Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 26
Текст из файла (страница 26)
10.2 пик гйеза 2. 11зшяние линейного трения. При наличии вязкого трения вместо дифференциального уравнения (10.1) имеем (10Л4) о -'( 2/в/ ~ - йе (1 -~ р) о = О, Ь в котором по-прежпому /х = о, где Ь вЂ” коэффициепт 2а' вязкостп, а — инерционный коэффициент. Рассуждая, как и в п. 1, запишем решение для обоих полупериодов: уг =- Г,е в(п/;,(,- Й,е соз/г,/, (/, = Схе Я1п/га(+ /),с сов/гзй *) При действии нелинейно вязких спл трения амплитуды колебаний оказываются ограниченными, з ы возвтждкпик по злконг синтсл 183 пей п неравенство Й!) 1 для наибольшего по модулю корня. Не останавливаясь на подобном исследовании корней, замотим, что для их вещественности (т.
е, для неустойчивости системы) необходимо выполнение условия !А~! ) уВп (10.18) более жесткого, чем условие !Л! ) 1, полученное выше для случая отсутствия трения. В частности, при й)0 и д- 0 условие (10.18) не выполняется, т. е. параметрический резонанс невозможен. Это означает, что для возникновения параметричоокого резонанса необходима кокоторая, достаточно большая, глубина пульсации и. В целом трение оказывает стабилизирующее действие н приводит к некоторому сужонп|о областой неустойчивости, 5 11.
Параметрическое возбуждение по закону синуса 1. Общие сведении. Этот случай изменения параметра иллюстрирован на рпс. 9,3, б. Соответствующее дифференциальное уравнение дзян~ения запишем в виде д+ й',(1 — и соню|) д =- О. (И.1) Как п з з 10, здесь йз — среднее значение ообственной частоты, и — относительная глубина пульсации переменного козффпциента. Дифференциальное уравнение с переменнымн к~юффнциентамн (11,1) называется уравнением Матье. Обычно это уравнение записывают в форме —, + (а — 2е соз 2т) о .= О, из (11.2) зт' к которой можно прийти, полопав в уравнении (11.1) ю1=-2т, Й',=- —, и= —, 0 4 ' а (11.8) Ршпеппямп уравнения (11.2) служат специальные функции, называемые функциями Матье, свойства которых подробно изучены. Как и в случае рассмотренного в т 10 параметрического возбуждения, зтз решения могут быть клн ограниченныии, или неограниченно возрастающими.
Выделение соответствующих зтим случаям областей параметров а и е приводит к диаграмме устойчивости, кото- 184 ГЛ. 1П ПАРАМЕГРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАПИЯ рая дана в готовом виде на рис. 11,1 (диаграмма Лйлса — Стреттл); она сходна с диаграммой устойчивости, изображеннои на рис. 10.1. Границам между областями устойчивости и неустойчивости соответствуют периодические движения, Диаграмма устойчивости спхтметричпа -Я О Г А в" с чт а Рве.
$11 относительно оси а, так как знак е в уравнении (11.2) пе имеет значения. Если дифференциальное уравнение задачи приведено к форме (11.2), то по данным значениям а и е с помощью диаграммы устойчивости можно сразу сделать заключение об устойчивости нли неустойчивости системы. Как и выше, речь может идти либо оо устойчивости состояния равновесия (д — отклонение от етого состояния), либо оо устойчивости некоторого основного движения (в етом случае под д следует понимать варнаци1о координаты). Для приближенного определения границ между областями устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров а, в может быть применен способ гармонического баланса. На границах первой области неустойчивости движение должно быть периодическим, причем период, как мы видели в з 10, вдвое больше периода измененпя параметра. Но период изменения параметра в уравнении (11.2) равен и, так что указанное двия1ееие имеет период 2п н его можно представить в виде ряда д = Л~ юп т+ В1 сое т+ Лз Б1п Зт+ Вз сов Зт+...
(11.4) Ограничиваясь первыми двумя членами, подставим пх 1 11. Возкуктденне по закону синусА 185 пз которых следуют уравнения обеих границ: а" Р = 1 + е, а"' = 1 — е. (11.6) Эти уравнения можно уточнить, принимая во внимание болыпее число членов ряда (11.4). Приведем без вывода более точные уравнения для первых четырех областей неустойчивости, обозначая зна- чения а на границах и-й области неустойчивости через пр лег,, п„иа,",': а = — — — е -'- — на —...
пр 1 2 7 о = 2 ~ 128 а =-1 — 'е — — е — — в — —,.е4+ ... 8 ' 64 1536 лев 1 2 ! 1 в 1 а' =-1 — е — — е + — е — — е' —... 1 8 + 64 1536 пр 5 2 763 а = 4+ — е' — —.е'+ ..., 12 13824 I ! 2 ~ 5 4 12 ' 13824 аа = — Ом — е".! —,е -,'— — е +..., нр, 1 2 1 2, 13 16 64 ' 20480 лев , 1 , 1 2 13 а' =.:Π— ' — ее — — е + — е —... 16 64 20480 (11.7) В заклгочсние заметпм, что не учтенное здесь вязкое трепке несколько сужпвагт границы областей неустойчивости, подобно тому как ото было пояскено в 3 10.
2. Примеры. П р и м е р 1! 1 Найти условнл устойчивости вертикального состоянии равновесии обращенного малтпика (рис, 1! 2,), если точка его подноса гармонически колеблется около среднего положении по авиону у = А соа ок с частотой ы и амплитудой А. Длина м,щтмпвв равна !. !!опитпо, что прп неподвижной опоре обращенпыб молтпнк к~устойчив; оди,м;о, как мы сеичао увидим, колебании опорной точки могут придать устопчивость такому маитнпку. Составляя п~фференцнатьное уравнение относительного движении, пеобхо- ЛНМО Учесть перепоснгт сипу ппеРцпи — тр = л~АттСОт <М, Пе момент составлнет — тАыпн со- ый п уравнение тмозептов запптетсн в форме тлйр — тАыцгр сов ыт = т!тиь сумму н уравнение (11.2); приравнивая нулю козффициснты при в!пт и совт, получаем два однородных уравнения (а — е — 1)А! =О, (а+ в — 1)В! =О, (115) 133 Гл. 111. паРаметРические коленлния т, е.
Авв 1р+ ( — — -(- — соз в() ~р =- О. Для прнведеняя уравнения к виду (11,2) положим 4у 2А 2т= вт, а=-- з, е=- 1. вз1 Как видно, в пашем примере оба параметра а и с отрицательные. Знак е вообще роли не играет (об этом уже говорилось выше), и главной особенностью рассматриваемой слстемы является I 1 у=Асов ву 0 Я Рис, 11.3 Рис, 11,2 отрицательность величины а.
Бак видно из диаграммы устойчивости на рис. 11.1, устойчивость возмоязна и при отрицательных значениях а; действительно, ка,"кдому аначению е отвечает некоторая, довольно узнан область значений а < О, в пределах которои состояние равновесия устойчиво Согласно (11,7) эти апачения леатат в ннвервале а"о< а < а'"", т. е. 1 1 — 2с <а<1 — е — Зе" (рис, 11 3), Прн малых амялнтудах колебаний А, т, е малых значениях параметра з, правое неравенство удовлетворяется при любых отрицательных значениях а и практически оотается лишь 3 одно неравенство а) — 2 е, т. е. )а(< 2 е.
1 э Подставляя сюда выражения а и е, получим условие устойчпвоств в виде Аез > ') 2ф. Это неравенство определяет нижний уровень максимальной скорости Ав колебаний точки подвсса, который обеспечивает устончпвость опрокинутого маятника; как видно, указанная скорость долж- й 11. ВОЗБуждннпу по элпоыу сппусл 187 на превьнпать скорость свободного падения тела с высоты, равной длине маятника, 11 р и м е р 11.2. Исследовать устойчивость режимов стационарно движения 7 = .1; з!и юг (1 = 1, 2, 3) в системе с нелинейной восстанавливающей силой Г(д) = ()сз Дифференциальное уравнение относительно вариации бс было составлено выше (см (9,11)), Запишем его в виде бе+ (ЗпА~~ з1п юс) бд =- О, где коэффициент и равен коэффициенту З, рааделенному на инерционный коэффициент системы.
Для того чтобы привести уравнение к форме (11.2), нужно положить ЗаАз ЗсгАз ют=т, а= —,, е= —,. 2ю~ ' 4ю Таким образом, в дапном случае а = 2е н на диаграмме устойчивости всевозможные пары значений а, е лежат на луче, который 1 выходит из начала координат под углом агс1д 2 к оси (см схему из Рпс 114), 11оочеРЕДнак поДстановка значений Аь Аг и Аз в () 1 2 5 4 5 а Рис И.4 вырагкепии а и е приводит к расположению точек, показанному па рис, 11,4, т.
е точки А~ и А соответствуют устойчивым, а точка Аз — неустойчквым решениям Этим подтверждается сказанное в 1 7 относительно устойчивости найденных там решений на различных ветвях резонансной кривой. Глава 1У УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ И АВТОКОЛЕВАНИЯ й 12. Устойчивость состояний равновесна 1. Вступительные замечания.
Вопросов устойчивости состояний равновесия мы уже касались в главе 1 (см. стр, дб — 40, 44), но поскольку она была посвящена свободным колебаниям, мы рассматривали только такие системы, в которых отсутствует приток энергии при их движении вблизи положения равновесия. В настоящем параграфе рассматриваются б<глее сложные случаи, относящиеся к автономным системам, при движении которых возможен приток энергии извне. Эти случаи связаны с конкретными сятуациями, которые яесмотря на свой частный характер можно считать достаточно типичными. В каждой из рассмотренных здесь задач выделяется один «отвотственный» параметр, от которого зависит устойчивость или неустойчивость соответствующей механической системы, и задача сводится к определению критического значения етого параметра, при котором устойчивость смоняется неустойчивостью.