Главная » Просмотр файлов » Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний

Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 26

Файл №1048764 Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний) 26 страницаПановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764) страница 262017-12-27СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

10.2 пик гйеза 2. 11зшяние линейного трения. При наличии вязкого трения вместо дифференциального уравнения (10.1) имеем (10Л4) о -'( 2/в/ ~ - йе (1 -~ р) о = О, Ь в котором по-прежпому /х = о, где Ь вЂ” коэффициепт 2а' вязкостп, а — инерционный коэффициент. Рассуждая, как и в п. 1, запишем решение для обоих полупериодов: уг =- Г,е в(п/;,(,- Й,е соз/г,/, (/, = Схе Я1п/га(+ /),с сов/гзй *) При действии нелинейно вязких спл трения амплитуды колебаний оказываются ограниченными, з ы возвтждкпик по злконг синтсл 183 пей п неравенство Й!) 1 для наибольшего по модулю корня. Не останавливаясь на подобном исследовании корней, замотим, что для их вещественности (т.

е, для неустойчивости системы) необходимо выполнение условия !А~! ) уВп (10.18) более жесткого, чем условие !Л! ) 1, полученное выше для случая отсутствия трения. В частности, при й)0 и д- 0 условие (10.18) не выполняется, т. е. параметрический резонанс невозможен. Это означает, что для возникновения параметричоокого резонанса необходима кокоторая, достаточно большая, глубина пульсации и. В целом трение оказывает стабилизирующее действие н приводит к некоторому сужонп|о областой неустойчивости, 5 11.

Параметрическое возбуждение по закону синуса 1. Общие сведении. Этот случай изменения параметра иллюстрирован на рпс. 9,3, б. Соответствующее дифференциальное уравнение дзян~ения запишем в виде д+ й',(1 — и соню|) д =- О. (И.1) Как п з з 10, здесь йз — среднее значение ообственной частоты, и — относительная глубина пульсации переменного козффпциента. Дифференциальное уравнение с переменнымн к~юффнциентамн (11,1) называется уравнением Матье. Обычно это уравнение записывают в форме —, + (а — 2е соз 2т) о .= О, из (11.2) зт' к которой можно прийти, полопав в уравнении (11.1) ю1=-2т, Й',=- —, и= —, 0 4 ' а (11.8) Ршпеппямп уравнения (11.2) служат специальные функции, называемые функциями Матье, свойства которых подробно изучены. Как и в случае рассмотренного в т 10 параметрического возбуждения, зтз решения могут быть клн ограниченныии, или неограниченно возрастающими.

Выделение соответствующих зтим случаям областей параметров а и е приводит к диаграмме устойчивости, кото- 184 ГЛ. 1П ПАРАМЕГРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАПИЯ рая дана в готовом виде на рис. 11,1 (диаграмма Лйлса — Стреттл); она сходна с диаграммой устойчивости, изображеннои на рис. 10.1. Границам между областями устойчивости и неустойчивости соответствуют периодические движения, Диаграмма устойчивости спхтметричпа -Я О Г А в" с чт а Рве.

$11 относительно оси а, так как знак е в уравнении (11.2) пе имеет значения. Если дифференциальное уравнение задачи приведено к форме (11.2), то по данным значениям а и е с помощью диаграммы устойчивости можно сразу сделать заключение об устойчивости нли неустойчивости системы. Как и выше, речь может идти либо оо устойчивости состояния равновесия (д — отклонение от етого состояния), либо оо устойчивости некоторого основного движения (в етом случае под д следует понимать варнаци1о координаты). Для приближенного определения границ между областями устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров а, в может быть применен способ гармонического баланса. На границах первой области неустойчивости движение должно быть периодическим, причем период, как мы видели в з 10, вдвое больше периода измененпя параметра. Но период изменения параметра в уравнении (11.2) равен и, так что указанное двия1ееие имеет период 2п н его можно представить в виде ряда д = Л~ юп т+ В1 сое т+ Лз Б1п Зт+ Вз сов Зт+...

(11.4) Ограничиваясь первыми двумя членами, подставим пх 1 11. Возкуктденне по закону синусА 185 пз которых следуют уравнения обеих границ: а" Р = 1 + е, а"' = 1 — е. (11.6) Эти уравнения можно уточнить, принимая во внимание болыпее число членов ряда (11.4). Приведем без вывода более точные уравнения для первых четырех областей неустойчивости, обозначая зна- чения а на границах и-й области неустойчивости через пр лег,, п„иа,",': а = — — — е -'- — на —...

пр 1 2 7 о = 2 ~ 128 а =-1 — 'е — — е — — в — —,.е4+ ... 8 ' 64 1536 лев 1 2 ! 1 в 1 а' =-1 — е — — е + — е — — е' —... 1 8 + 64 1536 пр 5 2 763 а = 4+ — е' — —.е'+ ..., 12 13824 I ! 2 ~ 5 4 12 ' 13824 аа = — Ом — е".! —,е -,'— — е +..., нр, 1 2 1 2, 13 16 64 ' 20480 лев , 1 , 1 2 13 а' =.:Π— ' — ее — — е + — е —... 16 64 20480 (11.7) В заклгочсние заметпм, что не учтенное здесь вязкое трепке несколько сужпвагт границы областей неустойчивости, подобно тому как ото было пояскено в 3 10.

2. Примеры. П р и м е р 1! 1 Найти условнл устойчивости вертикального состоянии равновесии обращенного малтпика (рис, 1! 2,), если точка его подноса гармонически колеблется около среднего положении по авиону у = А соа ок с частотой ы и амплитудой А. Длина м,щтмпвв равна !. !!опитпо, что прп неподвижной опоре обращенпыб молтпнк к~устойчив; оди,м;о, как мы сеичао увидим, колебании опорной точки могут придать устопчивость такому маитнпку. Составляя п~фференцнатьное уравнение относительного движении, пеобхо- ЛНМО Учесть перепоснгт сипу ппеРцпи — тр = л~АттСОт <М, Пе момент составлнет — тАыпн со- ый п уравнение тмозептов запптетсн в форме тлйр — тАыцгр сов ыт = т!тиь сумму н уравнение (11.2); приравнивая нулю козффициснты при в!пт и совт, получаем два однородных уравнения (а — е — 1)А! =О, (а+ в — 1)В! =О, (115) 133 Гл. 111. паРаметРические коленлния т, е.

Авв 1р+ ( — — -(- — соз в() ~р =- О. Для прнведеняя уравнения к виду (11,2) положим 4у 2А 2т= вт, а=-- з, е=- 1. вз1 Как видно, в пашем примере оба параметра а и с отрицательные. Знак е вообще роли не играет (об этом уже говорилось выше), и главной особенностью рассматриваемой слстемы является I 1 у=Асов ву 0 Я Рис, 11.3 Рис, 11,2 отрицательность величины а.

Бак видно из диаграммы устойчивости на рис. 11.1, устойчивость возмоязна и при отрицательных значениях а; действительно, ка,"кдому аначению е отвечает некоторая, довольно узнан область значений а < О, в пределах которои состояние равновесия устойчиво Согласно (11,7) эти апачения леатат в ннвервале а"о< а < а'"", т. е. 1 1 — 2с <а<1 — е — Зе" (рис, 11 3), Прн малых амялнтудах колебаний А, т, е малых значениях параметра з, правое неравенство удовлетворяется при любых отрицательных значениях а и практически оотается лишь 3 одно неравенство а) — 2 е, т. е. )а(< 2 е.

1 э Подставляя сюда выражения а и е, получим условие устойчпвоств в виде Аез > ') 2ф. Это неравенство определяет нижний уровень максимальной скорости Ав колебаний точки подвсса, который обеспечивает устончпвость опрокинутого маятника; как видно, указанная скорость долж- й 11. ВОЗБуждннпу по элпоыу сппусл 187 на превьнпать скорость свободного падения тела с высоты, равной длине маятника, 11 р и м е р 11.2. Исследовать устойчивость режимов стационарно движения 7 = .1; з!и юг (1 = 1, 2, 3) в системе с нелинейной восстанавливающей силой Г(д) = ()сз Дифференциальное уравнение относительно вариации бс было составлено выше (см (9,11)), Запишем его в виде бе+ (ЗпА~~ з1п юс) бд =- О, где коэффициент и равен коэффициенту З, рааделенному на инерционный коэффициент системы.

Для того чтобы привести уравнение к форме (11.2), нужно положить ЗаАз ЗсгАз ют=т, а= —,, е= —,. 2ю~ ' 4ю Таким образом, в дапном случае а = 2е н на диаграмме устойчивости всевозможные пары значений а, е лежат на луче, который 1 выходит из начала координат под углом агс1д 2 к оси (см схему из Рпс 114), 11оочеРЕДнак поДстановка значений Аь Аг и Аз в () 1 2 5 4 5 а Рис И.4 вырагкепии а и е приводит к расположению точек, показанному па рис, 11,4, т.

е точки А~ и А соответствуют устойчивым, а точка Аз — неустойчквым решениям Этим подтверждается сказанное в 1 7 относительно устойчивости найденных там решений на различных ветвях резонансной кривой. Глава 1У УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ И АВТОКОЛЕВАНИЯ й 12. Устойчивость состояний равновесна 1. Вступительные замечания.

Вопросов устойчивости состояний равновесия мы уже касались в главе 1 (см. стр, дб — 40, 44), но поскольку она была посвящена свободным колебаниям, мы рассматривали только такие системы, в которых отсутствует приток энергии при их движении вблизи положения равновесия. В настоящем параграфе рассматриваются б<глее сложные случаи, относящиеся к автономным системам, при движении которых возможен приток энергии извне. Эти случаи связаны с конкретными сятуациями, которые яесмотря на свой частный характер можно считать достаточно типичными. В каждой из рассмотренных здесь задач выделяется один «отвотственный» параметр, от которого зависит устойчивость или неустойчивость соответствующей механической системы, и задача сводится к определению критического значения етого параметра, при котором устойчивость смоняется неустойчивостью.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,4 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6480
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее