Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 20
Текст из файла (страница 20)
и. Вынужденные колввания Для построения резонансной кривой удобнее разрешить уравнение (6.56) относительно вЯ: а затем, задаваясь значениями А, вычислять йс(А) и определять соответствующие отношения ю/1с. Для определения резонансной амплитуды положим в (6.56) ю =й; тогда уравнение примет вид йо(А) =А . В частности, если коэффициент Ье определяется форму- и гя г лой (6.55), можно найти А = — у —,; например, при 1,088 т Г П и=2 (Х=0,667) получим А = '~ ~/ Нужно отметить, что в рассматриваемых задачах амплитуда вынужденных колебаний непропорциональна амплитуде силы. 6.
Влияние гистереаиса. То же соотношение энергетического баланса может быть положено в основу исследования вынужденных колебаний при наличии «частотно-независимого» гистерезиса. Для этого нужно приравнять площадь петли гистерезиса, определяемую формулой (2.43) О 4л+! работе, совершаемой за один период эквивалентной силой линейного трения. Эта работа вдвое больше правой части соотношения (6.53), вычисленной для полупериода, так что получаем равенство иАг ы = кАтюбс Отсюда находим коэффициент эквивалентного линейного трения в виде иА" йо = и уравнение (6.56) принимает вид А— (6.
57) 6 6, системы с тгением Решение этого яелинейного алгебраического уравнения несложно при значениях п = 0 (сухое трение) и и =2; для вычислений при иных значениях п удобнее пользоваться обратной зависимостью )/2 ' )/1 (Ж Для резонансных условий (в = й) из (6.57) сразу находим Л = ~/лН/я. Отметим, что гисгерезиспую силу трения при незатухающих гармонических колебаниях удобно описывать соотношением — 66Аа / 6 /г и у А — Ч 1 — — 61дп о.
(6.58) (эллиптическая петля гистерезиса — см. рис. 6.8), которое соответствует выражению (2ЛЗ) для рассеиваемой за один цикл энергии. Если воспользоваться выражением (6.58), то можно найти уса~со тановившиеся вынужденные колебания, не прибегая к методу энергетического бабанса, непосредственно из дифференциального уравнения движения д+ — '~/ 1 — — з)яка+ ла 1/ А + /669 = — з(п в1. (6.59) Рис. 6.8 а Второй член в левой части записан без множителя е1япд, так как нужная для уравнения смена знака силы тре- Это, казалось бы, сложное, нелинейное уравнение имеет весьма простое т о ч н о е решение д = А з1п (в1 — у). (6.60) Для определения Л и у подставим решение (6.60) в уравнение (6.59), получим 66А" — Ав' з(п (в1 — у) + — соз (в1 — у) ла + Л/газ1п(вг — у) = — юпвй (6.61) // гл.
и. Вынужденные колевА11ия иия (при иэмеиееии анака скорости) здесь обеспечивается измееоеием знака косинуса. Преобразуя соотпошеиие (6.61), получаем А(й' — 1о )сову+ — в1пу — — 1в1поз1— .1 т аА" . !! ) еа а 1 — ~А(й — о1 )вшу — — сову1 совем = 9. ,2 3 ла Для тождественного выполиеипя этого равенства яеобходимо, чтобы выражения, стоящие в квадратных скобках, были пороэиь равны нулю, т. е. А (й — о1 ) соз у + — в1п у =— 3 3 ала !! аАа А(й' — 1оз)в1пу — — сову = О. ла Отсюда иаходим Заметим, что первое из соотиошеиий (6.62) совпадает с ранее найденным соотношением (6.57). 7. Случайные колебаиия*).
Всюду выше было прииято, что вынуждающие силы заданы как детерминированные функции времени. Такая постановка задач теории выиуждеяиых колебаний приемлема, когда случайиые составляющие внешних сил (практически всегда иеизбежиые) относительно малы по сравнению с осеовиыми, детерминированными составляющими. Но в ряде прикладиых задач весьма значительные вынуждающие силы в принципе ие поддаются удовлетворительному детермияистическому описанию и должны считаться случайными функциями времени. Таковы, например, нагрузки иа рабочие органы многих строительных и сельскохозяйственкых машин, ветровые нагрузки иа здания и инженерные сооружения и т. п. Со случайиыми функциями времени приходится иметь дело и з яекоторых задачах о кияема- *) Предполагается, что читатель знаком с осиоввымв попятяямп теории вероятвостей.
5 6. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ $45 тическом возбуждении, например прп анализе колебаний автомобиля, движущегося по неровной дороге, илп прп расчетах конструкций на сейсмические нагрузки. Теория случайных вынуягденпых колебаний посвящена решению задач следующих четырех ткпов: 1) отыскание вероятностных характеристик двпя(евпя системы по заданным вероятностным характеристикам внешнего воздействия (прям л задача); 2) отыскание вероятностных характеристик внешних воздействий но иазестным (экспериментально найденным) вероятностным характеристикам вибраций (обратная задача); 3) определение свойств системы (ее оператора и параметров) по известным (экспериментально найденным) вероятностным характеристикам ва входе и выходе системы (задача идентификации); 4) синтез систем, обладающих заданными свойствами по отношению к некоторому классу внешних воздействий (задача синтеза, часто явля1ощаяся задачей оптимизации) .
Очень коротко остановимся на первой задаче применительно к вынужденным колебаниям линейной механической системы с одной степенью свободы. В практических условиях случайные вынуждающие силы нередко обнаруживают определенную однородность относительно времени, они колеблются около среднего неизменного значения, причем пв их средняя амплитуда, ни общий характер заметных изменений во времени не претерпевают. Однородны во времени и некоторые виды случайного кпвематического возбуждения, как, например, воздействие неровностей дороги на движущийся по ней автомобиль, конечно, при условии, что на большом протяжении качество покрытия остается практически неизменным, а автомобиль движется с постоянной скоростью. Такие воздействия с постоянными вероятностными характеристиками относятся к категории стационарных случайных процессов.
В зту категорию входят и результаты таких воздействий, т. е. вызванные ими колебания механическпх систем (имеются в виду колебания около устойчивого состояния равновесия). Из стационарной случайной функции, описывающей вынуждающую силу, всегда можно выделить и вычесть ее математическое ожидание, постоянное вследствие ста- 40 я, Г. панаево 146 ГЛ и. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕВАНИЯ ционарности функции; после этого рассматривается переменный «остатокз — центрнрованная случайная функция ~(~). Выразительной характеристикой ее свойств служит корреляционная фушция — математическое ожидание произведения ~(«)Ч(«+ т), сомножители которого относятся к двум моментам времени, разделенным промежутком т. Зта функция оценивает степень зависимости между «сечениями» случайной функции в различные моменты времени.
Если случайная функция действительно стационарна, то результаты вычислений не могут зависеть от выбора момента времени ~, а будут зависеть только от абсолютной величины ~т~. В практических случаях корреляционную функцию йв(т) получают путем обработки данных натурных наблюдений и часто представляют в виде несложных аналитических выражений типа .()е "~'~, Юе "', Ре "~'соерц А«е~' созф с соответственно подобранными значениями параметров В, ««, р. Отметим, что в ходе такой обработки контролируется сама стационарность изучаемого процесса — по признаку независимости математического ожидания произведений у(«)()(«+ т) от выбора значений й Разумеется, что для заведомо стационарного случайного процесса корреляционную функцию можно определять как математическое ожидание произведения ~ (0)~)(т).
Значение корреляционной функции при т = 0 представляет собой математическое ожидание квадрата стационарной случайной функции, т. е. ее дисперсию не(0) = ь''. При обсуждении детерминированных задач теории вынужденных колебаний в п. 5 Э 5 и п. 5 З 6 колебательный процесс был представлен в виде суммы гармонических колебаний различных частот. Распределение амплитуд по различным частотам (дискретный или непрерывный амплитудный спектр) дает возможность судить о том, какого рода колебания доминируют в рассматриваемом процессе, какова его внутренняя структура.
Такие спектральные представления могут относиться и к вынуждающей силе, и к координате системы д(«). Аяалогично этому стационарный случайный процесс также может быть описан суммой гармонических составляющих, по их амплитуды будут случайными величина- З 6. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ ми. Спектром стационарной случайной функции принято называть распределение дисперсий по всем частотам. Если спектр непрерывный, то его описывают функцией Я(е») — спектральной плотностью дисперсии стационарной случайной функция (часто слово «дисперсия» в этом наименовании опускают).
Между спектральной плотностью Я(е») и корреляционной функцией Й(т) существуют соотношения О Й (т) = ) Я (е») соз а»т «(«», о (6.6З) О Я (а») = — 1 Й (т) соз «ет с(т, 2 р « (6,64) определяющие прямое и обратное косинус-преобразования Фурье. Если в (6.63) положить т = О, то для дисперсии стационарной случайной функции получится т".7 = — Й (О) = ) Я (е») «(«о.
о (6.65) Таким образом, если корреляционная функция Й«(т) известна (задана, найдена), то по выражению (6.64) находится спектральная плотность Я«(е») и можно перейти к определению колебаний механической системы, вызванных действием случайной силы. Здесь основным является соотношение Я«(о») = 1И'1«Я«( о»), (6.06) (Иг 1' = 1 (с — ам ) + (Ьн)« (6.67) ° и* связывающее спектральную плотность колебаний системы Я,(е») со спектральной плотностью вынуждающей силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
