Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 25
Текст из файла (страница 25)
5 9. ОБЩИН ПОНЯТИЯ 175 Как оказывается, для функции бд (1) в ряде случаев можно получить дифференциальное уравнение типа (9.3). Характер решения этого уравнения позволяет сделать заключение об устойчивости режима движения д = д(~). Поясним сказанное примером нз области вынужденных колебаний спстем с пелинейной восстанавлива2ощей силой (см.
гл. 11, з 7). Дифференциальное уравнение колебаний такой системы имеет внд ад+Е(д) = (~(1), (9.7) причем г (д) и Д(2) — заданные функции координаты н времени. Как мы знаем, решение этого уравнения может быть неоднозначным н возможно существование нескольких стационарных режнмов с различнымп амплптудамн Д! Д!(~)~ Д2 Ч2(Г)~ Дз Дз(~). Так как среди этих режимов физически осуществимы только устойчивые режимы, то полное решенно задачи о вынужденных колебаниях должно содержать не только выяснение (точное илн приближенное) возможных режимов, но и анализ нх устойчивости.
Для исследования устойчивости какого-либо пз найденных режимов, например режима д1 = д1(2), предположим, что он каким-либо образом возмущен и, следовательно, движение системы будет описываться суммой Д~ + бдб здесь второе слагаемое, бдь представляет собой возмущение функции дь Об устойчивости стационарного режима д1 = д~ (9) можно судить по характеру изменения во времени возмущения бдь Если выяснится, что при г — возмущение 6д1 — 0 илн остается ограниченным, то возмущенное движение будет стремиться к стационарному режиму или оставатьсн вблизи него; следовательно, последний устойчив. Если же при ~ — вариация 6д1 неограниченно возрастает, то исследуемый стацпонарпьш режим неустойчив.
решение д~(~) должно удовлетворять дифферошщальному уравнению (9.7): ад1+ г (д~) = ()(1); (9.8) по тому же дифференциальному уравнению (9.7) должна удовлетворять также функция д1+ бдб ау1 + лбу~ + Г (д~ + бд~) = 12(1). 176 ГЛ. 111. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Рассматривая малые величины бдь мы можем принять Р'(д, + бд,) = Р(д,)+ Р'(д,) бдь где штрих обозначает дифференцирование по координате д1, т. е. ад1+ абд1+ Н(д1)+ Р'(д1) бд1= 9(1). (9.0) Вычитая уравнение (0.8) из уравнения (9.0), получим абд1+ Н'(д1) бд1 = О. (9.10) Но так как д1 представляет некоторую известную функ- цию времени (стационарный режим), то и г'(д~) также является фупкцш1й времени, т. е.
дифференциальное уравпенпе (9.10) есть уравнение типа (9.3). Пусть, капр1РА1ср, Г(д)=рд', 1,(1)я НБ1ПВД и необходимо исследовать устойчивость стационарного режима д~ =А1в1н вг, которыи был найден в $ 7 гл. П. В дакпом случае Г'(д) = Зрд' =.= 3~~А,в!п' в1 и для вариации стационарного рсжкма получим диффе- ренциальное уравнение абд + (ЗрА,'в1п' ея) бд =- О, полностью соответству1ощес уравпени1о (ОЛ). цяЯ м (9 А 1) р Рнс. 6.6 В слсду1ощпх двух параграфах будут рассмотрены решелия дифференциальных уравнений типа (0.3), которос запишем в виде д+йт(1)д =--О. (0.12) Однако сразу отметки, что интегрирование етого уравне- 5 1а возвуждение НО кусочно-постоянному зАкОну 177 нпя при произвольной периодической функции й'(1) весьма сложно. Поэтому ниже мы остановимся только на двух относительно простых случаях, когда изменение параметра следует периодическому кусочно-постоянному закону либо закону синуса (в обоих случаях с дополнительным постоянным слагаемым — см.
рис. 9.3). й 10. Параметрическое возбуждение по периодическому кусочно-постоянному закону 1. Колебания при отсутствии трения. Рассмотрим случай, соответствующий случа1о рис. 9.3, а. При этом дифференциальное уравнение (9.12) принимает вид 'д+ й, '(1 .+ р) д = О, (10.1) где р, =- Лйв//со~ Ввиду того что в течение каждого полупериода Т12= =п1йа дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты, можно воспользоваться способом припасовывання. Рассмотрим кикой-либо период Т изменения коэффициента й' н совместим с началом этого перпода начало отсчета времени. В первом полупериоде, когда 0( 8( ~ Т(2, дифферснцпальное уравнение (10,1) имеет внд д1-~ )а'„(1 ',— р)д, =-О, (10.2) а во втором полуперяоде Т(2 ~ 1 ( Т соответственно 6удш ~, +- й'.
(1 — р,) дв — — О. (10.3) Дпфферонциальныс уравнения (10.2) и (10.3) с посто- янпымп коэффициентами име1от решения д1 = С1 З1п й11+ Л1 соз й1 т, (10.4) да = Со жп йз1+ Ла соа й,г, причем й1 = йа71+ р, йв=йа71 — р. В этих решениях содержатся четыре лостояняые, С1, Л1, См Лк для опре- деления которых необходимы четь1ре условия.
Два ус- лотщя относятся к моменту вромепи 1= Т12, общему для обоих полуперподов; в указанный мамонт должно быть д1~З)=дв~ ) д1(2) = дв(2) (10.5) 12 я, г, пввовво 178 Гл. П1. пАРАмет!'Ичвскив колквхния Это дает следующие соотношения: ь,т 721Т 7с Т 1с, Т С в1п — ', )-Р сов —.' =С в1п — '. +.Р сов — ', а 2 г 7сТ 7сТУ ! ДТ, ЬТ~ Й (С сов — ', — Р втп — ', ~ =- й (С сов — ', †.Р.
всп — ', +- ° (10.6) Запипюи еще дза соотношения: Лссс (0) = д (Т), Ц,(0) = ст (Т), (10,7) ЛРс =Сввш)свТ+Р2 сов ссвТ, ЛСс)сс = С2122 Сов й2Т вЂ” Р2722 в1П )22Т. Система уравнений (10.6) и (10.8) однородна относительно постоянных Сс, Рс, С2, Р2 и имеет отличные от нуля решения только в тои случае, если равен нулю определитель, составленный нз ее коэффициентов: lс Т л — сов —, ь т lс Ип —.
г и — сов 7с Т 2 lс всп7с Т 7с Т 2 — 21п —. 1с Т вЂ” а сов —, — Ип/с, Т вЂ” 7с сов Ь Т 7с,Т сов 7с,Т 2 — 7с Мп —. Л О 7с,Т 21п —. 2 lс Т Ь сов —. х О 7с Л Развернув определитель, получим следующее квадратное уравнение: Л2 — 2АЛ + 1 = О, (10.9) в которых Л вЂ” некоторое, пока н е и з в е от н о е число. Соотношениями (10.7) утверждается, что по истечении рассвиатриваемого юериода обобщенная координата и обобщенная скорость изменяются в Л раз.
Соответственно этому двп кение в следующем периоде начнется прн нэменонных в Л раз начальных условиях, т. е. будет повторять движение в рассматриваемом периоде, по в измененном в Л раз масштабе. Если И ) 1, то колебания в каждом следующем периоде будут усиливаться, а если !Л! (1, то они будут постепенно затухать. Таким ооразом, устойчивость нлн неустойчивость системы определяется значением модуля Л. Подставив решения (10.4) в соотношения (10.7), по- лучим 9 !0. Бозвуждкннк по 11усочно-постоянному злкону Е79 г, котором для краткости обозначено ЬТ ЬТ Ьз+Ь~ ФТ 1 Т Л = соз — '. соз — ', — ' ' в1п — ', згп з, 2ЬЬ, 2 2 =- сов пи 'у' 1 + р соз пи "у' 1 — р— — вгп ясс "у1 1 + пз1п ясс ~1 — р, (10.10) "У' Š— И' причем а=/ссТ/(2я) есть отношение среднего значения /св собственной частоты к частоте пульсации параметра.
Корни уравнения (10,0) следующие: Х1 =Л вЂ” уЛ' — 1, 71=А+ уАт-1. (10.11) Для того чтобы числа 7 ~ и Хз были вещественнымн, как зто предполагается по смыслу решаемой задачи, должно быть !А1 >1, (10.12) т. е. либо А >1, либо А ( — 1. ЕЕо в обоих зтих случаях модуль одного из корней (10.11) больше единицы: е.сли А >1, то Хз > 1; если А < — 1, то 1Л~! > 1.
Отсгода следует, что если выполнено неравопство (10Л2), то колебания будут с каждым новьы1 периодом увеличиваться. ЕЕеравенство представляет собой не только условпе вещественности множителя Х, но одновременно и условие возникновения параметрического розонанса. Так как значение Л зависит от двух постоянных системы сс п р, то их значения полностью определяют устой 1нвость системы. На рнс. 10.1 представлена построенная с помощью условия (10А2) диаграмма устойчивости, по осям которой отложены значения 4сст и 211ссз. В незаштрихованных областях значения параметров сс и р таковы, что условие (10Л2) выполняется, т. е.
система неустойчива. Заштрихованные области диаграммы соответствуют устойчивым состояниям системы. С помоп1ью такой диаграммы можно сразу судить об устойчивости по данным значениям а и и без всяких дополнктельных вычислений. прел1де всего обратим внимание па те зоны областей неустойчивости, которые расположены вблизи горизонт2" 180 1'л. Н1.
НАРлметРН"1еские колевлния тельной оси, т. е. соответствуют малым значениям параметра р. Как видно, в этих вонах 4аз = и', т. е. (10 АЗ) — (п=1,2, ...) То же можно найти из (10АО), положив и= О. В самом деле, А = созе па — з1пзпа — сев 2па, т. е. при произвольных значениях а имеем ~А) ~ 1. Равенство ) А ~ 1, соответствуницее вознинновению пара- Ъ -г И г 4 8 8 и Рвс 10,1 метрического резонанса, возможно при условии, что аргумент 2па удовлетворяет равенству 2яа=яп (п=1, 2, ...), из которого также следует соотношение (10АЗ). Таким образом, если выполняется условие (10АЗ), то параметрический резонанс возникает при сколь угодно малой глубине пульсации. При эгон основное значение имеет случай в=1.
когда а=1/2, т. е. когда среднее значение собственной частоты в д в о е м е н ь ш е частоты парамегряческого возбуждения. При значительной глубине пульсации и заметном отлпчни р ог нуля параметрический резонанс возникаег в целых областях значении а, расположенных вблизи значений (10.13); чем больше заданное значение 11, тем шире эти области. По зтой причине огстройка от парамет- 1 1О ВОЗВУждвтхни по кУСОЧно-постояннОМУ Закону 101 )пнгоского резонанса труднее, чем от обычного резонанса; параметрический резонанс более опасен, чем обычяыи, еще и по той причине, что линейное демпфирование (которое выше вообще не учитывалось) лишь несколько суживает области неустойчивости, но неспособно ограничить возрастание амплитуд колебаний в этих областях в). Пример 101, Груз 1 массы т упруго подвешен на цилиндрической витой пружине 2 длиной (; коэффициент жесткости нружппы равен с.
Разрезная втулка 8 периодически обжимает верхпю1о часть пружины так, что длительность наждого обжима га равна длительности интервала между двумя последовательными обжнмахги. Длина деформируехюй части прузкины при обжиме мало отличается от длины 1 (рис, 10,2). Найти наименьшее значение прн котором возникает параметрический реаонанс.
Замечая, что период изменения жесткости Т = 21», и учитывая малос1ь глубивы пульсации, запишем условие пара четрического резонанса (10 13): сс = /ОТ/[2л) = л/2 (л, = 1, 2, ...). Г. Подставляя схода /г = (/с/~и, Т = — 2га, находим е наименьшее зк,женке Г„сш гзстствуег и = 1: я ут с' т. е. вчетверо меньше кориод1 свободных колоба- 1'ис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
