Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 28
Текст из файла (страница 28)
12 4 ная с неконсервативными свойствамп рассматриваемой системы с двумя степенями свободы. Обозначим: у(1) — перемещение центра тяжести пластинки, 91(1) — угол поворота пластинки, с1 н с2 — коэффициенты жесткости упругих опор, т(2/12 — момент инерции пластинки относительно осн, проходнщей через центр тяжести пластинки перпендикулярно плоскости чертен1а, Ь вЂ” длина пластинки вдоль потока, Ь вЂ” расстояние от точки приложения подъемной силы 1 = йз — "' йр 2 до правого края, Л,=-с,(у+%, Л2 — — 2 ~у — Ф ) — упругие силы реакции.
Дифференциальные уравнения возмущенного двнженпя нме1от вид — Л,— Л,+2'=Вту, 1\ 211 а 12 Уотеяс!ИВОСТЬ ООСТОЯНИЙ РАВНОВКСИЯ 195 Подставляя сюда выражении для У, В1 и 212, получаем однородную систему у+ С11у+ с121р = О, (12.7) 1р + сз,у + с22ф = О, в которой с +с сп =— (с — с)2 2ю т 2 С =- ' ' +6 —" — (1 — 26). 3(с +с ) 242 рсз Ж С422 2 6(с — с ) Се, =- Ы получаем А, ()2 + с11) + Атем = О, Л1см + Л2(Л + с22) = О; отс1ода следует характеристическое уравнение Х + Л (С11+ С22)+ С11С22 — С12С21 = О. Таким образом, корпи ларактерпстпческого уравнения имеют впд )"1.2,2М (12.8) Если разность с11с22 — смею отрицательная, то один пз корней (соответствующий двум знакам плюс) оказывается вещественным н полонсптельпым; отвечающее зто- 13» Сразу отметим, что неравенство смчь с21 служит признаком неконсервативности систелты; ниже мы непосредственно убедимся в том, что энергия рассматр1гваемой системы может с течением времепп убывать (прп малых скоростях потока) или возрастать (прп достаточно больп1нч скоростях потока).
Принимая частное решенно системы (42.7) в виде у = А1е", 1р = Атес', 196 гп. ~т. тстойчнвость состояний гхвновисня му корню движение представляет собой апернодический монотонный уход системы от положения равновесия. Следовательно, зто положение — н е у с т о й ч н в о е. Голи же эта разность положительнан и удоцлсююряет неравенству с +с 22 с„с„— с„сю ) ( то корпи (12.8) оказыва1отся комплекснымн: Х ~ = сс + ф, Лз = а — 19, Хз = — а + ф Хс = — а — си где а и р — положительные н веп1ествеппые. Первой парс этих корней соответствует движение р .= Лне с' 1- Л„е ' =- В,е ' е1п ((1с Р у,), ср = Анас'+ Л„е~с = В,е"'е(п (рс + у,), т.
е. колебания с монотонно возрастающими амплитудамп. Отсюда ясно, что в рассматриваемом случае состояние равновесия также н е уст ойчи в о. Таким образом, для того чтобы рассматриваемая система после возмуп1епия оставалась в окрестности полопссппя равновесия (что и принимается вдесь за признак Рис. 12.5 устойчивости), необходимо, чтобы разность спсм — смею удовлетворяла двум неравенствам: (с +с )з О ( сыссз — снст~ ( (12.1)) При нарушении первого неравенства возникает дивергенция (рпс. 12.5, а), а прп нарушении второго норавсп- а ю кстончпвость состояний Рлнновьхня ства — колебания с возрастачощими амплитудами (рис.
12.5, б); такие колебания называются флаттвром. Границам ооластп устойчивости соответствуют знаки равенств в (12.()). Если подставить в (12.9) вырансенпя сь, то можно найти два критических значения скорости, которая служит параметром, определяющпи устойчивость: скорость дивергенции Г 2с,с 1 ом)= / ра„[с (ь — 1) + с ь[ -1 п скорость фааттера ч з о~м =- 2 ~/ с — сс +с $ Зра с — с Р 1 2 Отметим, что при малых нсесткостях правой опоры, когда сз(с,[ — „— 1~, крптпческаяскорость о„р оказывается мнимой, т.
е. дивергенция невозможна. Если, напротив, жесткость левой опоры меныпе жесткости правой опоры, то мнимым становится выражение крптпче- <Ы ской скорости оаю т. е. невозможен флаттер. Флаттер представляет реальную опасность для мяогнх конструкций, находящихся в потоке жидкости ила газа (крыло,пли хвостовое оперение самолета, обгпнвка летательного аппарата, лопатка турбины и т. п.). б) Устойчивость вращающегося вала. 1'ассмотрим спетому, состоящую из вертикального упругого безынерционного вала 1, с серединой которого жестко связан оксцонтрично наса1кенный диск 3, обладасощнй горизонтальной плоскостью симметрии.
Вал с диском вращается вокруг вертикальной осп с постоянной угловой скоростью со (рис. 12.6, а). Введем координатную систему хух, равномерно вращающуюся вокруг осн недеформированного вала с угловой скоростью со. Ось х совместим с осью недеформнрованного вала, ось у направим параллельно эксцептрисптету е=АС (А — центр сечения вала, С вЂ” центр тянсести диска), а ось г — перпендикулярно осям х и у; орты осей у и г обозначим через 1 и 1 соответственно,— см. рис. 12.6, б.
При таком выборе подвплчпой координатной 193 Гл 1т, устопчивост1 сОстОяний Рлвногксия системы относительное движение диска, обусловленное изгибом вала, окажется п о с т у п а т е л ь н ы м. Исследуем зто относительное двнженпе, обозначпв: г — радиус-вектор центра тянтестп дпска С, л, у, в — докартовы координаты точкп С в подвижной коордппатноп системе, р — радиус-вектор точкп крепления Л дпска к валу (прн атом р+ е = г), с — козффпцпент жесткости Рис 126 вала (для изображенной схемы с =48ГУДз, где Еу — нзгнбная жесткость сечения вала, ( — его длина). Прн составленгн1 дифференциальных уравнений относительного двнженпя центра диска С нужно учесть силу упругости вала — ср, переносную силу ннерцпп — ттт,, и кориолпсову сплу пнерцпп — тн,, Ппла упругостп прпложена в точке Л, а обе силы пнерцип — в точке С.
Силу упругости м<пкно записать в впдс — ср = — сг+ се = — с [(у — е)) + аЦ. Переносная спла инерцпп равна — тъ', = т1о'г = тю'(у) + вй). Для кориолпсовой снлы инерцни последовательно получим: — ттг, = 2т (т, Х о1,) = 2т [(у[+ Лс) Х еЦ = = 2то1 (г) — уй), 5!а устойчссвосгь состоянии РавпОвгися 19и Проекции этих сил па осп подвижной координатной системы даны в следующей таблице: Проекции сил силы иа ось е иа ось и — с (у — е) оиоеу 2тас Сила упругости Переиоснав сила инерции Кориолвсова сила инерции — се и!соек — 2тсоу Соответственно данным таблицы дифференциальные уравнения относительного движения центра диска С име1от вид ту = — с(у — с)+ тоРу + 2тюг, тг' = — сг + тоРг — 21июу. Полагая, как п выше У = Асс"', Я = А ге"', Подставив сюда /сг = с/т (й — собственная частота попе- рочных колебаний н е в р а щ а ю сц е й с я системы), полу- чим прп ю'Ф /с у — 2юг+(/с' — оР) у = 1сге, (12ЛО) г'+ 2о1у + (/с' — оР) г = О.
с та неоднородная система уравнений допускает решение е уо =-, „, ги —.- 0; ему соответствует неизменный во 1 — сот/аг времени изгиб вала во вращающейся плоскости ху. Для того чтобы исследовать устойчивость этого режима, пред- положим, что он каким-либо образом был нарушен .и воз- никло возмущенное движение, описываемое функциямн. у — -- уи + У, г -= Е, где У(!) и Е(!) — малые отклонения от режима, устой- чивость которого исследуется.
Подставив у, г в (12.10), получим систему уравнений, которая прн учете выраже- ний уи и г приводится к однородному виду $' — 2ю2+(й' — со') У = О, Х+ 2!оЪ +(йг — !о')7 = О. 2бб гл 1у. устОйчиВОсть состоянии РЛВповясия получаем однородную относительно Л1 и Лз систему уравнении: Л,Л« — 24ОЛ«Л +(й' — «1')Л1 = О, ЛзЛ'+ 2ыЛ~Л+((4' — ю')Лз = О. Она имеет отличные от нуля корни только в том случае, когда равен нулю определитель !' — ив+ Л» — '-'НЛ О.
24»Л !4" — 4» + Лв в результате полу шм характеристическое уравнение (й — ы'+ Лт)'+(21ОЛ)' = О. Ври в Ф 4о все корни характерпстического уравнении ми Вмызг: Л1 2 3 4 = ~ ((4 ~ 4о) 4. Вто означает, что прп йта 1о система у от ойч и в а: после любого начального возмущении она будет совершать гармонические колебания с частотами й+ ю и й — 1о (нужно отметить, что этп частоты отличаются от собственной частоты колебаний невраща1ощейся системы) . Лишь в особом случае, когда 4о = (у вознпкаот нулевой (двойиой) корень, которому соответствует неустойчивость системы. Впрочем, с приближением угловой скорости ы к значению (4 само значение у«неограниченно возрастает.
Угловую скорость 4о = й называют критической скоростью; некоторый диапазон значений угловой скорости, близких к критическому значению, в эксплуатационных условиях «запрещается». Важно, что при 4О) й система вновь устойчива! чь Системы с двуми степепямп свободы с трепнем. В обоих рассмотренных в и. 3 примерах характорнстпческое уравнение оказалось биквадратным и найти его корни было легко. В более сложных случаях, например для полного уравнения четвертой степени, опреде:шипе корнаи оказывается гораздо более трудной задачей. Однако д;и суждения о знаках вещественных частой корней пет необходимости решать характеристическое уравнеппе,— Раус и Гурвиц указали условии, которым долл«ны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения, длн того чтобы вещественные части всех корней оыли отрицательнымп; приведем условия Рауса — Гурвица без вывода. й 1а устОйчиВОсть сОстОяний РАВ7говесия 2ОТ Пусть характеристическое уравнение записано в виде ЬьХ" + Ь,Х" ' + Ьт)." '+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
