Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 19
Текст из файла (страница 19)
выражония (6.7) и (6.8) ). Принятый выше выбор начала отсчета времени, конечно, пе имеет принципиального значения. Так, при другом специальном выборе начала отсчета времени ту же вынуждающую силу можно записать в виде =Осов ад Тогда комплексные величины вводятся так, чтобы было () = Не(7, д = Нед. Для этик величин вновь получится уравнение (6.25)и) н останутся справедливыми все соотношения (6.26) — (6.32); лишь вместо (6.33) естественно получится д = А сов(ю1 — 7).
Наконец, если начало отсчета времени принято проиавольно, то вынуждазогцая сика представляется в виде Нв)п(ю1+ 1р). Вместо уравнения (6.25) будет оо -[- 67+ ау=Нек"1+и) ч) В этом случае иногда иостунают, как сказано в сноске иа стр 133, но удерживают в решении ие мнимую, а деаствительную часть, 135 Д 6. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ и вместо частного решения (6.26) нужно принять д = Хен"'"". При этом опять оказкутся справедливыми выражения (6.27) — (6.31), но вместо (6.32) получим Я=А ны+Ф и а вместо (6.33)— д = А в1п(юс+ ср — 7). Как и должно было получиться, общие характеристики колебаний (амплитуда, частота) совпадают с тем, что было найдено выше для случая, когда выпузкдающая сила записывалась в виде Ваап Ы.
Комплексная форма удобна и при анализе действия произвольной периодической вынуждающей силы, которую можно представить в виде разложения в ряд Фурье (5.23). В данном случае к комплексной форме удобно перейти несколько иначе, чем зто было сделано вьппе. В каждый член ряда (5.23) подставим сов пел = — (ем '+ е — '""") эшпай = —,(е""' — е — ые'). 1 ( 2 2~ Тогда после перегруппировки слагаемых вынуждающая сила запишется в виде СО ~7(~) = — о+ ~ — [(6а — ~Н ) сы~~ ( (Ц л вВ.) с-е'вс) (6.34) Входящую сюда сумму монсно представить в виде двух сумм.
Первую нз них запишем в виде ~ В„е'""', где В„= Я=1 = — (6„— Ж„), а вторую — в виде ~ В„е '"~', гдеВ„= и 1 1 = — (С„+ От' ). Заменив вторую сумму эквивалентным 2 выражением ~~~~ В„с'""'„приладим всему разложению в==1 (6.34) компактную форму ~7 (~) = Х Ввез (6.35) 1ЗВ ГЛ. 11.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ в которой — (Ви — 1Ни) при п ) О, 2 ~с 1 1 при п = 0'„ — (Ви+ 1Ни) пРи и < О. 1 (6.36) и — о и будем разыскивать его ретпение в виде д= Х Аие1и '. (6.37) Подставляя (6.37) в (6.36) и почленно приравнивая козффициенты при одинаковых членах с"", входящих в обе части равенства, найдем комплексные амплитуды Л„= В„Ис„. (6.38) Здесь 1 си с — а (пы)с + 1Ьпы (6.39) — частотная характеристика, подобная (6.29), но с заменой е1 на псе. Окончательно имеем д = ~~'„Вп Яиссии'. (6.40) Отметим, что здесь, как и в (6.36), каждому слагаемому номера л соответствует комплексно сопряженное слагаемое номера -п, так что сумма любой такой пары слагаемых вещественна.
Совокупность величин ~2В„И~„~ образует амплитудный спектр перемещения д(1). Сопоставляя (6.35) и (6.40), Отметим, что каждое из слагаемых В е'""' — комплексная величина (кроме вещественного слагаемого Ве), но сумма любой пары слагаемых с номерами п и — и— вещественна. Соответственно вещественна и вся сумма (6.35). Совокупность величин ~2В„~ представляет амплитудный спектр силы ()(1). Опираясь на представление (6.35), запишем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний ад+ Ьд+ сд = ~ В„есиес Ф «. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ 137 можно условно сказать, что амплитудный спектр перемещений «равен» амплитудному спектру вынуждающей силы, «умноженному» па частотную характеристику спстемы.
Так как частотная характеристика зависит от номера п, то соотноптения между амплитудами гармоник перемещения отличаются (чаще всего, существенно отличаются) от соотношений между амплитудами гармоник 0 2 Ф б 8 10 12 вт 18 а 0 2 4 б 8 10 12 14 1б Рвс. 6,7 вынуждающей силы. Естественно, что, как правило, особенно значительными оказываются амплитуды тех гармоник перемещения, частота которых близка к собственной частоте системы.
Один из примеров такого рода показан па рис. 6.7, который относится к случаю, когда на систему с собственной частотой я действует периодическая вынуждающая сила с периодом 8я/!с Частоты гармоник этой си- ~с, 1с 80 . 81« лы равны 4,' 2, '4, 'к; 4 ..., т. е. частота четвертой гармоники совпадает с собственной частотой системы. На рис. 6,7, а показаны амплитуды гармоник вынуждающей силы, а на рис.
6,7, б — амплитуды гармоник перемещения. Таким образом, переход к комплексной форме создает определенные удобства при анализе колебаний, вызывае- гл, гь Вынужденные колевания мых не только гармонической, но и произвольной периодической вынуждающей силой. Более того, комплексная форма также позволяет успешно изучать колебания, вызываемые действием непериодических вынуждающих сил чл(е). Такую силу можно представить в виде интеерала Фурье ~(1) = ) Р(в)е'"'Йо, (6.4Ц который можно рассматривать как обобщение суммы дискретных слагаемых, данкой в выражении (6.35).
В (6.44) сила ч(~) представлена совокупностью элементарных гармонических составляющих со всеми частотами, непрерывно распределенными в бесконечных пределах [ —, [, причем малому интервалу частот от в до в+ ав соответствует элементарная гармоническая составляющая с амплитудой Р(в)йо. Соответственно сказанному, Р(в) можно рассматривать как непрерывный амплитудный спектр силы у(1). Для него справедливо выражение (6.44) а интеграл Фурье (6Л4) для ч(е) принимает вид Я Э~ Д (е) = 2 ~ А (в) соз ве йо — 2 ) В (в) з1п в~ йо. (6.45) о о Согласно (6.38) элементарная вынуждающая сила Р(в)еон й» вызывает колебания той же частоты, а их Ю Р (в) = — ) ~ (М) е ми й, (6.42) Ю которое называется преобразованием Фурье или фурье»бравом функции ДЯ.
Фурье-образ Р(в) — комплексная функция частоты: Р(в) = А (в)+ гВ(в), (6.43) в которой Л(в) и В(в) — вещественные функции частоты. Поскольку Ч(Е) — вещественная функция, то из (6.42) следует, что Л (в) = — [ Е(ю)сов в~й, В(в) = — — ) ~(~)зйт~гй, Г Г з о систвмы с тгкпикм амплитуда равна Г(со)И'(со)сссо. Следовательно, колеба- ния, вызываемые всеми элементарными воздействиями, т. е.
заданной вынуждающей силой сс(С), определяются в виде интеграла д(с) = ) г'(со)Ис(со)есессссо, Х где И'(со) — частотная характеристика (6.29), которая в данном случае является непрерывной функцией частоты. Однако перемещение д(С) также можно представить в виде, аналогичном (6.41): д(С) = ) /(со) еем Йо, (6. 47) где 7(со) — амплитудный спектр перемещения. Сопостав- ляя выражения (6.46) и (6.47), видим, что (6.48) 1(со) = г" (со) И'(со). Таким образом, можно сказать, что амплитудный спектр поремещения равен амплитудному спектру вынуждающей силы, умноженному на частотную характеристику системы.
Рассмотрим пример. Положим, что на линейную систему с одной степенью свободы, начиная с момента С =О, действует произвольная вынуждающая сила (7(~), исчезающая в некоторый заданный момент Т, так что при С~ Т сила равна нулю. Как будет происходить движение системы после исчезновения силы, т.
е. при с ~ Т? Перемещения системы при с) Т можно определить с помощью (5.19) в виде Так как при с(0 и С ) Т сила сс(с) равна нулю, то последнее выражение можно записать, формально расширив т д =- — „~ сс ($) зсп 7с (с — $) сЦ = 1 о т т = — „(со ь)о<с)-.час — -ь)оюю Рсис) 1 о о 440 Гл. и. Вьшужденные кОлеБАния пределы интегрирования: Согласно (6.48) можно записать о = — „(А (й) з1п М + В (й) соз Ат) .
Здесь А(й) н В(й) — составляющие амплитудного спект- ра вынуждающей силы, соответствующие частоте со = й. Амплитуда колебаний величины о(г) определяется вы- ражением о,а,г = — )/ А' (й) + В' (й) = — ' ( Р (Ь) !. (6.49) Для приближенного решения этого уравнения воспользуемся методом энергетического баланса, т.
е. заменим заданную нелинейную силу ЛЦ) эквивалентной в энергетическом отношении линейной силой Ьод; коэффициент Ьг будем разыскивать из условия равенства работ, совершаемых обеими силами за один период: ~ Л (о) о Йг = ~ Ь оо й. (6.51) Далее приближенно примем, что и в общем случае нелинейного трения стационарный колебательвый процесс описывается, как в случае линейного трения, вы- ражением о = А з1п(Ы вЂ” '(). (6.52) При этом уравнение энергетического баланса (6.51) можно записывать для полуперпода колебаний, в течение ко- Отсюда видно, что при любой вынуждающей силе амплитуда «остаточных» колебаний зависит только от модуля величины Р(гэ) прп со = й.
5. Влияние нелинейно-вязкого трения при гармонической вынуждающей силе. Замкнутое решение задачи о вынужденных колебаниях прн произвольных нелинейных силах трения затруднительно даже в простейшем случае действия мопогармопической вынужда1ощей силы, когда дифференциальное уравнение движения имеет вид ад+В(д)+сд Нсозой (6.50) в е. систжиы с тгвнием торого скоРость (а вместе с этим и сила гг) не меняет знак.
Подставив (6.52) в (6.5т), найдем — ) Л( — Аоз(п~р)Ав(п~рй~р= 2 Авойв1 (6.53) в где ф=Ы вЂ” 7. Отсюда следует формула, определяющая эквивалентный коэффициент линейного трения: л 2) Л( — Аавш$) вшфФР (6.54) Пусть, например, сила трения задана нелинейной зависимостью (2А7). При этом л(д) = ьд!)!"-' и числитель выражения (6.54) равен ~ в Фв 2)е 5( — ~ов(п|в)вв(п1ьй,ь = — 4А"бо" ~ в|п"+'1ь<~1(ь в в Входящий сюда интеграл был выше обозначен через 1 (см. з 2, (2.20)), так что окончательно получаем ь зат (Ао) 1 (6.55) Аналогично можно определить эквивалентный коэффициент Ье и в других случаях нелинейного трения.
После того как коэффициент ог найден, задача сводится к рассмотрению эквивалентной линейной системы, движение которой определяется дифференциальным уравнением (6.4). Запишем соответствующее этой задаче выражение (6.9) для амплитуды колебаний, подставив Ь = йе/2а и с айвз А— (6.56) Здесь неизвестная амплитуда А входит не только в левую часть равенства, но и в правую его часть, так как коэффициент Бе зависит от той же амплитуды А. В связи с этим соотношение (6.56) следует рассматривать не как формулу, а как уравнение для определения амплитуды А. Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
