Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 14
Текст из файла (страница 14)
11о этой прпчипо эксперпментальпая запись (виброграмма, осцпллограмма) реального процесса свободных колебания, как правкло, не представляет собой синусоиду, характернузо для процесса свободных колебаний системы с одной степенью слободы. Однако при специальном выборе начальных условий моясно добиться того, что дяплсонпе будет описываться только какой-лпбо одной, например г-й, составляющей: д,=АР В(п()с„(+ ос,) (1= 4, 2, ..., в). (Аг.70) В этом случае отношения мезкду обобщенными координатами будут оставаться неизменными во времепп и соответствугот г-й собственной форме. В частности, для реализации этого г-го главного колебання достаточно, чтобы в начальный момент обобщенные скорости равнялись нулсо, а обобщенным координатам были приданы значения, определяющпе г-го собственнуго форму.
Н ример 4,5. Найти нвилсение системы, рассмотренной в примере 4 1, если состонпне равновесна парушаетсн приложением к цен'тру тяжести груза мгновенного импульса 3. В данном случае начальные условвн долзкны быть сформулированы следуютцим образом: Ь' у (О) = О, у (0) = †, ср (0) = О, ср (0) = О. Общее решение нмеет вид у = Ап в!и (Уз!+ сс,) + А„вш (Ьгг + ссг), ср = Аг| в!а (уз!+ сс1) + Лг. в!п (йгг+ сгг), Подставляя стона найденные в примере 4,4 отношения амплитуд, н,з ходим у = Л„мп (1г,г+ сс,) (- А, взп(1г 1 + сс ), 3 21 ср= 21 А„в!п (У г + сс ) — — г А юе ()з г+ сс ).
Длн определения четырех нензввстных Ап, А„, а,, иг используем указанные выше начальные условнн: 3 . 21 Л в!ва +А в1всс = О, — А в!псг — — г А в(псс =О, и г гг г ' 21 ы г 31,' и г 3 3 21 Л у с асс+А у сова =- —, — А усова — — гА йсовсс =0 пз ов г згг г — яг 21 пз г Зр иг' ГЛ 1 СВОБОДНЫИ КОЛЕБАНИЯ 94 Отсюда находим 81е = -(т —.
А =, а =-О, а =О. 98р 81 )>>т1яэ два корня частотного уравнения будут равны друг другу, а при выполнении равенства сыст> — — с, > (4.72) один из корней частотного уравнения»брап1ается и нуль. Не следует думать, что равенства (4.74) нлп (4.72) рис. 4,8 выполни>отся при каких-то нсклточнтельных обстоятельствах; в действительности системы с кратнымп или пулепыии корнями встречаются довольно часто. В качестве примера рассмотрим свободные колебания плоской системы с двумя степенями свободы, показанной на рпс. о8, Ооозначпм через с> п ст коэффициенты жест- Следовательно, дан>кение оиисываетсн уравненинми у —,— —.— е>п У 1 ->- — — в'>и У 1 ,, ~,8., +„,л 81 ()т8,. 3 р,.
>Р =, ) — л>п У 1 — — — л!и У 1 ",/т1п1). 9 > 4 Т т1 и носит двулчастотпый характер, 6. Случаи кратных и нулевых корней. До спх пор, говоря о корпят частотного уравнения, мы считали ит простыни и не равными нули>. Однако в некоторых слу- чаях частотное уравнение может иметь как пулевые, так и кратные корни. Убедимся в возможности этого на примере механиче- ской системы с двумя степенями свободы. Из частотного уравнения (4.32) непосредственно видно, что прп выпол- нении рапепстпа (а„сы ) атт㻠— -а>тс>т) ът = 4 (с„гтт — стт) (а„а — а>е) (4.7>) в ь систкмы с пксколькнми сткпкпямн своводы Вб ддестдд прудкин, а через га п р — массу и радиус инерции д ела относительно оси, прокоднщей перпендикулярно плоскости чертежа чероз центр тянсосдчп За обобщенные жядрдинаты примем вертикальное перемещение центра тяжести тела у и угол поворота тела др.
Тогда кинетическая и потенциальная энергии запишутся в виде '= 2Ь'+рв ') Соответственно этому уравнения Лагранжа принимают форму яду + (с, + св) у -(. (с,*дд — свд,) др =- О, (йд. 73) тр'ср + (сд(д' + с.,7',) др + (сд)д — с,(,) у == О.
Теперь предположим, что параметры рассматриваемой системы удовлетворяют двум простым (н реально осуществимым) соотношениям: с121 = сА, р' = Е~Ц; (4.74) тогда вместо иолученныл дифферепциальныл уравноннй имеем ту+(с1+ сд) у = О, (4.75) тдр + (с1 + с,)де = О.
Следовательно, инерциоиныо коэффициенты п обобщенные коэффициенты жесткостн в данном случае определиются формулами аде=ам = — О, ею=ею =О ддп = а22 сп = см = с1+ сд, и условие (4.71) выполняется, т. е. обо частоты рассмат- риваемой системы равны одна другой. Впрочем, это вид- но непосредственно из уравнении (йд.75), так как гп Вниду яезависимостн уравпеякй (4.75) постоянные интегрирования одного уравнения не связаны с постоянными ГЛ. 1 СВОБОДНЫВ КОЛВБАПИЯ интегрирования другого уравнения: у =Ага!п(И+ аг), гр Л2Б1п(гсг+ а2). Т= — + — ', П= г гр2 (гре рг) 2 2 ' 2 Соответственно этому уравнения Лагранжа имеют впд 1,ср, — с(1рг — срг) = О, г 2СР2 + С(СР2 СР1) = Ог (4.76) *) В сопротивлении материалов устанавливаетсн: с = СУг/1, где С вЂ” модуль сдвига, 1„— полпрныб ьюмент инерцнп сечеинл вала, 1 — длина вала.
Для определения постоянных Аг, Л2, ап аг служат четыре начальных условия. В общей теории линейных дифференциальных уравнений устанавливается, что обычно (но не всегда!) при кратных корнях характеристического уравнения в решении возникают слагаемые типа 1гйпй1 и гсоз121, содержащие аргумент вне знаков тригонометрических функции; в наших задачах этим корням соответствовали бы нарастающие колебания. Однако в рассматриваемых здесь случаях свободных колебаний к о н с е р в а т и на н ы х систем такие слагаемые появиться не могут — это противореь чиле бы справедливому для таких ь систем закону сохранения механи! ческой энергии (тем более это относигея к диссипативным системам).
рис. 4.9 Простые примеры систем с одной пулевой собственной частотой показаны на рпс. 4.9, а, б. Подробнее остановимся на системе, изображенной на рис. 4.9, б и обозначим: с — жесткость вала на кручение ), 1г, 12 — моменты инерции дисков относительно продольной оси системы. Принимая за обобщенные координаты углы поворота срг и 1рг дисков относительно некоторого начального положения (в этом положении вал не закручен), получим следующие выражения для кинетической п потенциальной энергии системы: В 1, СИСТЕМЫ С ПЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕПЯМИ СВОБОДЫ 97 а1! = 71, агг = Уь а!г = аю = О, С!! — С22 С, С!2 С2! С.
При этом выполняется условие (4.72) и один нз корней частотного уравнения равен нулю. Действительно, подставив найденные значения коэффгщпентов в частотное уравнение, получим †(У!с + Угс) йг + 7!72й! = О, отсюда .Г 7,+7, а!=0, аг= 1 с — ' 1 2 (4.77) Для того чтобы понять физический смысл нулевой частоты, вернемся к системе дифференциальных уравнений (4,76). Их главная особенность состоит в том, что опи допускают не только частное решение колебательного типа «р! = А, ып(йг+ и), !рг =Агвш(Ы+ и), (4.78) но таки!е частное решение вида !р! 2рг С! + Сг~ю которое Описывает равномерное вращение всей системы как жесткого целого (без скручивания упругого вала). Этому частному решению и соответствует нулевой корень частотного уравнения й! = О.
Частному решеяи!о (4.78) соответствует отличная от нуля частота йг, данная в формуле (4.77), а такяге определенное отяошение амплитуд колебательного двия!ения г 1 А 1 Х21 А 7 Таким образом, общее решение представляется в виде !р! = А! Бш(йг+ и)+ С1+ Сгт, (4.79) !р2 хг!А! а!В(И+ и)+ С! + С21 и содерн1122 четыре постоянные: А1, и, С! и Сг, определяемые из начальных условий. Движение, описываемое законом (4.79), представляет собой колебания, наложенные па рехшм равномерно- 7 я. г. паыоаыо 6 4. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 99 (4.49) и (4.50), а — Ьп Ь„...
йы- й„ь„... ь„ (4.82) (Ь) = ь„ь„... ь„ — матрица демпфирования. Решение уравнений (4.80) следует искать в форме, отличагощейся от (4.27), а именно д,=А,е" (1 = $, 2, ..., з). (4.83) После подстановки (4.83) в (4.80) получится однородная система алгебраических уравнений относительно А,; в матричной форме эта система имеет вид ((а]Хз — [Ь]Х+(е]) (А1=0. (4.84) Для того чтобы все А; одновременно не обращались в нуль, необходимо, чтобы равнялся нулю определитель системы (4.84); это приводит к характеристическому уравнению йе4( ]а] Лз + (Ь] Х + ]с] ) = О. (4.85) Р'ели псе эломонты матрицы (4.82) положительные, то пеществепные части всех корней характеристического уравнения — отрицательны. При этом среди корней уравнения (4.85) могут оказаться отрицательные вещественные корни, каждому из которых согласно (4.83) соответствует монотонное затухающее двиигение неколебательного характера.
Наряду с этим среди корней могут оказаться я к о м и л е к с н ы е сопряженные корни вида Х = — а+ 46, ),' = — а — зр (и) 0). Им соответствует затухающее колебательное движение, описываемое выражением дь = Е ' (В„СОЗ 64+ Сь ЗГП вте) . Г (4.88) Общее решение (4.80) полУчнтся как результат гзалоясе- Рис, 4 10 пия всех частных решений. Пример 46 Покзззипак ка рис. 4АО система состоит из способного пврвмещагьск по горизонтали груза 1 массы т, двух упругих пружин Б и У с коэффидиептзми жесткости сз и г, и ликейкого демпфера 4, характеризуемого коэффициентом вязкости Ь Найти общий характер движении системы, которое возникнет пв7э ГЛ, Г.
ОВОВОДНЫИ КОЛИИАНИЯ (ОО сле нарушения состояния раввовесия грува, Пластинку б считать безыверциопвой. Обозначим через х~ и зд отклонения пластинки и груза от положения равновесия. Тогда для пластинки имеем — с1з~ — Ьх|+ сз(лд — лД = О, (а) для груаа— (б) сэ(зэ л!) тлз. Полагая х, = А1з", зд = Азед', получаем одпородвую систему (с1+ сз + Ь) ) А1 — сзАз = О; — сдА1+ (сз + тйз)Аз = О. Приравняв нулю определитель ! с +с +ЬХ вЂ” сз ',1=0, с с+т)д~ придем к характеристическому уравнению тЬУ+ т(с1+ сз))з+ Ьсзд + шсз =~ О. (в) К тому же реаультату можно было прийти, если исключить коордввату л~ из ураввевий (а) и (б) м ааппсать уравнения третьего порядка для лз. тЬлз+ т(с, + сэ) лз + Ьсэтз+ с ~од*э = О. (г) Соответственно пордддку уравнения (в) рассматриваемую механическую систему можно назвать системой с П/, степевями свободы (представление о нецелом числе степеней свободы было введено А, А, Андроповым и относится к вырождеввым системам, В нашем примере достаточно было учесть массу пластинки э, чтобы система дифференциальных уравнений имела четвертый ворядок; такая мехзвическая система обладает двумя степенями свободы).
Среди корвей характеристического уравнения (в) по крайней мере один окажется веществевпым отрицательным, Чтобы убедиться в этом, рассмотрим левую часть уравнепия, При Х = 0 ова, очевидво, паложительыая, а при достаточно больших отрицательных звачевиях Х опа становится отрицательной, Следовательпо, должеы существовать корепь Х1 = — а~ (и1 ° О). После того как этот корень пайдеп (для вычисления достаточпо самой простой ЭВМ), вужво левую часть ураввевия (в) разделить ва разность Х вЂ” Х, и решить получевпое таким образом квадратпое уравпевие, При этом вайдутся два остальных коряв, в общем случае комплексных, вида йзл = — ад ~ 4 (сс, ) О). Таким образом, движение груза описывается выражением л =А да д + е з (А з(п()э+А соз()д), содержащим три постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
