотное ураввеиие 83 Эйлеров интеграл второго рода 47 Эквивалентный коэффициент ливейвого трения 141 .