Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 23
Текст из файла (страница 23)
конфигурацию системы при ее наибольшем откловевпв от состояния равновесия. Коли сраввпть полученный определитель Х1 (8.13) с частотным определителем (4.29), то можво заметить, что опп совпадают при ю = л. Но в этом случае определитель Х) обращается в нуль, так как именно из этого условия были найдены собственные частоты й1, йз, ..., й,. Однако если Х1 = О, а Л,ее О, то, как зто видно из формулы (8.12), все амплитуды А, становятся неограниченнымл, т. е. возникает резонанс. Таким образом, можво сказать, что резонанс наступает при совпадении частоты вынуждающей силы с л го б о й вз собствеввых частот.
Возможпы и протввополохсвые случаи, когда при определевных значениях О обращаются в нуль Некоторые определители 121 (при зтнм ХсФО). Тогда амплитуды А1 соответствующих координат д1 оказываются равными пулю, что свидетельствует об отсутствии колебаний по зтпм координатам. Это явление называется а н т и р е з онансом. Остановимся подробвее ва случае системы с двумя степенями свободы. Из ураввевий (8.11) можно получить следу1ощпе формулы для амплитуд А1 и А21 Ы1 (с 1 — а2,О ) — ХХ2 (с12 — а12О ) 5 3 систвмы с песколькими сткпвпяыи своволы 163 Положим, далее, что вадлежащпм выбором коордвват достигнуто выполнение равевств ав = ам = О и, кроме того, задано Нг = О.
Прп этих условиях выралсевия (8.14) прпвпмают вид 'Л,'- "') (с . — а вг) (с — а вг) — сг и ' ы гг сг ы г 22 А, =- (с,г — а, в ) (с — а сг ) — сгг Условие (с„— аг,в') (с,с — а„в') — с,г — — О 2 (8.16) определяет два резовавсвых значения частоты возмущагощей силы; ови равны собствеввым частотам )сг п йг рассматриваемой системы с двумя степепямп свободы.
Условие с22 — а22в = О 2— (8.17) определяет частоту автирезовавса. При атой частоте колебания, соответствующие первой коордппате, полвостыо отсутствуют, а наибольшее звачекпе сторон коордипаты согласпо (8.15) равно Нг А 2 12 В этом результате содержится пптересвая возможность практической борьбы с колебаниями; ею пользуготся в некоторых областях техники. Допустим, что имеется векоторая система с одвой степенью свободы, подверясевпая действию гармонической вывуггсдагощей силы. Усложнив систему путем добавления дополнительной массы ва упругой связи п подчпвпв звачеппя жесткости и массы дополкптельвой части условию (8.17), можно добиться устранения вибраций основной части спстомы; в этом случае дополнительная часть системы называется динамическим еосителем колебаний (динамическим оиброеасителем) . Следует иметь в виду, что такой гаслтель зффектпвев лишь прп строгом постоявстве частоты в возмущающей силы; в противном случае он может оказаться даже в р е д н ы м.
Для смягчепия этого недостатка обычно вводят в систему дипамического гасителя силы трения, И* 161 Гтг Н ВЫНУЖДВННЫЕ КОЛВВЛНИЯ И, »Оп ш1 устанавливаем: ам=аз, О, а22 = С12, ан = иь Ся = Сг+ Сг, Сгг = Сн = — с2 с22 = сг, Согласно условию (817) должно быть сг — тгюг = О, т. е. искомое соотношение (условие настройки динамического га- сителя) имеет вид с = ю т и не зависит от значений с, и тг. На рис, 8.2 показано изменение амплитуд А1 и Аг в зависимости от частоты ю возмупгающей силы, При построении графикон была принято Н, = 10 Н, сг = сг =. = 10 Нгсм, тг = жг = 1000 кг. При атом собственные частоты равны йг = 0,618 с ', йг = 1,618 с ', а соответствующая антиревонансу частота равна 1 с '.
П р и и е р 8,2. Найти амплитуды колебаний сосредоточенных г узов, связанных с двухопорной упругой балкой (рис. 8 3, а), ассы грузов одинаковые я равны т, жесткость еу сечения балки постоянная, На средний груз действует вынуждающая сила Нв)п юг. Дифференциальные уравнения дзшкепня систем етого тина удобнее составлять с помощью обратного способа. Привяв за обобщенные координаты уь уь ул — отклонения грузов от пополнений котор лают гаситель «в среднем» полезным в достаточно оком диапазоне частот еь П р р 8,1. На левый грув системы с двумя степенями свободы 8А) девствует гармоническая вынуждающая сила Нг з)ял )ти, при каких соотношениях массы юг правого груза и козффицпекта жесткости с, правок пружины исчес, загот колебания левого груза, т.
е. правый груз оказывается дипамическилг гасителем колебаний, Козффициент жесткости сг левой пружины и масса тг левого тру,га заданы Рис. 8Л Принимая за обобщен- ные координаты отклонения хг и хг грузов от положения равновесия, составллем дифференциальные уравнения движения: Нг мя гш — Сгхг + Сг(х, — хг) = гигуь — С2(Х2 — Х!) = С1222, Приводя зги уравнения к форме (8.3) шгхг+ (с1 + сг)х1 — сгхг = Н1 21в 122, гегхг — Сгхг+ Сгхг = О, 6 8.
системы с иескопькпми стГпГпямзт сВОГОды 165 равновесия,— имеем Уг = — тгУ~бп — тгугба — тзузбгз + Н з)п азбгг, уг = т|у)бг~ тгугбгз — тзузбгз+ Н81п абгг, уз = — ггг~угбл — тгбзззз — гязузбзз + Н ягп азбзг, где бг, — коэффициенты влияния (единичные перемещения); не г)г 5~ — — —- 4~ — —— '0 уу ~У 15 а 0 65 )У зб ез и д Рис. 82 задерживаясь на их вычислении, приведем сразу окончательные значения: 75 117 ы — т ю 243 51 б = — б =б т ))»з зт где 6 = 9. 1296ННРз С учетом этих значений, а танисе равенств т, = тг = т, = лг дифференциальные уравнения приобретают вид 75ту, + 117гпу', + 51туз+ буг = 117Ня1п ай 117туг+ 243згуг + 117туз + буг = 24ЗН япл ац 51ту~ +117туг+ 75туз+ буз = 117Ня(пас Теперь можно составить уравнения (8Л1) для определения амплитуд колебании: (6 — 75таг)Л ~ — 117та'Лг — 51та'Аз = 117Н, — 117ига'1г + (6 — 243та')Лг — 117тагЛз = 24гЗН, — 51 та'А, — 117 та'Лз + (6 — 75змо') Аз — — 117Н; отсюда находим Н 117 А =-А з 6 1 — 369к -г- 3240кз Н 243 — 3240к (1 1 — 369сс + 3240кг где к = таг))).
Как видна, амплитуды колебаний зависят от характерного параметра к, меняющегося с измеяеяиезг частоты возбуж- 166 гл, н, выпь ждннныг гсолнвлнгтн денна При а~ = 0,00278 и аа = 0,11111 знаменатели найденных выражений обращаются в нуль, т е аьшлитуды колебаний становятся неограниченными (резонансные состояния, когда частота возбуждения совпадает с каков-лиго собственной частотой рассматри- 245 117 117 о 58 222 а-000 а-0,002 г — 205 а=0,00 -1$,8 — 18,8 -01,7 а=0 11 1'пс, 83 ваемой системы), Па рпс. 83, б — з показаны формы иаогаутоб осп балла при НД = 1 и нескольких апачениях параметра а 1так как при изменении а зпаченпя А~ и Аз измеггяются на несколько 6 з.
спсткмы с 1«есколькпми стгппт!ямн сзоволы 167 порядков, кривые построевы в различных масштабах) Кривая па рис б построеяа дла с« = 0 (статпческое пагружепие), По форме от пес мало отличается кривая ва рис в, отяосящаяся к сравнительно вебольшому значению параметра ск Кривая па рис. е построена для околорезовшюпых условий и близка и первой собствепвой форме. Кривая на рис д относится к «межрезопапсвымз условиям а1 < 0,005 < ак здесь нужно отметить, что перемещения находится в протигшфазе с вынуждающей силой (подобно зарезопапспым режимам систем с одной степенью свободы) Кривая ва рис.
е соответствует автирезоязясу (при сг = 0,075 значение А« обращается в нуль). На рис ж показана кривая для частоты, немного кавычек, чем вторая собственная частота, а кривая па рпс. з — для частоты, несколько превосходящей вторую собственную частоту, Можно показать, что при дальнейшем возрастании параметра а изогнутая ось з принципе будет такой, как па рис. з 3. Действие произвольных вынуждающих снл; раздан«ение по собственным формам. В случаях, когда вынунсдающпе силы изменяются не по гармонкческому закону, целесообразен переход к норлалы«ым (глаохыл) координатам. Прн этом вмосто системы дифференциальных уравнонпй (8.2) плп систем (8.3) и (8.4) получается система независимых дпфференцнальных уравнений т);+ к';г)) = г,.),' (7' = 4, 2,..., з), (8И8) в которой па — нормальные координаты, )е, — собственные частоты, (?; — приведенные обобщенные силы.
После того как образована система (8.18), дальнойшее решенпе сводится к исследован«по колебаний ряда незавнскмых систем с одной степенью свободы (см. п. 4 з 5). Пусть обобтценные координаты первоначально приняты таким образом, что лсходная система дифференциальных уравнений записывается в виде (8.3). Для требуемого перехода к системе (8.48) нужно предварительно найти сооственные частоты )сг и коэффнцнепты собственных форм х«ь Далее положим т' =,~~~ з«г«т)«- (8 зО) «=1 Тогда (8.3) запишется в виде. « «« а; .,"„Хдт); + ~, 'сдг ~~ Х, «т)« --= ф. (8.20) «=г Изменим порядок суммпровання во втором слагаемом: ~ ся ~~,'з Х„пд =,,'Р~ т); ~~Р~ с;„х„ь г=т «=1 «=1 г=г Гл.
и. Вьшуждннттьте колкБАпия н заметим, что входящая сюда сумма по г согласно (4.46) равна Х с;„х„; = а„йтхд. Теперь уравнения (8.20) принимают вид в а; ~ х;; (т)т + й,'цт) =- Д,. 1=. 1 (8.2() Умножим каждое из этих равенств на х, п затеи сложим их: ~ н„а; ~, н„;(т~+ й;т)т) =- ~ ~ттн;, ~с~~~ (тр + й;цт) ~ атх~.,хь, — — — ~ ~зхв . (8.22) Согласно свойству ортогональпости собственных функций (4.65) равны нулю все входящие в левую часть суимы по у, кроме той, в которой индекс т совпадает с индексом т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
