Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 34
Текст из файла (страница 34)
2 случай действия гармонической вынуждающей силы, мы установим, что прп достаточной близости периодов вынуждающеи силы и автоколебапий происходит спнхропизация — двпженпе происходит с периодом вынуждающей силы, а автоколебательцая составляющая движения оказывается как бы и о д а в л епн о й; существенно, что синхронизации происходит прп сколь угодно малой амплитуде вынуждающей силы. Иногда явление синхронизации называют з а х в а т ы в а н и е м. В и, 3 мы рассмотрим иной важный случай синхронизации, когда вынуждающая сила действует не на авто- колебательную систему, а на нелинейную систему, способную совершать «убегающне» движения.
2. Винхроннвация квавилинейной автоколебательной спстемы. Рассмотрим случай, когда на квазилинейную автоколебательную систему с одной степенью свободы действует гармоническая вынуждающая сила, причем частота ю силы близка к собственной частоте )го лпнеаризованной системы. Дифференциальное уравнение задачи имеет внд д — , ')г„у —. / (д, о) + — з1п оМ. 2, Р (15 А) Поставим задачу определения условий существования периодических движений с частотой возмущагощей силы ю. Для того чтобы воспользоваться ранее полученными соотношениями, введем лозффициеят расстройхи ье е — О 232 Гл. 1ч Устсичивесть состояпии Равноввсии т. е, примем йе = ве (1 + е), считая, что значение е мало по сравнению с единицей. Теперь можно переписать уравнение (15.1) в виде д+ в~(( = 1(д, ч) — ев ((+ — в1п в(» (15.3) Р в = — / [А сов (в( — (р), — Ав в(п (в( — в)) сов (вр — в)— 1 вА — ев сов' (в1 — <р) + — вйн в1 сов (в( — в) аАсо Соответственно вместо укороченных уравнений типа (2.41) получится Ф (А) Р сое <р А= —— 2кв 2ав Ч'(А) ев Ре(в<р Ц~ = — — + — ° 2яАв 2 2аАв ' (15.4) В рассматриваемом случае стационарного режима обе эти производные должны быть равны нулю: Наибольший интерес представляет значение амплитуды А.
Для его определения исключим фазу ер из уравнений (15.5); тогда получим /я )е Фе(А) + [Ч'(А) — яАв'е!' = ~ — ), (15.6) График получаемой отсюда зависимости А = А(в) пногда называют резонансной кривой. и, пользуясь основной идеей метода медленно меняющихся амплитуд, вновь будем разыскивать решение в виде (2.34), учитывая пренснее условие (2.35). При этом мы придем к соотношениям типа (2.39), но — соответственно правой части уравнении (15.3) — опи будут иметь несколько иной вид: А = — — ~ [А сов (в( — ~р), — Ав вйп (в1 — в)[ в1п (в( — срН- 1 Р + евА а(п (в( — в) сов(в( — <р) — — вйп в1 в(п (в( — в), 233 3 15. ЯВЛЕНИЯ СИНХРОНИЗАПИИ Вернемся к порвому примеру п. 2 3 13, когда на систему действует вынуждагощая сила Рзш 511, частота которой близка к собственной частоте лпнеарнзованной си- А„ аооа жала 2 3 а, Рис.
15.1 стемы. В соответствии с (13.7) (см. также рис. 13.52а) для этой системы Ь ((д, д) = — — о+ — 'з1ипд, и по формулам (2.42) находим яьо2 40 <(5( Ц 1+ о а а Ч'(А) = О. Следовательно, соотношение (15.6) принимает вид Удобно ввести безразмерные величины аа2 НЬы е =е — А =А— о Ь 2 о 4Л 1 о Тогда получим (1 — А )2+(е А )2 — Ро Отсюда находим )/Ро (1, )2 2 1+ 22 На рнс. 15А показаны графики зависимостей безраз- мерной амплитуды Ао от параметра расстройки еа про' 234 ГЛ, 1У. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ трех значениях безразмерной силы: Ре = 0,5; 1; 2.
Запгтрихованной области соответствуют неустойчивые решения, когда синхронизация не осуществляется (само исследование устойчивости здесь опущено). 3. Синхронизация маятника. Рассмотрим маятник с вертикально колебл1ощейся точкой подвеса (см. рис. 9.2, а), движение которой задано законом у=-Ав1пай (15.7) В главе П1 мы исследовали малые колебания такого маятника около положения равновесия; в частности, отмечалось, что в этой системе нижнее положение равновесия может оказаться неустойчивым, а верхнее положение — устойчивым, Здесь мы не будем заниматься изучением малых колебаний, а исследуем возможность н е п р е р ы в н о г о вращения маятника, поддерживаемого колебаниями оси.
Вращение со средней угловой скоростью е1, равной частоте колебаний оси, и представляет явление синхронизации в рассматриваемой системе: возмущающее воздействие (колебания оси) «навязывает» свой ритм движению системы. Таким образом, предполагаемый стационарный синхронизированный режим описывается законом 1Р = Ы вЂ” сс, (15.8) где 1р — угол отклонения маятника, сь — начальный сдвиг фаз. Обратимся к составлению дифференциального уравнения относительного движения, а затем с помощью этого уравнения выясним, возможен ли режим двиисения (15.8). В уравнение моментов относительно колебл1ощейся оси введем момент силы тяжести -ту)вш1р и момент линейного трения — Ь1р. Вроме того, в уравнение моментов следует ввести также момент переносной силы инерции.
Эта сила н является причиной синхронизации; оиа направлена по вертикали, и ее проекция на ось у равна — ту = тАю1в1п М. Момент переносной силы инерции относительно оси маЯтника составляет тАе1Чв1п1р в1п юй Таким образом, дифференциальное уравнение относительного движения з !6. стглнныв лттглктогы маятника запишется в виде пгРср = — ту) вш гр — Ьср+ тАогЧ вгп гр ып !ой (15.9) Для проверки возмоягности синхронизированного вращения маятника попробуем подставить (15.8) в дифференциальное уравнение (15.9): т( вгп(о!1 — сг) (Лег~ в!пег! — у)= Ьго. (15,10) Так 'как здесь левая часть переменна, а правая часть постоянна, то полученное соотношение тождественно не удовлетворяется. Это означает, что функция (15.8) не является точным решением дифференциального уравнения (15.9), т. е.
что равномерное вращение маятника н е в о з м о ж н о. Однако можно принять (15.8) в качестве приближенного решения задачи и, отказавшись от требования о тождественном выполнении равенства (15.9), ограничиться более слабым требованием о выполнении его е среднем. Именно в этом можно видеть применение той гке идеи, нагорая лежит в основе метода медленно меняющихся амплитуд.
Найдя среднее значение левой части соотношения (15.10) веге !о! ! гвгАог вгп (огг сг) (Лег~ вгп огг у) сгг 2 о приравняом его правой части того же соотношения. После этого получим сове! = 2Ь (15.11) Выражение (15Л1) позволяет найти сдвиг фаз; но еще более важно, что из этого выражения следует условие синхронизаггии (захватывания) 2ь 1 мгАм Как видно, чем больше дебаланс маятника т1 и максимальная скорость Аог колебаний осп маятнкка, тем легче осуществляется синхронизация. Ваягный фактор, который может воспрепятствовать синхронизации,— это трение в системе, характеризуемое коэффициентом Ь; чем больше трение, тем труднее досгпгаогся синхронизация. 23б гл.
1ч. устОйчиВОсть сОстОяний РАВИОВксия В 16. Странные аттракторы 1. Генераторы стохаетичности. До недавнего времени считалось, что единственной причиной случайных колебаний механических систем служат те или иные внешние (чвходныеа) воздействия — случайные вынуждающие силы (см., например, стр. 144 — 148), случайное кинематическое возбуждение, случайное изменение параметров системы в процессе ее движения и т. и. При этом механическая система представляется как некий трансформатор стохастичности, преобразующий случайность на входе в случайность на выходе; полагается как бы очевидным, что с исчезновением случайности па входе и стремлени-! ем к нулю дисперсии входного воздействия исчезает случайность и на выходе, а дисперсия на выходе также стремится к нулю.
Соответственно изучение случайных колебаний сводится к определению связи между вероятностными характеристиками выхода с вероятностными характеристиками входа (см., например, соотношение (6.66))*). Однако совсем недавно выяснилось, что иногда случайные колебания могут происходить в полностью детерминированных механических системах, которые таким образом оказываются уже не трансформаторами, а генераторами стохастичности.
Колебания в таких системах непредсказуемы в точном смысле этого слова, но допускают описание с помощью вероятностных характеристик. Возникновение стохастичности в детерминированной системе — поразительный факт, возможность которого трудно согласуется с традиционными представлениями. Тем не менее зта возможность твердо установлена как средствами строгой теории, так и убедительными экспериментами; выяснено также, в каких случаях механическая система может оказаться генератором стохастичности (отметим, в частности, что генераторы стохастично. сти — зто всегда нелинейные системы, но, разумеется, не любые). Обнаружение генераторов стохастичности по его значению для науки и практики справедливо уподобляют открытию регулярных автоколебаний. *) Такая трактовка возникновения стохастичиости относится к динамическим системам любав природы — электромеханическим, радиотахиическим, биологическим, экоиомическим и т, и, $ !з.
стглннын АттРАктогы С появлением нового понятия несколько расширились представления о типах аттракторов в фазовом пространстве. Прежде считалось, что в фазовом пространстве любой динамической (в частности механической) системы могут существовать аттракторы только двух описанных выше типов — устойчивые особые точки (устойчивый фокус, устойчивый узел) и устойчивые предельные циклы. Теперь установлено, что наряду с ними в некоторых случаях существуют аттракторы особого рода — не точки нли линии, а некоторые с п л о ш н ы е з о н ы фазового пространства, к которым притягиваются фазовые траектории, находящиеся в окрестности таких зон; эти зоны принято называть странными аттракторами.
Фазовые траектории, начиниощиеся в области притяжения странного аттрактора, постепенно приближаются к нему, причем изображающая точка, попав в зону странного аттрактора, далее уже не выходит нз нее, по вместо повторяющегося движения, типичного для предельного цикла, совершает в этой зоне хаотическое движение, лишенное свойства повторяемости. В понятии странного аттрактора причудливо сочетаются свойства неустойчивости н устойчивости, С одной стороны, движение изображающей точки в зоне странного аттрактора неустойчиво, с другой стороны, условно можно сназать, что система в зоне странного аттрактора обладает свойством у с т о йч ив ости в цел о м: если после некоторого начального возмущения изображающая точка вышла за пределы странного аттрактора, но остается в области его притяжения, то фазовая траектория вернется в эти пределы (тем более, если изображающая точка после начального возмущения не выведена за пределы странного аттрактора, то она н далее будет оставаться в этих пределах).
Дальнейшее изложение посвящено разбору конкретных примеров. В п. 2 рассматривается простейший н весьма наглядный пример, когда странный аттрактор обнаруживается на фазовой плоскости; в некотором смысле — это исключительный случай, потому что, как правило, странные аттракторы возможны при условии, что фазовое пространство системы имеет размерность не менее грех. В п, 3 приводятся примеры странных аттракторов в трехмерном фазовом пространстве (для неавтономных систем с одной степенью свободы). 238 гл. гч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
