Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Приближенное эначенпе для амплитуды А1 найдем пэ первого уравнения (7.21), положив в нем р = О: А,= (7. 22) з(~о "' ) Далее, предположив, что Анз т= О, представим второе уравнение (7,21) в виде з 4(9 з м)з Л17з АпзА, + 2А, + 2 = О. А, =- — [1 )' ', ' — 7~. (7.23) Отметим, что при р ) О для вещественности решения необходимо выполненве условия ы)ЗЙ ~7 1+ — — Л„ (7.24) Отсюда следует выражение амплитуды субгармонпческих колебаний $56 ГЛ. П. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ т.
е. субгармонические колебания возмонгеы лишь при достаточно больших (относительно основвой частоты свободных колебаний) частотах возбуждения. Если Р ( О, знак неравенства в (7.24) должен быть изменен на обратный. С учетом (7.22) приближевно получим за("о — ы ) 27ит6 (7.25) Исходя из первых приближений (7.22) и (7.25), можво получить с помощью основных уравнений (7.21) дальнейшие уточнения значений амплитуд колебаний А~ и Анз. На рис. 7.3 показаны зависимости амплитуд колебаний Л1 и Лнз от частоты в вынуждающей силы. Таким образом, субгармонические колебания в системах с жесткой (мягкой) характеристикой возможвы А„А,,~ Рис.
7.3 лишь при достаточно больших (достаточно малых) значениях частоты в вынуждающей силы; однако если субгармоническпе колебания возникают, то их амплитуды могут значительно превосходить амплитуды основных колебаний, происходящих с частотой ю. В наших выкладках мы не учитывали действие спл трения; более подробный анализ показывает, что эти силы не только уменьшают амплитуды субгармоническпх колебаний, яо способны — прв пх достаточной иптевспвности — полностью подавить субгармонические колебания. 5.
Способ поэтапного интегрирования для кусочно-линейных систем. В отличие от ранее рассмотренных в этом 5 т. нелиненнАя ВОсстАнАВлиВАющАя силА 157 параграфе случаев задача о вынужденных колебаниях систем с кусочно-линейными характеристиками в пРинципе допускает точное решение, которое соответствует сказанному в э 3, где речь шла о свободных колебаниях. Здесь, при анализе вынужденных колебаний также нужно поочередно решить ряд линейных задач, соответствующих прямым участкам характеристики, расположенным Рис.
7,4 между точками перелома. Для определения постоянных интегрирования служат условия перехода от этапа к этапу, а также условия периодичности. Проследим применение этого способа на случае вынужденных колебаний системы, показанной на рнс, 7.4, а. Зта виброударная система (модель Русакова — Харкввича) состоит из груза 1, упругого элемента 2 и одностороннего ограничителя 3, установленного с зазором Ь. На груз действует гармоническая вынуждающая сила, которая вызывает колебания, достаточно з н а ч и т е л ь н ы е для того, чтобы происходили удары груза об ограничитель. Отсчет перемещений груза будем вести от положения, в котором пружина не деформирована.
Начало отсчета времени совместим с моментом непосредственно после какого-либо удара груза об ограничитель. При этом гармоническую вынуждающую силу запишем в виде Н з1п(ю1+ 7), полагая О и ю известными, а начальную фазу 7 неизвестной. Кусочно-линейная характеристика этой системы состоит из двух полупрямых (рнс. 7.4, б). 158 Гл. и. Бьшужджгные кОлеБАния х (Т) = х (О), х(Т вЂ” О) = х( — О) . (7.28) (7.29) Условия (7.28), (7.29) вместе с условием (7.27) позволяют найти все постоянные, которые войдут в решение задачи. Исключим скорость х( — О) из (7.26) с помощью соотношения (7.29); тогда получится связь между скоростнмп в начале периода и в его конце (т. е.
непосредственно перед следующим ударом): (7.30) х(0) = — Вх(Т вЂ” О). Решение основного дифференциального уравнения, записанного для интервала движения между двумя уда- рами, тх + сх = Н згп (221+ 7), имеет вид х = С1з1пйг+ С,созй+ ', +2~ . (7.31) т (й2 — 222) Отсюда следует, что скорость меняется по закону х С,йсозй — С,йзшй~+, ", ~ .
(7.32) (ь2 2) Примем, что при ударе груза об ограничитель скорость груза мгновенно меняется, следуя соотношению х(0) = — Вх( — О), (7.26) где Н вЂ” коэффициент восста1говяения; аргумент ( — О) означает момент времени, непосредственно предшеству1ощнй удару. Не рассматривая всех возможных движений, исследуем возможность существования строго периодического режима периода Т, равного периоду 2Я/ы вынуждающей силы.
Еще до составления и решения уравнений задачи можно ожидать, что движение будет происходить в общих чертах так, как показано на рис. 7.4, в; через равные промежутки времени Т происходят удары об ограничитель, сопровоя1даемые сменой анака скорости. Рассмотрим один период движения, в начале которого х(0) = — Ь.
(7.27) Кроме того, можно записать следующие условии периодичности: 5 х нвлипвинАя восстАИАвливАющйя силА я9 Из условий (7.27), (7.28) и (7.30) находим + Н21" т 2 (й2 2) кТ + С кТ + Н 21в (вТ + т) т й — в С к+ нвсовт т (й2 — в2) = — )7 [С1)2 соз ЙТ вЂ” С,й зш )2Т + Нвсов (вТ+ т) 1 т(й — в ) В этих трех уравнениях содержатся трн неизвестные ве- личины: постоянные С1 и С2, а также начальная фаза 7 вынуждающей силы. Пусть, например, 17 =0; тогда, учи- тывая, что эп1(вТ+ 7) —.— з1дп 7, соз(вТ+ 7)= сов 7, после решения уравнений найдем "е 7 = В+и) йт в  — Н) 2 й' сйй — —, Н юв7 йТ С,= —,, та —, т(й2 — в) 2 ' Н 21в '1' т(й2 — в2) ' Теперь можно записать закон движения, справедливый для интервала времени 0 ( 2 ( Т (на других интервалах времени движение полностью повторяется): Н зш (вт + 7) — зш у соз Йг— т (й2 — вз) йт) — зшузтпйтйц — 1.
2)' Конечно, приведенное исследование колебаний виброударной системы недостаточно полно. Во-первых, формальная возможность режима колебаний с периодом Т еще не означает его физической осуществимости — для этого необходимо, чтобы такой режим был устойчивым. Во-вторых, в подобных системах наряду с изученным режимом возможны периодические режимы с периодами вдвое, втрое и т. д. большими (субгармоннки), и следовало бы также исследовать пх существование и устойчивость. Именно так ставятся и решаются задачи о работе различных виброударных механизмов. ГЛ.
и. ВЫНУЯ1ДВННЫВ КОЛЕБАНИЯ 5 8. Линейные системы с несколькими степенями свободы 1. Общие уравнения. Если на линейную колебательную систему без трения с г степенями свободы действуют внешние силы, явлнющиеся заданными функциями времени, то уравнения Лагранжа принимают вид — — — — + — =ь,ь; (1=1,2, ...,г), (81) д l дТХ дТ дП й д дд; ддд — 1 ~дд ) где 5 = ф(1) — обобщенные вынуждающие силы, соответствующие избранным обобщенным координатам еь Пользуясь общими выражениями (4.2) для кинетической п потенциальной энергии, приходим согласно (8.1) к следующей системе дифференциальных уравнений: ь ~~~~ (аь,дь + сдам) = 5 (1 = 1, 2, „д). (8.2) А=1 Если обобщенные координаты выбраны так, что кинетическая энергия представляется канонической формой (4.6), то аьь = О прн 1Ф л, п система ураи1епнй (8.2) упрощается: ь аье;+ ~~~„гмуд.= (); Ц =- 1, 2, ..., Б).
(8.3) 1=1 К этим уравнениям, каждое из которых содержит по одному обобщенному ускорению, мои1но прийти с помощью прямого способа, не пользуясь уравненпямп Лагранжа. Если прп соответствующем выборе обобщенных координат к канонической форме приводится потенциальная энергия (с11= 0 прп )ФЙ), то уравнения (8.2) принивааот вид ь ~~~ аььоь+ с д = ',ььд (у = 1,2, ..., г).
(8.4) Ь=1 Каждое пз уравнений (8.4) содержит по одной обобщенной координате; этп уравнения можно получить пепосредственно по обратному способу. Ниже мы остановимся ва некоторых важных типах зависимостей обобщенных вынуждающих сил Щ(1) от времеви. з 8. системы с несколькими степенями сВОБОды 1я 2. Действие вынуждающих сил, изменнющихся по гармоническому закону; непосредственное решение. Предположим, что обобщенные вынухсдающие силы изменяются по гармоническому закону ф=Х,81 ( у+бу) (у=1,2, ...,8), (8.5) т.
е. имеют одинаковые частоты, но различные амплитуды и фазы. Вместо (8.5) мохсно записать: ~Р = Н; 'соз 6; зш ог + Н,' зш 6; соз оу. (8.6) Далее, можно разделить задачу на две задачи: одна пз них относится к случаю действия синусоидальных вынуждающих сил (8.7) Щ=Нсзшог (здесь принято обоаначение Ну = Н,'созбу), а вторая— к случаю действия косивусоидальных вынуждающих сил Щ Сс сов ог (8.8) (гдо Оу = Н, 81п 68). Эти задачи совершенно однотипны, поэтому ограничимся случаем действия сивусоидальных спл (8.7). Тогда уравнения (8.2) запишутся так: 2~ ~(ау»су»+ су»у») = Нузш оу (у = 1, 2, ...,г).
(8.9) »=о Установнвшеесн движение будем разыскивать в виде Р,=А881пог (у=1, 2, ..., г). (8.10) В этой записи видно, что все обобщенные координаты изменяются с единой частотой, равной частоте вынуждающих снл. Подставляя (8.10) в дифференциальные уравнения (8.9), приходим к следующей системе алгебраических уравнений для определения амплитуд колебаний А,: ',~~ (су» — о'ау») А» = Н; (у = 1, 2,..., г). (8А1) »с Г П такой же системе можно прийти, если в (8.9) ввести пРавые части Нуеов и рааыскивать регпение в виде дс =А ес"'. у 11 я.
Г. Пвноввн 162 ГЛ Н, ВЫНУ2КДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Решение системы уравневий (8.11) имеет вид А, = — ' (1 = 1, 2, ..., 2). Ь (8.12) Здесь Хс — определитель, составленный из козффициевтов системы (8.11), с12 — а12О2 2 сл — а 12 а 2 '12 16 2 с, — а,О 2 с, — а„О 2 21 21 (8А3) 2 с„— а„О 2 с — а О 2 с — а О и 121 — определитель, который получается из Р путем замены чго столбца правыми частями системы (8.11). Совокупность значений А; определяет форму вынужденных колебавпй, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
