Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Поэтому (8.22) можно записать в виде (Ч,„+ й„'Ч,„) Х а,н,' —:. Х ан;„. Окончательно получаем дифференциальные уравнения в нормальных координатах + й'ц„=- () (пт == 1,2,.... в), (8.23) где ~', (твх;,„ ~к~ авнт (8.24) в=1 есть привсдеипые вызулсдаюп,пе силы. Если обобщенные координаты былп выбраны так, что исходные диффеРенциальные уравнения записыватотся з виде (8.4), то аналогично можно прийти к (8.23), 6 8. системы с несколькими степенями сВОБОды 169 причем (8.25) е)„з 7=1 П р и м е р 8 3. На левый груз рассмотреипой ранее системы с двумя степевяя(и свободы (рис. 8.1) действует взяпуждающая сила Р1 = Н, (1 — е "') (Н, и и — задапвые постоянные). Найти движение системы, Для этой системы при е~ = сз = с, ап = и, = т в 9 4 было пайдево с с йз = 0,382 —, йз = 2,618— т' з ' т' х = — 0,618.
зз хет = 1,618, По формуле (8.24) находим прпведепиые выпулсдающпг силы; 0,278Н (1 е гм) Р Рг т+ т 1,618 Р 0,727Н (1 — е аг). м+ и 0,618з Теперь образуем оба уравнения (8.23): +0,382 т) = ' ' (1 — е ае), 0,278Н, т) + 2,618 и = ' (1 — е аг). 0,727Н Таким образом, составлению уравнений (8.24) должно предшествовать определение собственных форм, т. е. коэффициентов хлм и сооственных частот я„; затем образуготся выражения (8.24) или (8.25), и задача сводится к интегрированию независимых уравнений (8.23), каждое из которых описывает движение некоторой системы с одной степенью свободы. После интегрирования этих уравнений можно получить выражения для первоначально выбранных обобщенных, координат д, с помощью соотношений (8.1О). 170 гл.
и. Вынужденные колегьния Решение этик уравнений находим о помощью ныра111енин (5Д9): 0,27877, С 11 = ~1 — — е " — (21пй С -,'-(С соей С) с ~ 1!))2 1ррэ 1 1 0,222771 Г 11 =- 1 — —,е о~ —, (21пй,тй () соей,С) 1+0, +02 Здесь С)! = ссЯь ))1 = а/!!2. Н,!конец, согласно (ВН9) пакодим 0,278 0,722)12 (12 1 1 1 1 ()2 2 2 ' 2 — (щпй с Р() соей с) — (ынст с-1-й ооьй с) 77, Г с' о 449 о 197 ') (!1+В!' 1+02') 0,449 , 0,137 — (щпй !э-(1 соей с).,'- (юпй 1-1-)), соей с) 4. Действие периодических вынуждающих сил. В случаях, когда действующие на систему вынуждатощие силы изменяются по периодическому закону, возможны два пути решения задачи — в сущности те же, что и для систем с одной степенью свободы.
Первый путь основан па разложении периодических вынуждающих сил в ряды Фурье; после такого разлоятоння определяются гармонические движения, вызываемые отдельными гармониками спл (см. выше п. 2 настоящего параграфа), и найденные результаты надлежащим образом складываются. Второй путь основан на предварительном переходе к нормальным координатам, как это было изложено в п. 3 этого параграфа. Это приводит к ряду задач о колебаниях систем с одной степенью свободы и позволяет получить решения в замкнутой форме, как это было положено в з 5,п.5. Хотя в расчетной практике чаще идут по первому пути (например, при исследовании крутпльных колебаний валов двигателей внутреннего сгорания), однако ивогда предпочтительнее может оказаться второй путь, особенно в тех случаях, когда тригонометрпческие ряды, в которые разлоисены вынуясдающие силы, медленно сходятся. Глава 111 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ з 9. Общие понятия 1.
Основное дифференциальное уравнение. В рассмотренных выше задачах о колебапилх действующие силы можно было отнести к одной из трех категорий: позиционные (в частности, восстанавливающие) силы, зависящие только от обобщенных координат д,; диссипативные силы, определяемые обобщеннымн скоростями д„' вынуждающие силы, являющиеся заданными функциями времени й Однако существуют силы более сложной природы, в частности нестанаоларные поеицаопные силы, которые зависят от координат а» а также от времени Г (в явном виде): ф, = (Э,(дь дм ..., у„й) (1=1, 2, ..., е), (ОЛ) н притом так, что нх невозможно представить в виде суммы двух слагаемых, одно нз которых зависит только от координат, а другое — только от времени. Ограничямся рассмотрением линейных систем с одной степенью свободы, когда прн малых отклонениях от положения равновесия обобщенная сила определяется выражением () = — сЧ, (9.2) причем, в отличие от случаев действия сзацпонарных восстанавливающих спл, параметр с = с (1) является функцией времени.
Дифференциальное уравнение двшкегшя ад + с (1) д = О содержит пероменный коэффициент н оппсьпзает пара- метрические колебания. 172 гл. пг. пАРлметгнческнв колввхния Как мы увидим ниже, свойства движения, описываемого уравнением (9.3), существенно отличаются от свойств свободных колебаний, определяемых дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Важное значение имеют нередко встрочающиеся в приложениях случаи периодического изменения параметра, когда (9.4) с (1+ Т ) = е (1) .
Соответствующие этим случаям колебания называются параметрическн возбуждаемыми или, короче, параметрическими. Решением дифференциального уравнения (9.3) при условии (9.4) мы займемся ниже, но уже здесь отметим, что амплитуды параметрических колебаний— в зависимости от значений постоянных системы — либо остиотся ограниченнымн, Д(В ' — либо возрастают во вре- пени. Очевидную опасез о ность представляют колебания с возрастающими амплитудами; зто явление называют параметрическим резонансом.
По некоторьти признакам, о которых будет сказано виже, параметрический резонанс существенно отлпчаотся от «обычного» резонанса и в определенном смысле опаснее последнего. 2. Параметрические колебания около положения равновесия. Прежде чем обратиться к решению дифференциального уравнения (9.3) и исследованию зозмо1кностп параметрического резонанса, рассмотрим некоторые простые механические системы, колебания которых являются параметрическими; в зтпх случаях часто параметрпческими называют и сами системы.
В качестве первого примера рассмотрим симметричную абсолютно жесткую балку длиной 21 со средней шарнирно неподвпжной опорой и двумя упругими опорами на концах. Коэффициенты жесткости упругих опор одинаковы и равны с«(рис. 9.1). К балке приложена переменная горизонтальная сила Р(1), заданная в виде периодической фупкцип времени. В положеппи равновесия ось балкп горизонтальна. При малых отклонениях балки от положения равновесия (см.
штриховую линию 173 М З. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ на рисунке) на нее действует момент сил упругости — ссс9Р и момент продольной силы Р(с)с9с; полный момент, представляющий собой обобщенную силу в данной задаче, М [сос Р(2) 1%(, оказывается функцией координаты са и времени й Соответствующее дифференциальное уравнение движения имеет вид — [сс( — Р(~))Й9 = Уст (где 1 — момент инерции балки относительно оси вращения), или се Р(О со+ с Кр= О Оно относится к типу (9.3), Другим примером может служить маятник с колеблющейся по вертикали точкой подвеса (рис. 9.2, а).
Пусть 1 — длина маятника, т — масса груза, у = у(г)— заданный периодический закон движепия точки подвеса. Дифференциальное уравнение малых относительных колебаннй маятника имеет вид ( — ту — ту) йр = трсо ( — ту — переносная сила инер- ции), или ссу + + ~ ( са = 0; (9.5) как видно, зта система таклсе и относится к типу параметриче- 4 скнх. а Х В качестве третьего пркме- Рис. 9.2 ра рассмотрим вертикальный безмассовый упругий стержень 2 длиной с, показанный на рис.
9.2, б. С концом стержня связан сосредоточенный груз 4. Верхней опорой служит неподвижный шарнир 1, а нижней опорой служит втулка 8 с коротким подшипником. Ксли считать подшипник шарнирной опорой и пренебречь влиянием силы тяжести груза, то козффициент изгибной жесткостк балки определяется 174 Рл гп плгхмктгическне колевлния формулой теории сопротивления материалов ЗЕ,7 с= и 1 (1 — г)' где х — расстояние между опорами. Втулке задано периодическое движение около некоторого среднего положения, определяемого расстоянием зэ. Состоянию равновесия соответствует положение груза на вертикали и прямолинейная форма оси стержня. Прн возмущении этого состояния груз отклоняется в сторону, ось балки изгибается, и последующее движение груза описывается дифференциальным уравнением х+, х=-О, зв.г (9.6) тХ (Х вЂ” г (1)) которое также относится к рассматриваемому здесь типу. Исследование решений подобных дифференциальных уравнений позволит судить об устойчивости состояния равновесия, около которого происходят колебания.
Если параметрически возбуждаемые колебания постепенно затухают (или по крайней мере не имеют тенденции к возрастанию), то состояние равновесия следует признать устойчивым; если же колебания происходят с возрастающими амплитудамп (параметрический резонанс), то состояние равновесия не ус т ойч ив о. Поэтому в подобных случаях самым важным лвляется выяснение основной тенденции параметрических колебаний. 3.
Параметрические колебания около стационарного режима двшкенпя. П необходимости исследовать свойства рошелпй дпфференцпальных уравнений с переменными коэффициентами приводят также задачи об устойчивости стационарных режимов движения. Обычно дело сводится к следующему. Допустим, что после решения некоторой задачи о движении механической системы найден режим движения, описываемый функцией д= д(1).
Для исследования устойчивости этого режима необходимо предположить, что он каким-либо образом нарушен и возмущенное движение описывается функцией д+ бд, близкой к функции д(1); здесь бд(1) — вариация функции д(1), т. е. отклонение системы от исследуемого режима движения. Если функция бд с течением времени возрастает, то исследуемый ро ким д = д(1) неустойчив; в случае постепенного затухания функции бд режим д = д (1) у с т о й ч и в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
