Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Введем обозначения: ие — скорость ведущего звона, с — коэффициент жесткости пру!кипы, т — масса груза, о и Рис. !3.6 й = ус1т, Л! — предельпан сала трении покоя, Лз — сила трения дини!евин. Очевидно, воэмоя;по такое движение рассматриваемой системы, при котором скорость груза 8 такясе равна пк При этом пружина 2 сжата постоиппой силой Р, равной силе трении дэни!опия Лх Однако.
как мы убедимсл, этот реп!им могкет оказатьсн неустойчивым и при определенных обстоятельствах около него вознпкагот авто- колебания. Если скорость ие мала, то какое-либо случайное препятствие может оказаться достаточным длн остановки груза па некотороо конечное время. Ведущее звено, иродолжан движение вправо, будот с нимать пруяигпу до тех иор, пока сила сжатии Л пе сравняется с силой тренин покои Л!. Лишь после этого произойдет срыв груза, причем сила тренин мгновенно уиеньшитсн до значения Ль Но сила сжатия пружины в иервьш момент начавшегосн движении будет по-про!кпему равна Ль и, следовательно, равновесие сил, действугощих пв груз, нарушитси.
Совместим с момо!игом срыва начало отсчета времени 1= 0 и заметим, что в этот момент равны нул!о квк координата х, так и скорость х: х(0) = О, х(0) = 0 (13. г2) (отсчет перемещений будем вести от места остановки груза). 212 Гл 1у. устОйчиВОсть сОстОяний Рлвновпсня Рассмотрим теперь процесс последудощего дььддигепия. К некоторому моменту времени 1 ) О длина пружины изменится па отрезок х — оо1 и соответственно сила упругости пружины уменьшится до значения (13.13) Р Я = Ль — с(х — Ног), Таким образом, дифференциальное уравнение движения груза запишется в виде Ль — с (х — по1) — Лз = пдх', пли 1 2 х + йох = й2оо1.
Р оь Решение этого уравнения, удовлетворяющее Начальным условиям (13,12), имеет внд оо, Л1 — !г., х .=. Н28 — —" в)п И -', ' " (1 — соз И). (13.14) гь с Первьье слагасмое правой части выражает равномерное двпжоние со скоростью ведущего звена, а остальиыо слагаемые — дополнительные колебания груза, Скорость груза меняется по закону гс(л, -ло) т= — о„— госозИ+ ' ' в)ВИ и в некоторый момент времоии может вновь обратиться в нуль, Условие новой остановки груза приводит к уравнепшо В(л, — гго) оо — Го сов И, ',- ' ' з(п)сгд.=- О, в котором гь — время от момента срыва до момента новой остановки. Введем безразмерный параметр гс(л,— л ) а =- сс„ Теперь условие остановки принимает впд а вгп И ь = соз гсгь — 1, Репшв зто уравнение, найдем 2а 1 — а в(п Ид — — —,, соз Ид — —, (13 15) 1+а 1+а а!3 стАциОнАРные ге~кимы и ПРРдельные циклы 215 в(вдули полученным выражелшй всегда меньп~е едшищы, так что из (13.15) всегда следует вещественное значение !ь ГГолучив это значение !и можно по формуле (13.14) определить координату х груза в момент новой остановки, т.
е. путь, пройденный грузом за время !К о ' 1 2 2оз о хл — — — во!л — — 3!и Гг!т+ (1 — сов ь!л) = — Уо!л + —. С учетом выражений (13.15) найдем по соотношению (13.13) силу сжатия пружины в момент остановки: Р(1,) =2Л,— Ло Отсюда видно, что Р(1~)(Л1 (так как Лл(Л~).
Следовательно, после остановки груз некоторое время будет оставаться па месте, пока сп.за сжатия прулщилы вновь не достигнет зиачепия предельной силы трения покоя. !!Осле этого произойдет новый срыв груза и начнется следующий цикл, полностью совпадающий с предыдущим. Таким образолц рассматриваемый процесс предсгавляет собой стационарные а вто к олей аипя. За время, в течение которого груз покоитсн, сила сжатия постепенно возрастает иа величину ЬР = Л~ — Р(Г~) = 2(Л1 — Лз), и соответствующее дополнительное укорочеппе пружипы составит „р 2(Н, — Н) Л! = — =-- о о :!той же величине равен путь, пройденный ведущим звеном за время остановки груза. Следовательно, длительность состояния покоя груза равна А! 2(Н, — Н) р ог а о о (Тот же результат можно найти из условия иа(1~+1:)= = хи выражающего равенство перемещений груза и ведущего звена за один полный цикл рассматриваемого процесса.) Таким образом, период автоколебапи!1 определяется формулой 216 ГЛ.
1У УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ для пользоваиия которой сначала нужно найти г1 из выражений (13.15), а затем 1з пз формулы (13.16). Чем меньше скорость ведущего звена, тем более резко выражен процесс автоколебаиий. Деиствптельно, прп малых значеииях го безразмервый параметр а становится весьма болыпим и пз выразкеппя (13.15) следует приближенно в1п)т1,-+О, созЫ,-+ — 1, т.
е. Соответственно (13.16) это приводит к следующей формуле длн периода автоколебаиий: Т и+2% ь Здесь ясно видно, что роль второго слагаемого в числителе возрастает с умепыпеиием скорости Рс. Законы двиясения при двух различных малых значениях Ро графически показаны па рпс. 13.7, а; па '.К л Рве„т3,7 рис, 13.7, б показаны соответствутоьцпе законы пзменеппя скорости.
С умепыпенпем скорости период автоколебапий растет. 3. Метод энергетического баланса. Зтот метод, которым мы пользовалпсь прп исследовании свободных колебаний систем с нелинейным трепнем (и. 2 з 2) позволяет получить приближенное решение задачи о стационарных автоколебаииях квазплинейных систем, движение которых описывается дифференциальным уравнением 5 1т стлт(иокхРпые Ре нпмы и предельные цшглы 217 Здесь, как указывалось, ((д, д) — функция, состоящап нз малых нелинейных членов.
Поскольтсу эти члены малы, естественно принять Й =Йе и искать решение в виде г) = Л сов(Йет — гр), (13.18) где А и д — постоянные. В этой записи существенно предположение о том, что частота автоколебаний Й ра в на собственной частоте линеаризованной системы. Выражение (13.18) пе может строго удовлетворить уравнегтгпо (13.17): этому мешает правая часть ((д, д), которая после подстановки (13,18) принимает вид )' ()т„( — тр) =. ~ [Асов(Й,( — гр), — АЙ,з(п(Й,( — гр)] (13.19) и тождественно в нуль не обращается. После умножении на инерционный коэффициент а правая часть будет представлять собой некоторую н е у р а в н о в е ше н н у ю сил у. В соответствии с основной идеей энергетического метода потребуем, чтобы работа этой силы за период йл!Й, равнялась нулю.
Работа силы а)"е на элементарном перемещении г(д равна а) е т(д = а)ег)г((. При учете соотношений (13.18) и (13.19) условие энергетического баланса запишется в виде те~по — аЛЙе ] [ [Л соз ()т„( — ~р), — АЙе з(п (Йе( — Ч>)] Х е Х з(п (Йет — г)) т(( = — О. (13,20) Обозначив Йе( — Ч> = чь еп Ф (А) = — ~ ~ (Л соз ф, — А)" в(п тР) з(птР г(тР, (13,21) е получим условие для определении стационарной амплитуды автоколебаний в аиде е) Ф(Л) = О. (13.22) В качестве примера найдем амплитуду автоколебанпй для системы, описываемой дпфференцпальпым урав- *) Отметим, что выражение (132П точно совпадает е выражением (242), петерсе было найдено в 1 2 методом медленяе менпжщптсп амплитуд Спглеспп ттеьгу методу для определения сыцненерныл енн.'шгуд также следует неленгвть Ф(А) = О.
213 Гл. 1у. устОйчиВОсть состояний РАВИОвксия пением (13.7); выше эта задача была точно решена способом поэтапного интегрирования (прппасовывания) . В данном случае ь, ~'„ ~(д, д) = — — + —," я!дп1 и льло . ло ~(Асояор, — Айоя!Вор) -- " я)п 1Р.. — 'я! и( — я!Йо(1), а т. е. лыо , во — оя!воя — —" при 0(1!1(л, а а Ляьо "о — оя1п ор+ —" прн л(ор(2л. а а ~(А соя ой, — Айо я|и 1Р) —.- Согласно формуле (!3.2!) находим ~лы;, . л„~, Ф(А) = — ~ ) ( ' я!п1(1 — — о)я!Йора1р+ 1-о 1" 1-Ляьо ' по 1 ' 1 пЛЫ'о ' 411о Для квазилинейных систем нелинейную функцию )(д, д) можно пРеДставпть В виДе !1)о(д, Д), гле Р— заведомо малый параметр. Однако в подобных случаях можно поступить и по-иному — формально ввести в правую часть (!3.24) множитель р = ! п записать уравнение (13.24) в видо ч+Ф= И() ч) (13.
25) Тогда в последугощпх выкладках буква р будет служить лишь «сигналом малостио того сомножителя, около ко- Теперь пз условия (13.22) натп1дим для амплитуды ввтоколебаний прежнее выражение (13.11). 4. Метод малого параметра. Как н в методе медленно меня1ощихся амплитуд, нужно прежде всего выделить пз задапнои функции г'(д, !)) линейную часть и представить основное дифференциальное уравнение в видо 11 + йо11 =.-. 1(11, Ц). (13.24) з >з стхпиопзгпые ггжимы и пгкдвлтныг.
пиклы 210 торого она стоит; если в этик выкладках возникнут степени буквы >г (т. е. (>', (гз и т. д.), то они будут как бы отмечать величины второго, третьего и т. д. порядков малости. 1'азумеется, что прп таком формальном введении параметра (г в окончательных результатах нужно вновь положить >г = 1. Согласно основной идее рассматриваемого метода, ре>певие уравнения (13.25) ищется в виде ряда по степеням малого параметра 1> д(1)=де(Е)+~>д>(Е)+>> дг(г)+, (1326) в котором де(Е), д>(Е), дг(>), ... — пока неизвестные функции. 11оскольку частота искомого процесса движения, обозначенная пинсе через й, может пе совпадать с собствепнон частотой лпнеаризованпой системы Ао, принимается аналогичное разложение ло == "' + И)>> + И")>т -г ° ° > „2 (13.27) где 7>, дт — постоинпые, также пока неизвестные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
