Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Полученное выражение достаточно полно характеризует переходный процесс и, в частности, темп его приближения к стационарному режиму, Поэтому обычно опускают исследование изменения фазы ~р (впрочем, это сделать совсем пе трудно; в рассматриваемой задаче можно найти, что гр = О) . 5. Метод точечных отображений. Примеры, разобранные в пп. 2 — 4, показывают, что для оппсанил колебательных процессов в системах с одной степенью свободы не обязательно знать закон данжо~ил о =у(Е); практически достаточны рекуррентпые соотношения между последовательными амплитудами (см., например, (14.2) ). Как мы видели, для того чтобы связать значения двух последовательных амплитуд, нужно выделить типовой промежуток времени, на концах которого отклонения системы достигают максимума, и скорости равны нулю.
Далее изучается движение на этом промежутке времени и определяется амплитуда А в конце промежутка через амплитуду А в начале, т. е, образуется соотношение Л =1(А), (14.10) которое можно рассматривать как функциональную зависимость Я от А. Для зависимости (14.2) график (14.10) показан на рпс. 14.1, и. В данном случае график представляет собой прямую, потому что на типовом промежутке времени движение механической системы описывается линейными дифферепцвальнымя уравнениями.
В более общем случае график (14А0) оказывается криволинейным, как это показано на рис. 14.1, 6. Для того чтобы найти амплитуду стационарного режима колебаний (соответствующего предельному циклу), нужно в (14.10) положить А =А и решить уравнение А = /(А). (14.11) Графическое решение этого уравнения показано на рпс. 14.1, в.
Здесь кроме графика правой части (14.11), соответствующего ряс. 14Л, б, проведена биссектриса ко- 5 Рк ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ Н УСТОЙЧИВОСТЬ 227 ординатного угла, служащая графиком левой части (14.11). Абсцисса А„точки пересечения определнет искомую амплитуду стационарного режима. Такие графики позволяют не только найти амплитуду стационарного режима, но н найти переходный процесс. Для этого пользуются построением Кенигса — Ламерея, р А Аат А Ао Аст д а Рис, 14.1 которое состоит в следующем. Задавшись первоначальным значением амплитуды Ао, нужно отложить его на осн абсцесс, а затем построить ломануто Ао, Ан Вн Ам Вм ..., как это показано на рис. 14.1, г длн случая, когда начальное отклонение мало (Аэ(А„).
Как видно, эта ломаная в конце концов приводит к точке пересечения графиков — стационарному режиму. Можно убедиться, что если Аэ > А.„то переходный процесс постепенно приближается к тому же стационарному режиму. 6. Устойчивость стационарных реткнмов. Каждый из разобранных выше способов определении переходных процессов дает непосредственную возмоятность выяснить устойчивость (неустойчивость) стационарного режима нлн состонння равновесия. Прежде всего остановимся на системе с нелинейным трением, характеристика которого показана на рис, 13.5, а. Для этой системы стационарная амплитуда определяется выражением (13.11) в виде А„= аВс/1с(1 — р) ], а пе- ,Ф 223 гл.
Тс. устОйчиВОсть состояний РАВнОВесия реходный процесс — соотношением (14.2). Для того чтобы проверить устойчивость стационарного режима, полонсим, что он некоторым обрааом нарушен, так что амплитуда колебаний приобрела значение А„ + Лс, где Лс — начальное возмущение стационарной амплитуды. Тогда (14.2) можно записать в виде А„+ Л! =р(А„+Ло)+аЛс/с, сст 2ст А Рис.
14.3 Ло Аст Рис. 14.2 Здесь непосредственно видно, что возмущенное движение постепенно приближается к движению по предельному циклу. Для системы с двумя прсдельными циклами (см. рис. 13.4,а) построение Кенигса — Ламерея в принципе где Л~ — возмущение последующей амплитуды. В дальвойшем движении амплитуды колебаний будут подчиняться соотношению А„+ Л.
=~(А„+ Л„~)+ ссЛс~с, (14А2) в котором Л. с н Л вЂ” два последовательных значения возмущения амплитуды. Из (14.12) находим Л„= ~Л„В Отсюда видно, что поскольку р(1, то Л„< Л„,; убывание возмущений означает, что стационарный режим устойчив. Если для той же системы решение найдено методом точечных отображений, то об устойчивости стационарного режима можно судить с помощью построения Кенигса в Ламерея (см.
рис. 14.2) в окрестности абсциссы А„. З ы. пнгнходнын ш оцнссы и гстоячивость 222 выглядит, как показано |а рис. 14.3. Вид ломаных отчетливо обнаруживает устои швость первого стационарного режима и неустойчивость второго. В некоторых случаях имеет смысл изучать не последовательность амплитуд, а последовательность (также дискретную) максимальных значений скорости, такую, как, например, была найдена выше в виде (13.6). Применительно к этой зависимости возмущенное движение будет описываться соотношением ((+ -(- Л„= (д++ Д„) е — томь*+Я(а, в котором Лс н и ˄— последовательные значения возмущения скорости дт. учитывая найденное выше значение дс, из записанного соотношения следует Л„= Ле ге '~"~о~, т.
е. Л. ( Л„1 — стационарный режим устойчив. Коли стационарный режим найден энергетическим методом или методом Ван дер Поля из условия Ф(А)=0 (см. выражение (2.42) ), то наряду с этим режимом нужно рассмотреть возмущенный режим, т. е. смежное движение, характеризуемое амплитудами А„+ 6А; здесь 6А — вариация амплитуды, являющаяся некоторой функцией времени. Характер изменения 6А с течением времени позволяет судить об устойчивости исследуемого режима.
Поскольку возмущенный режим описывается соотношением (14.8),— конечно, с заменой А на А„+ 6А,— имеем Ю(4ст+ бА) ,—,", (А.,+6А) = ',"„+ '. (14.13) о Заметим, что — „, (А„+ 6А) = И (бА) Ф(А., + 6А) = Ф(А„)+ Ф'(А.,) 6А = Ф'(А„)6А, ° у Ф(А„)=0. Таким образом, соотношение (14.13) принимает вид Н (бА) чс (.4ст) бА сс 2ЛЬ Отсюда окончательно находим ф (Аст)С 6А = 6Аое о""о 230 ГЛ 1У УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РЛВНОВВСИЯ где 6Ао — начальное возмущение амплитуды стационарного режима. Если Ф'(Л,„) ( О, (14.14) то возмущения амплитуды будут асимптотически стремиться к нул1о, т, е. дан|пеппе будет приблиткаться к нарушенному стационарному рен|иму н последний является устойчивым. Если я1е 1Р'(А„)) О, то возмущения будут возрастать с течением времени п движение будет все больше Отклоняться от исследуемого стационарного режима; в этом случае стационарный режим неустойчив.
Таким обрааом, соотношение (14.14) представляет собой условие устойчивости стационарного режима. Так, например, для системы, описываемой уравнением Ван дер Поли (13.30), было найдено выражение Ф(А) в виде (14.0). Следовательно, Ф'(А) = рп(1 — — Ат); при А = А„= 2 имеем Ф'(2)= — 2ря(0, т. е. условие устойчивости (14Л4) выполнено — найденный предельный цикл устойчив. Иной результат получится, если дифференциальное уравнение движения механической системы имеет внд ад — Бу+ Лс з|нп 4) + сд = О.
(14.15) В отличие от условий примера, рассмотренного в начале п. 2 2 13 (см. уравнение (13.5)), в данном случае дестабилизирующей является сила отрицательного вязкого трения, а сила кулонова трения демпфирует колебания. Приводя уравнение (14.15) к виду (2,32), получим ь а Д Теперь по первой из формул (2.42) находим ЙЬЬ 4тт 1Р(А) ' в А о а а Приравняв этот результат нулю, определим амплитуду стационарных автоколебаннй: 4ДО Аст = — ' яав Однако этот режим неустойчивый, так как производная Ф'(А„) не удовлетворяет условию (14Л4): Ф(4 ) о 9 НЬ ЯВЛЕНИЯ СИНХРОНИЗАЦИИ Прн любом возмущении такого стационарного режима система либо будет стремиться к устойчивому в малом состоянию равновесия (А — 0), либо неограниченно удаляться от стационарного режима (А- ° ) — в зависимости от знака начального возмущения.
й 15. Явления сннхроннаации 1. Вступительные замечания. Всюду выше в зтов главе обсуждались явления, происходящие в а в т о н о м н ы х системах, когда движение происходит под действием снл, зависящих только от самого движе1Н1я. Определенный интерес представляют свойства движения автоколебательной системы, если на нее действует некоторая заданная вынуждающая сила. Рассматривая ниже в и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
