Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 29
Текст из файла (страница 29)
+ Ь„= О. для того, чтобы среди его корней пе было нп одного с положительной вещественной частью, необходпмо и достаточно выполнение неравенств ~ь, ь~ д 2 ь ь ... о Ь Ь ... 0 ЬО о о В частности, для характеристнчоского уравнения т р е т ь е й с т е и е и п условия Вауса — Гурвпца име- ЮГ ВПД Ьо > О, Ь| > О, Ьт > О, Ьз > О, Ь!Ьз — Ьеьз > О, а для уравнении четвертой степени — впд Ь>О, Ь>О, Ь>О, Ь,>О, Ь>О, Ь,ЬзЬ вЂ” Ь,Ь, '— Ь,'Ь, ) О, (12Л2) В качестве примера рассмотрим плоскую систему типа двойного маятника (рис. 'г2.7) с вязкоупругпми шарнирами в точках О и 1.
Массу системы будем считать сосредоточенной в точках 1 и 3. В точке 3 на систему действует «следящая» ! сила Р, направление которои сов- ~р ! падает с осью стержня 1 — 2 при любых отклонениях системы. Обозначим: Ь и с — коэффициенты ( 9) вязкости и жесткости п|арнпров, 2 т~ — — 2т п тт = т — массы, со- Р средоточоппые в точках 1 и 2, рис. Т2,7 1 — длила каждого пз стеря.- нен, ~р1 н ~уз — углы отклонения стержней от положения равновесия, принимаемые за обобщенные координаты.
Силы тяп~сети для упрощения задачи учитывать но будем. 1!3. стхттионтРные Ре'кимы и пггдельпые циклы 2б3 В данном случае условия Рауса — Гурвпца (12.12) приводят к следующим неравенствам: 45 с, 1 Ь 1) Ь)0; 2) Р( —— 14 1 2 ~1э' З) Р( — — + — —.,; 4) си~О. 41 с 1 Ь 2Б 1 2 Рпэ Первое и четвертое неравенства выполняются автоматически, а из двух остальных неравенств более жестким является третье. Оно позволяет найти критическое значение силы 41 с 1 Ь Рв ='= + КР 22 1 2 1в и если Ь = О, то Рс„= 1,464 сД. В эакл1очееие отметим, что если бы в данной задаче с самого начала положить Ь = 0 и определять крптпческу1о силу подобно тому, как это было сделано в п.
3 (пз анализа бнквадратпого уравнения), то для критической снлы получится иное (неверное) значение РРР—— 2,086 —. Это несоответствие составляет содержание так называемого п а р а д о к с а Ц и г л е р а, на оосужденпе которого мы здесь останавливаться не оудем. е 13. Стационарные режимы и предельные циклы 1. Общие понятия. Для суждения об устойчивости состояний равновесия выше мы пользовались лннеарпзованными уравнениями, описывающими малые движения в окрестности этих состояний. Такой анализ позволяет уловить начальные тенденции возмущенных движений, но — в случаях неустойчивостп — не позволяет проследить дальнейшее развитие процесса двнжония при возрастании отклонений.
Исследование движения вв большом» в принципе невозможно с помощью лппоарпзованиых уравнений: нелинейныо члены уравнений, будучи пренебренспмо малымп при малых отклонениях системы от состояния равновесия, начинают играть все более заметную роль при увеличении отклонений; прп этом впд нелинейности существенно влияет на развитие процесса с возрастанием вре- 1!3. стхцион>Рные Режимы и пРеделы!ые циклы 203 В данном случае условия Рауса — Гурвица (12.12) приводят к следующим неравенствам: 45 с, 1 Ь 1) б)0; 2) Р( — ' — + — —; 14 1 2 м1>' Первое п четвертое неравенства выполняются автоматически, а из двух остальных неравенств более жестким является третье.
Оно позволяет найти критическое значение силы 41 с 1 Ь РР 2Я 1 9 1> н если Ь = О, то Р„„= 1,464 СД. В заключение отмеп1м, что если бы в данной задаче с самого начала полоятпть 6=0 и определять крптпческу1о силу подобно тому, как это было сделано в п. 3 (из анализа беквадратпого уравнения), то для критической силы получитсн нное (неверное) значение Р>Р = 2,086 —. Это несоответствие составляет содержание так называемого п а р а д и к с а Ц и г л е р а, на обсуждение которого мы здесь останавливаться ее будом.
й 13. Стационарные режимы и предельные циклы 1. Общие поинтия. Для суждения об устойчивости состояний равновесия выше мы пользовалась лннеаризованными уравнениями, описывающими малые движения в окрестности этих состояний. Такой анализ позволяет уловить начальные тенденции возмущенных двшкенпй, но — в случаях неустойчивости — не позволяет проследить дальнейшее развитие процесса движения при возрастании отклонений, Исследование движения ав большом> в принципе невозможно с помощью линеаризованных уравнений: не:шнейные члены уравнений, будучи пренебрежимо малыми ирн малых отклонениях системы от состояния равновесия, начинают играть все более заметную роль при увеличении отклонений; при этом вид нелинейности существенно влияет на раавитие процесса с возрастанием вре- 204 Гл 1у.
устОйчиВОсть состос!пни РАВПОВесия мани. В частности, во многих случаях возрастание колебаний постепенно замедляется и двизкенио стремится к некоторому стаи,иоиарсшсму релеилсу — режиму аетоколебаний. В общих чертах природу этого явления можно понять с помощью качественных соображений, ке прибегая к количественному исследованию. Рассмотрим, например, колебательную систему с трением, когда характеристика трения описывается нелниейнои функцией скорости Л(у) = — Ь!с) + Ьздз (рис.
13.1, а). Дифференциальное уравнение движении (у р а вне пие Рэлея) имеет вид ад — дскб + Ьзс)' + сд = 0 (а)0, Ь! )О, Ьз)0, с)0). а 1!рп малых отклонениях от состояния равновесия основ--"сс пое значение имоет линей- ный член силы трения, кото- С рьш в данном случае оказывает дестаоилпзнрующ е е действие: пз-за этого состояние равновесия неустойчиво. и сколь угодно малые начальные жсзиущепия вызовут постепенно возрассающпе колобаяия (об этом Лес см. Выше и связке уразнопяем (1о.3) ).
По прк этом будет увеличиваться д е м и ф ир у ющ е е влияние кубпчоского члена, так что рост колебашгй станет замедлять- 6 ся и движение будет с тре- 1'вс, 13.1 мпться к режиму автоколе- банпп, характерсюуемому постоянным значением амплитуды; в цолом движение оудет развиваться так, как:сто показано на рпс. 13.'1, о. При достаточно больших начальных возмущениях рассматриваемой системы демпфкрующее действие кубического члена вначале окажотгн значительнее, чеи дестабилизирующее действие линейного члена, т. е.
колебания 5!3. стациоплгпык Ре)кимы и пгвдвлы)ыв циклы 205 в начале процесса будут затухать. Однако с уменьшением колебаний относительное влиянпе кубического члена будет также убывать, т. е. движение станет стремиться к тому же стационарному режиму, который характеризуется балансом противоположных влияний (рис. 13.1, в). Эти два случая движения удобно иллюстрировать на фазовой плоскости (рис. 13.2, а). Кривая 1 соответствует движению, возникающему после малых начальных возмущений, кривая П вЂ” движени)о, начинающемуся после значительных возмущений; обе эти кривые описывают переходный ироцесс.
Замкнутая кривая Л, к которой неограниченно приближаются кривые типа 1 и Х1, описывает стационарный режим автоколебаний и является устойчивыл предельнь м циклом. Вообще устойчивь)ми предельными циклами называются изолированные замкнутые фазовые траектории, к которым неограниченно прибли)ка)отса все расположенные в пх окрестности другие фазовые траектории. у Сопоставляя демпфирующпе и дестабилизирующие влияния, мы, в сущности, IУ имели в виду постепенное изменение энергии системы вследствие работы, соверша- л смой различными составля)ощпмн силы трения. Дестабилизирующие слагаемые совершают положительну)о работу и увеличивают энергию системы, а демпфирующие Е слагаемые совершают отрицательную работу, т.
е. уменьшают энергию системы. На рнс. 13.2, б схемати- 5 чески показаны вклады обо- Рнс. 13.2 цх слагаемых, рассчитанные эа один период; Е) — приращение энергпп, вызываемое действием линейного слагаемого силы трения, Š— абсолютное значение изменения энергии, вызываемого действием куопческого слагаемого силы тршшя. Как видно,этп вклады, и притом в пооднпаковой мере, зависят от ))г)пьИ- туды колебаний. Прн малых амплитудах имеет место нсга- 206 ГЛ 1У УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОННИЙ РЛВПОВЕСИЯ венство Еь ) Е, т. е.
происходит приток энергии в систему и амплитуды возрастают, пока не будет достигнут стационарный рея|им, характеризуемый амплитудой А„. Если вследствие больших начальных возмущений колебания начинаются с амплитудами, ббльшими чем Л„, то равность Ет — Е- отрицательная и колебания убывают, стремясь к тому н е стационарному ре|киму. Возможные тенденции движения показаны стрелками под осью абсцисс. Такими же свойствами обладает и система, описываемаядифференциальным уравнениемем В ан де р Поля д — п(1 — д') д + д = О (13.2) (р — постоянная). Положим, что после некоторого малого начального возмущения начпна|отся колебания с малымп амплптудамп. Пока колеоанпя малы и выполняется неравенство д' ( 1, второе слагаемое уравнения (13.2) оказывает, по-видимому, дсстабп.лпзпру|ощее действие, и колебания будут возрастать.
Но с |Гх увеличением укаванное неравенство станет нарушаться и коэффпционт прн д будет по:шжптельным в тех интервалах времени, в которых дг) 1. В этих интервалах времени второе слагаемое левой части (13.2) будет оказывать деппфиру|ощее влияние. При дальнейшем возрастании колебаний демпфпрующее действие будет увеличиваться н движенпо системы станет прпблпжатьсн к стационарному режиму, которому соответствует взаимная компенсация дестабилизирующего н демпфпрующего влияний. В целом процесс установления оудет протекать соответственно рис. 13.1, б и и, а также рнс.
13.2, а н б. Подооные случаи, когда возрастание колеоаний происходит после сколь угодно малых начальных возмущений состоянии равновесия, называются случаями мягкого самоаогбуждеиия. Наряду с этим существуют системы с противоположными свойствамп. Такова, например, система, описываемая дифференциальным уравнением ад+ Ь!д — Ьзд'+ сд = О (13.3) (а ) О, Ь| ) О, Ьз ) О, с ) О), Здесь знаки слагаемых силы трения противоположны знакам в уравнении (13.1).
Поэтому" если начальные Возмущения малы, то колебания будут затухать (начало координат нвляется устойчивым фокусом), но если начальные возмущения достаточ- Р 1з стлционлгныв Режимы и пгвдвльные цикпы 207 но велики, то амплитуды колебаний будут неогра1шченпо увеличиваться. В атом случае фазовая диаграмма имеет вид, показанный на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
