Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 35
Текст из файла (страница 35)
устоичивость состоянии Рлвновксия 2. Хаотический осциллятор Неймарка. В $13 (стр. 209) была рассмотрена предельно упрощенная модель часов — упругая система с вязким трением, автоколебательные свойства которой определяются действием мгновеннь1х конечных импульсов, прикладываемых к системе в моменты ее прохождения через положение равновесия с положительной скоростью. Рассматриваемый здесь аттрактор Неймарка возможен применительно к упругой системе, обладающей противоположными свойствами — ее движение сопровождается действием непрерывной силы о т р и ц а- тельного вязкого трения и конечных мгновенных импульсов, направленных против движения.
Импульсы прикладываются в моменты, когда система подходит к положеншо а = 0 с достаточно болыпой положительной скоростью д > и (а — заданное значение скорости, знаки «+» и з — з и другие обозначения соответствуют сказанному в з 13). Так как при д ( о импульсы не возникают, то, после сколь угодно малого начального возмущения состояния равновесия, под действием отрицательного трения будут происходить разрастающиеся колебания, причем д .ьт =— = д„е~~~~*(здесь й ~ 0 соответствует дифференциальному уравнению д — 2йд+ агд = 0 для системы с отрицательным трением). Разрастание колебаний будет происходить до тех пор, пока в конце некоторого и-го цикла колебаний скорость д„достигнет значения о (или превзойдет это значение). Тогда на систему воздействует импульс Ь, п скорость мгновенно уменьшится до значения которое окажется начальным для последующего (л+ 1)-го цикла.
В конце (и+1)-го цикла скорость станет равной о„„., =. д+е ' ~ '. При достаточно большом значении импульса 5 этот результат окажется меньшим, чем о, т. е. вновь возникнет описанный выше процесс разрастания колебаний в отсутствие демпфирующих импульсов, который будет происходить до тех пор, пока д ( о. После того как будет выполнепо условие д ~ и, произойдет новое скачкообразное уменьшение скорости и т. д. В целом можно ожидать, что установится процесс, внешне напоминающий 239 з 1«, стгл«тньш лттглктогы б н е и и я, когда этапы возрастания амплитуд чередуются с этапами нх уоывания.
Как будет показано на численном примере, эти представления верпы, по обнаруживаемые в системе «биения» пе обладают свойством периодичности. Отметим, что в рассматриваемой системе возможен стационарный режим движения (предельный цикл), которому соответствует равенстВО Чх.«1= Чи = Дст Подставляя с»ода найденные выше выражения, найдем '«.
Я Д" = (, ыь, $)' Однако этот предельньш цикл неустойчив, в чем можно убедиться, в частности, с помощью построения Кенигса —- Ламерея. То же построение позволит обнаружить и странный аттрактор в рассматриваемой системе. Для этой цели будем исходить яз точечного преобразования д е' — — при д ~~и, »»аж» Я »л»/й« при д (э, которое покааано на рис. 16.1, а. Здесь предположено, что импульс Я достаточно большой и точка С (соответствую1цая неустойчивому стационарному режиму) расположена выше точки А, т.
е, д„) э. (Отметим, что при малых значениях Я точка С может оказаться ниже точки А, по в этом случае странны1« аттрактор не существует.) На рис. 16.1, б буквой В отмечено произвольно принятое начальное значение скорости д и показан первый (восходящий) марш лестницы Кенигса — Ламерея ВЕ, 11а рис.
16.1, в показан следующий (нисходящпй) марш лестницы Кенигса — Ламерея Ег', и в общих чертах становится ясным дальнепшее развитие процесса колебаний с последовательным чередованием маршей вверх-- вниз, однако подчеркнем, что такое чередование пе означает установление периодического процесса и что значения д не могут быть меньше ординаты точки В п больше ордннаты точки А. Соответственно этому зона странного аттрактора определяется шестнугольником, заштрихованным на рпс. 16.1,г, а область его притяжения располагается в промежутке аначеннй 0 ( д ( д„.
Если движение 24О ГЛ. ТУ. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ системы начинается вне отмеченной зоны притяжения, когда начальная скорость превосходит значение д„, то ступени лестницы Кенигса — Ламерея будут неограниченно уходить вправо вверх. Иллюстрируем сказанное прямыми вычислениями для случая, когда й/й =0,01517, и=2 м/с, о/а=0,21 м/с.
О- Ю/а 0 л '~от у о р 7 Рвс, $6.1 Цри зтпх данных координаты точек, лежащих в зоне странного аттрактора, находятся в пределах от 1,79 м/с (урозепь пижпей границы зопы) до 2 м/с (уровень верхней границы зоны); теми же числовыми пределами ограничены значения абсцисс названных точек. Точка С, определяющая неустойчивый предельный цикл, расположена относительно близко к зоне странного аттрактора, обе ее координаты равны 2,1 м/с. В качестве начального значения скорости д,+ принято 1,6 и/с.
В таблице приводятся результаты вычислений пятидесяти последовательных апачеппй скорости д+. Хотя вычисления выполнялись с точностью до десяти знаков после запятой, для эконо- $16. СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ мии места в таблицу внесены значения д+ после округления до трех знаков после запятой. Из-эа этого значения при п = 2, 3, ..., 7 выглядят совпадающими со зна- 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5О 1,836 1,810 1,991 1,980, 1,968, 1,955. 1',940' 1,924 1,906 1,887 1,760 1',936 1,920 1,902) 1,882 1,860 1,836 1,'8О9 1',99О 1,979 1 2 3 4 5 6 7 8 1О 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 1,807 1,988 1,977 1,965 1,951 1,936 1',920 1,902 1,882 1,860 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1,967 1,954 1,939 1,923 1,906 1,886 1,865 1,842 1,816 1,997 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3О 1,987 1,976 1',963 1,950 1,9 35 1,918 1;9ОО 1,88О 1,858 1,'833 чениями при н = 36, 37, ..., 41, В действительности атого совпадения нет.
(Подробнее об атом см. в п.4.) Углубленное изучение этого аттрактора показывает, что при à — о марши лестницы Кенигса — Ламерея плотно заполняют вс1о заштрихованную на рис. 16Л, г зону. Фазовую диаграмму рассматриваемой системы можно представить себе, если взять за основу изображенную на рис. 13.4,а фааовую диаграмму автоколебательной системы и заменить здесь линию А1 (устойчивый предельный цикл) кольцевой зоной конечной толщины. Прежде всего отметим, что начало координат па фавовой плоскости — неустойчивый фокус.
Главная отличительная особенность фазовой диаграммы — упомянутая кольцевая зона, которая и является странным аттрактором, Наконец, существенным элементом фазовой диаграммы является неустойчивый предельный цикл — замкнутая линия, окружающая в некотором поколении зону странного аттрактора (см. кривую Аэ на рис. 13.4,а) и служащая границей области притяжения к странному аттрактору.
Фазовые траектории, начинающиеся внутри этой области, не только прптягпва1отся к странному аттрактору, но, можно сказать, «втягиваются» в него. Оказавшись внутри зояы странного аттрактора, пэобра1ка1ощая точка не выходит из нее п далее совершает здесь хаотическое движение. Если после достаточно больпюго возмущения начальная изображающая точка оказалась за 16 Я. Т.пыыовыо 242 гл. ы. гстопчивость состоянии эзвновнсия пределамп названно1| области притяжения, то фазовая траектория будет раскручиваться, все больше удаляясь от границы области.
При малой толщина кольцевой зоны (и соответственно малых размерах шестиугольника на рпс. 16.1;г) свойства системы будут близки к свойствам «обычной» авто- колебательной системы, которой соответствует рис. 13.4,а. 3. Примеры странных аттракторов в неавтономных системах. На рис. 16.2,а показан сжатый, потерявщий устойчивость упругий стержень, па который действует в поперечном направлении вынуждающая сила Р з1п ой Если амплитуда этой силы мала, то стержень будет совершать малые колебания около показанного на рисунке изогнутого положения.
В противоположность этому, если амплитуда силы весьма значительна, то установятся большие колебания — такие, что в течение одного цикла стержень будет проходить все три положения равновесия: 1) изображенное на рисунке сплошной линией; 2) положение, симметричное первому (при прогибе стержня вверх); 3) среднее положение, отмеченное па рксунке штриховой Рис 16,2 линией. Обнаружено, что в некотором промежутке зпачонпй Р~ < Р < Р, колебания носят хаотический характер, а в фазовом пространстве системы существует странный аттрактор (при Р) Рз колебания вновь прпобрета»от упорядоченный характер), Эти результаты не только были найдены путем вычислений, по получили подтверждение на специальной экспериментальной установке (см. [33[).
Совершенно теми лсе свойствами обладает система, показанная на рис. 16.2, б. Упругая пружина в изображеп- 5 16 стглнные лттгьктогы ном на рисунке недеформированном состоянии имеет длину 1, большую Й, так что система обладает тремя положениями равновесия. Система испытывает действие мгновенных импульсов Я, прикладываемых к грузу с периодом Т, Дифференциальное уравнение движения груза вдоль горизонтальной направляющей имеет вид гих + Йх + с (а — х) ~ У вЂ” 1~= Р Яб(1 — лТ). 3 2 (а — х) + Ь и=7. (16.1) Здесь обозначено; т — масса груза, х — его координата, отсчитываемая от изображенного на рис.
16.2,6 положения равновесия, Й вЂ” коэффициент линейного трепля между грузом н направляющеи, с — козффгщиент жесткости пружины, а = У1' — Й~ — проекция размера 1 на горизонтальное направление. Отметим, что при малых отклонениях груза от положения равновесия, когда х ~ а, уравнение допускает лпнеарпзацшо и принимает вид тх+Йх+'— "., = Ъ об(1 — пТ). ь=г Подробный апа,пиз здижепия после решения дифференциального уравнения (16.1) на ЭВМ приводит к следующим заключениям. При малых значениях Я происходят малые колебания вблизи показанного на рисунке положения равновесия, затем в некотором диапазоне значений Я колебания носят хаотический характер, а при еще больших значениях импульса вновь устанавливаются периодические колебания, но очень болыпой амплитуды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
