Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 30
Текст из файла (страница 30)
13.3, а. Здесь также существует предельный цикл Л, однако он неустойчив, так как все окрестные фазовые траектории удаляются от — — — л — — и м Рнс, $3,3 Рвс, 13,4 него — либо внутрь, к началу координат, либо вовне (в зависимости от располонгенпя начальной изображающей точки). Эти траектории на рпс. 43.3, а обозначены цифрами 1 и 11. Вообще иеустойчивьиии предельными циклами называются такие изолированные замкнутые фазовые траектории, от которых удаляются все расположенные в нх окрестности другие фазовые траектории.
Кривые, характеризу1ощие приток энергии Е~ и энергетические потери Е-, показаны на рнс. 43.3, б; здесь яче стрелками показаны тенденции движения при различных амплитудах колебаний. Такая система может служить примером системы с жестким самовозбуждеиием, поскольку возрастающие колебания возникают лишь после достаточно больших начальных возмущенкй.
293 ГЛ. 1У. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИИ РАВНОВЕСИЯ В более сложпых случалх воэмолы1о сущоствоваппе Вескольких вредельпых циклов. Так, длл системы, описываемой дпфферевциальпым уравнением ац — Ь!Ч + Ьздэ — Ьздз + ео = 0 (13.4) (а > О, Ь1 > О, Ьз > О, !М > О, е > 0), фазовал диаграмма имеет впд, показанный па рис. 13.4, а, а эвергетичоские кривые давы па рис. 13.4, б.
Во всех рассмотренных случаях можво заметить чер е д о в а и и е устойчивых и веустойчпвых стационарных состолвий: па рис. 13.2, а пеустойчивал особая точка окружепа устойчивым предельным циклом, Ва рис. 13.3, а устойчивая особал точка окружена неустойчивым предельпым циклом, ва рис. 13.4, а Веустойчпвал особал точка окружена устойчивым циклом Ап который в свого очередь располагаетсл внутри пеустойчивого предельного цикла Аз (длв последнего случал Ва рис.
13.4, б показапы эпергетические кривые). Можно сказать, что устойчввые состолвил раввовеспл и устойчивые предельные циклы притягивают к себе лежащие в их окрестностлх фазовые траектории и по этому существенному прививку пазыва1отсл аттрапторами (от английского глагола 1о а11гасе — притлгивать). Нитке, в З 16 будет рассмотрел аттрактор иного рода со столь удивительвыми свойствами, что его Вазывают странным аттраптором. Каждому аттрактору на фазовой плоскости соответствует определелпал область притялеения, причем границами между зтимп областями служат неустойчивые предельные циклы (ипогда такие циклы, а также неустойчивые состолпия равповеспл Называют репеллерами — от английского глагола го гере1 — отталкивать).
Эта картипа подобна тому, как Ва земпой поверхности границы между бассейнами рек проходят по липилм водораздела. При простой структуре фазовой диаграммы, когда существует едипствеппый аттрактор — устойчивое состолппе равповесил как па рпс. 2.3, илп устойчивый предельпый цикл как па рис. 13,3 — его областью лрптяжонлв служит вся фазовал плоскость. В более сложных случалх стремлеппе возмущенного двпженвл к хому или иному аттрактору зависит от того, в какой пз областей притялгеипя оказалась изображающал точка при пачальпом возмущении.
Так, для системы с двумя предельвыми циклами (рис. 13.4) часть фазовой плоскости, располочселвая внутри пеустойчивого предельного цикла Лм Яв- 5 13. стАциоиАРные РежиМы и пРеделызЫе циклы 209 ляетсн областью прптяжеш1н к аттрактору Аь а часть фазовой плоскости, расположенную вие предельного цикла Аю можно считать областью притяжения к бесконечности. Изложопные представления отпосятся к автономным системам с одной степенью свободы, по могут быть распространены па более сложные системы путем перехода от фазовой плоскости к фазовому пространству более высокой размерности. В частности, для неавтономных систем с одной степеньто свободы пользуются представлением о трехмерном фазовом пространстве, причем координатами изображающей точки служат величины 1Е, д н й Фазовое пространство для автономной системы с двумя степенями свободы оказывается четырехмерным и т. д.
Е(онечно, в этих и еще более сложных случаях представления о фазовых диаграммах лиша1отся простоты и наглядности, которымн обладают эти диаграммы па фазовой плоскости. Дальнейшее содержание настоящего параграфа посвящено способам определения стационарных режимов; анализ устойчивости (неустойчивости) таких режимов, т. е.
выделение аттракторов п репеллеров, рассматривается в следующем параграфе. 2. Способ поэтапного интегрирования для кусочно- линейных систем. Как мы видели выше, в нелинейных системах с кусочно-линейными характеристиками удобно разделить весь процесс движения на последовательность интервалов, в каждом из которых дифференциальное уравнение линейно и легко решаетсн в замкнутом виде. Тогда задача сводится к последовательному решению нескольких дифференциальных уравнений и прин а с о в ы в а п п ю найденных решений путем согласования значений координаты и скорости на границах интервалов.
В качестве первого примера рассмотрим систему с вязким трением, на которую в моменты прохол1деппя через положение равновесия с полоя1нтельной скоростью (1Е = О, д ~ 0) действуют мгновенные импульсы Я, направленные в сторону движения (см., например, рис. 0.2,б). В промежутках времени между двумя последовательнымп импульсами двил1ение системы описывается дифференциальным уравнением (2.6), решение которого примем в форме (2.7).
Входящие сюда постоянные определяются услозиямп в начале рассматрпваемого 44нгп 210 гл гт устопчиность сОстОяний РАВИОВипип и-го пропев утка д(0) -.= О, й(0) = д,+,: Таким образом, дли о и д имеем о = (д~-(й ') е — м з1п й Г; (13.5) д .= у+с м [сов)е à — (Ь/йа) гйп)еац). В последппй момепт п е р е д приложением очередного (и+1)-го импульса, т, е, при С =2п()еа, обобщепиая скорость равна а = д+е-за~па ба+ г уи Следовательпо, кспосредствеппо и о с л е прпложепип следуеощего импульса дч = — д,, + — =- у~те еа"~ее + —. (13.0) Я Я В стациоиарпом режиме, т.
е. при двпжепгш по предельпому циклу, должно быть д+,, =- д„'~; из этого условииип периодичности следует выраекеиие для обобщенной скорости сразу после приложении любого из мгиовенпых импульсов: Я а (1 — е за"'ее) Соответственно длп обобщенной координаты паходим Я ~тех ад (1 — е езеже) Энергия, рассеиваемая в рассмотренной системе за времи свободного движения между двумя последовательными импульсами, мгновенно восполппетсп благодарп скачку скорости в момент приложения импульса. Сходными автоколебателькьсми свойствами обладает система, в которой иарпду с обычной силой ввзкого трении действует сила отрицательного кулоиова трепля. Характеристика трения показана на рис.
13.5, и, так что дпфферепцпальпое уравнение движении имеет впд ад+ Ьд — Воз1ипд+ сд = О. (13.7) 5 13 стлциопАРпые Рвжимы и пРкцкльпык циклы 211 Здесь причиной самовозбуждепия колебаний служпт отрицательная сила кулонова трения. 11рп малых отклопепиях системы от состояния равновесия влияние указанной силы значительнее демпфнрующгго влияния силы вязкого трения и состояние равновесия неустойчиво. Однако при дальнейшем развипш колебаний этп влияния сравняются и установится стационарный режим автоколебаиий (рис, 13,1, б).
После большого вачального Рпс. 13.5 отклоиеппя (рпс. 13,1, е) постепенно устанавливается тот .Ке стацпонарпьш режим. Рассмотрим какой-либо пптервал процесса, в котором координата убывает (см. па рпс. 13.5, б интервал, отмеченный чяслаип О и 1/2); иа этом шггервале дифференциальное уравнеппе (!3.7) принимает форму а1)'+ бд+ с11 = — Ло, и его решение прп начальпых условиях до = Ао, до =- О имеет впд 11 =-. (А + — о/е — "'(соеУс 8 + — зш й 8) — — ". Далее находим скорость д =--- — (А + — о1Е А' — В1П)1 А (обозначения соответствуют прпввтым в $ 2). В точке 172 скорость обращается в нуль, и этому момевту соответствует равепстго 'го11!о 212 гл.
ту. устОйчиВОсть состоянии РлВповксия причем координата о принимает значение оЛ оЛ~ д = Аио = — А„е "" — — о~1-~ е ~*/. (13.8) На следующем интервале времени 1/3 — 1 скорость положительная, и пз уравнения (13.7) имеем ад + Ьд + од = тто. (13.6) Для этого интервала времени ирп смещенном в точку 1/2 начале отсчета получим ло~ ь . о (А ~ о ) с — ы~соз)с 1+ в1в)о т) + с ) д =- — (А . — — о) е —" —, в(п )с т.
В состоянии 1, когда д1=0, )с 1, == я, координата о равна оЛ оЛ1 л„( оао / оЛ1 о Аь' — Аое * .Р— "~1+ е ), (13.1О) причем длительность одного цикла (период автоколебанпй) составляет йя~К„,. И стационарном режиме долокпо быть Л1=Ло=Ас, Отсюда находим Ло (1+ с "' о'о)о + ст = с $,— озЛ/Ло' (13.11) При малых значениях отношения ЬА„можно припять 2Л Лс Аст —.= — о лса В качестве третьего примера рассчотрпм систему, показанную па рпс. 13.6, а, Опа состоит пз равномерно движущегося ведущего звена 1, приводящего через пружину 2 в движение груз 3, Между грузом и поверх- Подставив с1ода выражение (13.8), найдем связь меясду двумя последовательными положительными отклонениями: 5 !3 стхциопАРнык Ркжимы и пгкдкльнык циклЫ 2$3 иостыо, по которой он скользит, развиваетсл сила сухого тренин; характеристика трения имеет вид, показанный па рис. !3.6, б, и схематически о!ражает известное из экспериментов различие между предельной силой тренин покои и силой трогши движшшл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
