Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Теперь выражении (13.26) и (13.27) подставляются в обе частя основного уравнения (13,25). Слагаемые полученного равенства будут пропорциональны различным степеням малого параметра», и следовательно, после группировки слагаемых равенству можно придать впд й.+ д~>>+ дт11,+... =6. (13.28) ддесь 1)е, Й>, Йз... — нокоъорые комплексы выражений, ие содержащие малого параметра. Так как соотношение (13.28) должно выполняться при любом значении р,, необходимо, чтобы п о р о з н ь равнялись нулю Йе, 7)>, Рз...
11рп эт<>м получаетсн система уравнений следующего вида: д, г1и>д=-О, д + й'д =- Р (д. Я де Н)) дз ~ »ода =- т а(дг(>) д>(г)) (! 3.29) Конкретный впд выраятенпй Р>, Рм ... зависит от того, какова заданная функция /(д, д); конечно, в развернутые выражении Р>, Рм ..., войдут также постоянные 7>~ дп 220 гл тв, устоичттвость состоянии ехгповгсия Далее последовательно, одно за другим, решаются уравнения (13.29), причем постоянные дт, 7м ... определлются пз условил отсутствия в решониях вековых (резопансных) членов, т. е.
таких, которые содержат время т вне знаков тригонометрических функции; те же условия позволяют также найти и амплитуду автоколебаннй. Не останавливалсь на обсуждении выкладок в общем случае, обратимся к задаче об автоколебаниях системы, описываемой уравнеяием Ваи дер Поля (13.2), которое заштшем в виде Ч+ д д(1 Чо)д (13.30) Отметим, что в данном случае йо —.-1; поэтому коэффициент при д и левой части уравнения (13.30) пушно представтгп в виде (13.27): 1 = йо + тт7 т + тт'до +...
Ограппчпвалсь учетом слагаемых до порвого порядка малости, подставим в (13.30) 1=йо+ттдт, Ч =до+ тздт. (13.31) Прп этом получится (Чо + тоут)+(й + ттдт) (Чо+ ттдт) = = тт(1 — (Чо+ ттдт) '] (Чо+ Р4т), или, обьединяя члены одного порядка малост~, (Чо + й Чо) + Р Й + й Чт '- утдо ~!о + Чодо) Р ° .. - 0 (13.32) где многоточие ооозпачает слагаемые второго и высших порядков малости. Из (13Л2) получаем уравнении вида (13.29): (13.33) Чо + й Чо = 0 Чт -]- й'Ч =- — утдо+ Чо — дедове (13 34) Будем вести отсчет времени от момента, когда координата д максимальна; искомую амплитуду автоколебаний обозначим через А, В начальный момент скорость д равна пулто, так что можно записать д(0) = А, Ч(0) = — О, пли, В 13.
с'Глцнонхгпые гнжпмы н пггдглы!Ые Пп!с.пы 221 согласно второму соотношеншо (13.31), до(0)+ од!(0) = А, д, (о) + „д, (о) = о. Для того чтобы и зтп соотношения удовлетворялись прп л!обык значениях р, должно быть до(0) = А, до(0) = О, (13.35) д,(о)=о, д,(о)=о. (13.30) Топор! поясно записать решение уравнения (13.33), удовлетворяющее начальнь!м условиям (13.35), до=А сов И, (13.37) н затем перейти к уравнен!по (!3.31), которое с учетом (13.37) получает внд д, + йзд! = — 7! А сов И вЂ” Ай юп И + Азй в!и И созе Ы. Сделав замену в(п И соРИ =- —,(в!пИ -(-в!и 3И), окончательно имеем д +йвдг= А!а '! Лва = — 7,А соз й1 — Ай(1 — —.~в(п й! -'; — в(п Зй~.
(13.38) Для того чтобы в решении этого уравнении отсутствовали вековые слагаемые, необходимо, чтобы коэффициенты прн сов И и в!и И равнялись нулю, Первое условие дает 7!=0; согласно (13.27) получаем, что ке = ко = 1, т. е. в данном случае частота автоколебапнй совпадает с собственной частотон липеаризовапной системы. Теперь лев нз второго условия 1 — 4 — — 0 находим амплитуду автоколебаний А = 2. Следует обратить внимание на то, что полученная амплитуда оказалась не зависящей от малого параметра р,, входящего в заданное уравнение (13.30).
Однако отсюда не следует, что его зяаченпе вообще несущественно для рассматриваемой системы. Значение 1! определяет быстроту приближения системы к движению по предельному циклу — чем больше 1!, тем б!!стрее происн па подробности дв!пконпн по предел ьному циклу. 222 гл !у устОйчиВОсть состояеЕии РАВеЕОВГсия В самом деле, пз (13.38) при начальных условиях (13.36) можно найти Аз - —, (3 зш М вЂ” юп 341). 324 Следовательно, с учетом (13.37), получаем 11 .=.
11„+ рее1 = А соз йЕ '- — „(3 з1п йе — з1п 341), т. е. движеЕИЕе зависит от значения р. 5 14. Переходные процессы и устойчивость с та ци он арн ьех режимов 1. Вступительные замечания. Для анализа переходных процессов также могут быль применены из.тожепные выше методы; в частности, для кусочно-линейных систем целесообразно использовать сш1соб поэтапного интегрирования, а для нелинейных систем со слабой не- линейностью — энергетический метод или метод медленно меняющихся амплитуд.
Получаемые с помощшо указанных методов результаты полезны еще и з том отношении, что они позволяют исследовать устойчивость стационарных реж и м о В. 2. Способ поэтапного интегрирования для кусочно- линейных систем. Идея способа была пояснена выше, а особоииости применения к задачам исследовании переходных процессов можно проследить на примере системы, описываемой дифференциальным уравнением (13.7). Не повторяя прежних выкладок, примем в качестве походного соотношение (13.10), которое связывает две последовательные амплитуды Ао и АЕ. В 5 13 при нахождении стационарных режимоа амплитудь1 полагались неизменными, однако здесь ири определении переходного процесса необходимо учитывать различие между ними. Введем обозначе1шя се (е — зыьч 1 1)е ~ с-выпье.
(14. 1) тогда для л1обой и-й амплитуды можно записать Л„= ()Л „1+ абаз/с. (14.2) 1 14 пеРеходныг ЫРОц>!ссь> ы устОйчиВОсть 223 С помощью последнего рекуррентного соотношения можт>о найти любую амплитуду через предыдущув> и, осли потребуется, оцепить быстроту приближе>шя переходного процесса к стационарному режиму.
Решенне может быть существенно упрощено, если, как и выше (см. $ 2, и, 2), вместо дискретной совокупности ординат рассматривать непрерывнун> фупкци>о Л(7) (огпбав>щу>о). Длн т>ш>го перехода нужно заменить конечную разность ЛЛ = А„— А„> выра>кшшем ЛЛ =- —" 2п с(А 4и Лс Тогда с помо>цью ((4.2) получим дифференциальное уравнение длн верхней огпба>ошей 2л с(Л 77„ — — =- (р — 1) А -1 я — и.
7> >77 С После интегрирования найдем прп начальном условии А =А(0) прп 1=0 сс>7 7 ви Л = ~А (О) — " ~ е асс(7 — Зжтв> э с (14.3) (1 — (4) с ' (1 — (4) с ' плп, с учетом выражения (13.11), А == (А (О) — А т) е-4*77>-е>7(ь > ( А Прп достаточно маль>х зпачонпях коэффициента вязкого тренин Ь>й„меж>>о принять а 4, (> 1 — 2нй>й . При этом получится А =[А(0) — Л„]е 4'+Л„„ ( 14,4) где согласно (13.11) 4ст — — 2Щ:ю7(нсй).
(14.5) Длн того чтобы убедптьсн в достаточно высокой точности последних выражений, рассмотрим прилтер, положив, что п77сс = 0,05. В таблице представлены безразмерные значения первых 15 амплитуд, вычисленных по рекуррентной формуле (14.2) и по прпблпжеиному уравнению (14.4) (длн того чтобы найти амплитуды А„, нужно внесенные в таблицу числа умножить на величину Лс>с).
Значение А(0) полагалось равным нулю, а значении Лто соответствующие и — ', определились по выражениям (13Л1) и (14.5). 22т гл. (у. устоичивость состояния рлвповксия Знаиенне беараамсрноа амплитуды ели/Ва Номер амплиту- ды и по Еармуле (44 2> по ураанени4а ((4.4) 3. Метод энергетического баланса. При нахождении стационарных рея(ямов в ~ 13 мы псходплп пз того, что сила а1о совершает за одни пориод раооту, рвану(о нул(о, Здесь при исследовании переходных процессов необходимо учесть, что энергии системы за период изменяется, так как работа силы а(о отлична от нуля; вместо (13.20) имеем ап/О о — аАйо ( /(Асов(1(ос — (р), — А)ооз(п(йо( — (г)! Х о Хз! (йа( — 9>) и=-ЛП.
(14,0) Здесь левая часть продставлнет собой работу названной силы за один период, а правая часть — приращение энергии системы ча то же время. Это приращение можно определить по выражению 2 Подставляя его в уравнение энергетического баланса (14.6) и пользуясь формулой (13.21), получим ЬА = —, (14.7) 'о 0 2 5 8 9 10 И 12 13 14 15 0 3,440 5,952 7,787 9,127 10,106 10,821 И,344 И,725 12,003 12,207 12„464 12,544 12,602 12,644 12,758 0 3,433 5,940 7,771 9,109 10,086 10,799 И,320 И,701 И,979 12,182 12,331 12,4439 12.518 12,576 12,618 12,732 % ы.
пеРеходные пРОцессы и устойссивость ззб Будем рассматривать зависимость А =А(1) как пепрерывную функцию времени; тогда можно приблилсенно принять "о ~~.4 о ДА 2л си' Вместо (14.7) получим дифференциальное уравнение оА Ф (А) о (14.8) совпадающее с укороченным уравнением (2.41). Интегрируя это дифференциальное уравнение при начальном условии А = А (О) при 1 = О, найдем уравнение огибающей. В качестве примера найдем переходный процесс для системы, рассмотренной в п.
2. В данном случае по формуле (13.21) находим ссаао 4да ф(А) оА, а и дифференциальное уравнение (14.8) приобретает впд зА 4τ— лЫс„А сп 2ло о Отсюда после интегрирования следует прежний резулт,- тат (14.5), справедливый для случаев малого трения. 4. Метод медленно меняющихся амплитуд. Для определения переходного процесса по этому методу непосредственно используются выведенные в з 2 укороченные уравнения (2.41). В качестве примера рассмотрим уравнение Ван дер Поля (13.30): Ч'+ Ч = р (1 — 1(') ).
По первому из уравнений (2.42) находим Ф (А) =- — р ) (1 — А" сова ср) ( — А в!п ф) в1п ф ссср = о Аа 1 = дяА ~1 — —,!. (14.0) Теперь составляем уравнение (2.41): А= 2 11 — 4) я. г. Пооаоко 226 гл. и. устойчивость состоянии глвповксия п интегрируем его прн начальном условии А = Ао при с =.0; ( ) 4 Аа ! — ш 1з)-пз Отсюда видно, как с течением времени амплитуда от начального значения Ао постепенно прнблнжается к стационарному значению А = 2 (см. также стр. 221).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
