Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Во всех изучаемых здесь случаях рассматриваются только малые отклонения системы от состояния равновесия, т. е. анализируются линойныо задачи,— этого достаточно для того, чтобы судить о тенденциях возмущенного движения и тем самым сделать заключение оо устойчнвости (пли неустойчивости) «в малом». Сначала, в п. 2, на двух примерах обсужда<отея вопросы устойчивости систем с одной степенью свободы, связанные с азроупругой неусточивостью типа ривергенции и действием сил «отрицательного» трения. Этп примеры позволяют выявить особые точки фазовой плос- Я!2 УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯПИЙ РАВНОВВСИЯ 189 Ряс. 12.1 кости двух ранее не упоминавшихся типов — неустойчивый узел и неустойчивый фокус. В п.
3 рассматривается устойчивость систем с двумя степенямн свободы без трения. Первый случай относится к аэроупругой неустон швостн типа флаттер, а второй случай — к устойчивости враща2ощегося вала с эксцентркчно насаженным диском. В эп2х случаях задача сводится к аналпзу знаков вещественных частей корней биквадратпого характеристического уравненпя и поэтому относительно проста.
Несколько сложнее решается вопрос об устойчивости систем с двумя степенями свободы при наличии трения, который приводит к анализу знаков вещественных частей корней полного уравнения четвертой степени. В п. 4 сначала приводится используемый в подобных случаях критерий Рауса — Гурвяца, а затем рассматриваетсн конкрет- у~ ный пример (задача Циглера). 2. Системы с одной степенью, -Р„ свободы. а) Задача о дивергс2Й1ни.
Рассмотрим жесткую тонкую пластинку, упруго оперту2о вдоль левого края и шарнир- н: — — — — — — — — ~ но опертую вдоль правого края. Пластинка находится в потоке газа (жидкости), скорость о ноторого направлена вдоль срединной плоскости пластинки в невозмущенпом состоянии равновеспя (рис. 12.1). В этом положении аэродинамические силы равны нулю (если пренебречь весьма малой силой трения потока о поверхность пластинки) и пластинка находптсн в равновесии под действием силы тяжестп и реакций опор. Пайтп критическую скорость потока, При отклонении пластинки возннка2от аэродннамнческие давления, зависящие от угла отклонения !р. Соответствующие колнчоственные закономерности устанавливаются в азрогидродинамико: мы приведем нх в готовом виде.
Равнодействующую давлений можно разложить па состатшющие (лобовос сопротивление и подъампу2о силу) 2 2 Х==к Р 1!р 1 =12 РР 1' здесь (с„, /с„— постоянные аэродннампческпе коэффяцпен- 199 гл. су, устОЙчиВОсть состояний Равновесия ты, р — плотность газа, 1 — размер пластинки вдоль потока (перпепдикулярный плоскости рисунка размер принят равным единице). Точка приложения равнодействующей аэродинамических давлений находится на расстоянии Ь от оси шарнира, которое приблшкенно будем считать яе зависящим от угла ф.
Момент сил, возникасощих при отклонении пластияки отпосительно оси шарнира, равен М= — со(гф+ХЬф+ 3'Ь, где со — коэффициент жесткости упругой опоры. Подставляя сюда (12.1), получаем М = — с»Рф + к, — Ыср + )су — огф. Обозначим через Х момент инерции пластинки относительно оси шарнира; тогда дифференциальным уравнением движения будет /ф+ (е 1 — Ус —" Ь) )ф = 0 о у 2 (слагаемое, определяющее момент силы Х, опущено как имесощее второй порядок малости). Условие устойчивости имеет вид 2 е»1ЬЬ~О а критическое значение скорости равно (12.2) отсюда, в частности, можно видеть, что с увеличением коэффициента жесткости упругои опоры критическая скорость увеличивается.
Задачи этого типа относятся к теории аэрогидроупругости; рассмотренное явление потери устойчивости называется дивергенцией, а выражеяие (12.2) определяет скорость дивергенции. В приведенном решении явление существенно схематизировано. б) »Отрицательное трение». Всюду выше, где учитывалось наличие зависящих от скоростей сил, мы считали эти силы диссипативными; будучи направленными противоположно соответствующим скоростям, оли способствуют демпфированию колебаний. Однако в некоторых мехаипческих системах развиваются силы, также завися- З !2 УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИ»З РАВНОВЕСИЯ 191 щие от скоростей, по совпадающие с ними по направлению. Такие силы оказывают дестабилизирующее действие и способству»от раскачке колебаний, а не их демпфировани!о; иногда силы этого типа называют силамп «отрицательного трения».
Прежде всего остановимся на формальной стороне вопроса и положим, что кроме восстанавливающих сил действуют силы, линейно зависящие от скорости и совпадающие с ней по направлению. Тогда вместо (2.6) имеем дифференциальное уравнение ад — Ьд + сд = О (12.3) (Ь) 0). Прп прежних обозначениях решение дифференциального уравнения (12.3) зашипется, подобно (2.0), в форме д = е !т о о з»пй т+ д«соей »), где постоянные интегрирования выражены через начальные возмущения. Отсюда видно, что при сколь угодно малых начальных везмущенпях д«п д«возникнут колебания, амплитуды которых будут возрастать по показательному закону (рнс. 12.2, а), т. е.
Состояние равновесия системы неустойчиво. На рис. 12.2, б показана фазовая диаграмма: в этом случае состояни»о равновесия соответствует особая точка типа неустойчивый Фокус. Прп весьма большом тренин (большем критического) фазовая диаграмма принимает впд, показанный на рпс. 12,2, в; начало координат представляет собой особую точку типа неустойчивый узел. Примером механической системы, в которой при колебаниях может возникнуть сила отрицательного трения, служит система, показанная на рис. 12.3, а. Она состопт пз тела 1, упруго закрепленного на пружинах 2, и барабана 8, который прижат к телу и вращается с постоянной угловой скороспю.
Между барабаном и телом действует сила сухого трения К, характеристика которой показана па рис. 12.3, б. В отличие от обычной схематизации, эта характеристика отрая«ает реально наблюдаемое влияние значения скорости скольжения на значение х92 ГЛ 1У.
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ ГЛВНОВЕСИЯ силы трения. Отметим, что в первом квадранте характеристика состоит из двух участков; надаоощего при О ~ о < цо и восходящего прн и ) но. Рис, 12,2 Рис. $2.3 Пусть скорость скольжения при покое тела 1 равна оо, .ей соответствует сила тронпя ххо, Из уравнения равновесия Ло — схо = О 9 !2 устОйчиВОсть состоянигв Равповесия 193 мшгпто определить укорочение пружин в равновесном состоянии системы: хо = Ло/с.
(12.4) Рассмотрим теперь движение тела около этого состоявпя равновесия и обозначим через х дополнительное перемещение тела. При этом скорость скольжения перестает быть постоянной величиной и выражается разностью которая определяет также переменную силу трения Л, отличающуюся от номинального зваченвя Ло. Прп малых колебаниях, когда скорость х мала по сравнев1по с ио, можно прииять (12.5) Дифферекцпальное уравнение движения тела запишется в виде Л вЂ” с(хо+ х) = тх, пли, с учетом (12А) н (12.5), тх+ Лох+ сх.= О. (12.6) Ф Отсюда видно, что при Р)Р„, когдаЛо)0, колебания бУДУт затУхагоЩимж если же Р(иа, то Ло(0 и УРавнепне (12.6) принимает вид (12.3). Таким образом, если Р, ) Рю то . Состояние равновесия устойчиво; если нте Ро(оа, то после любого сколь угодно малого возмущения в системе происходит самовозбужденпе колебаний. Следует иметь в виду, что наше решенно опроделяет лишь пачальпую тендепциго вовмущениого движения.
С возрастанием амплитуд колебаний лппеарнзованное представление силы трения (12.5) будет становиться все менее точным, п для полного анализа всего последугоьдего процесса необходпмо учитывать действительную нелинейность силы тропка; об эхом см, нкже 1 13. 3. Системы с двумя степенями свободы без трения. Псследовапне устойчивости состояний равновеспя механпческпк систем с песколькимп стспенямп свободы также состоит в изучении свойств возмущенного движения, г.
е. Того движения, которое будет происходить после произвольного сколь угодно малого нарутпеппя состояния равновесия. Назвапиые свойства оиределиются видом 13 я. г, пааоано 194 гл 1ч устОЙчиВОсть сОстОяний ТАВЙОВксия корней соответствующего характеристическогоуравненпя. Если среди корней Х = а+ 19 имеется хотя бы один с положительной вещественной частью а) О, то отвечающее ему движение будет «уводить» систему от состояния равновесия — либо монотонно (если р = О), либо в виде нарастающих колебаний (если 2 т2 О).
11оэтому последования устойчивостп рассматриваемых ниже систем с двумя степенями свободы сводятся к анализу злаков вещественных частей корней. а) Задача о флагтере. В п. 2а была рассмотрена возможность дивергенция пластинки в потоке газа, причем 2 принималось, что пластинка шарнирно закреплена вдоль одного края, а вдоль другого края она упруго оперта (см. вытпе рнс. 12.1). Прн упругом оппрании обоих краев Ь (рис. 12.4) появляется еще одна опасность возникновения неустойчивости, связанРвс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
