Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 13
Текст из файла (страница 13)
82), получим однородную систему ( — '. -) з з л~1 з Е/ Ь вЂ” 1) А + а Р—,Еу Л А,, =- О, з 1,з тр( з 2Е) г ( ЕХ Далее составляем определитель тр 1 2ЕУ лг(г 1 з — з — 1 ЕУ т1 з — /г — 1 ЗЕ/' га( з — йз 2ЕХ =о, пгюле развертывания кото)юго получим частотное уравнение (~~~~ Р 1 Ьз — 1 — + — 1)'+1=- О. 12(Еу)з 1 Еу 8Еу/ Его корпи (для р < 1) имеют вид 3. Собственные формы. Если вернуться к системе уравнений (/К28) и подстанить в псе какой-либо г-й корень частотного уравнения, то одно из уравнений станет следствием остальных, т. е, независимых уравнений остается только з — 1; сказанное вытекает пз общих свойств однородных систем алгебраических уравнений. Этгт уравнения связывают между собой з амплитуд Лге Лз,, Л„и позволяют выразить все амплитуды через какую-либо одну пз нпх, например через первую.
Совокупность отношений Азг Азг А/1 ЗСЗ1 З КЗГ / ' 'г Изз А (ч.й-г/ // //з А г Аг ''' Аг определяет относительные амплитуды рассматриваемой 1-й гармоники, т. е. описывает кон фигур ацнго системыы в процессе свободных колебаний с г-й собственной частотой; зта конфигурация определена с точностью Ч 4. СИСТЕМЫ С ПКСКОЛ1КИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОГОДЬГ Ят до одного нропзвольново мпожтгголя, т.
е. Масштаб конфигурации остаегся неопределенным. Танке конфигурации системы завпсят только от свойств самой системы и называются собственными формами; каждому корню частот1юго уравнения соотеегствуег своя собственная форма, опрсделнсмая отношенинмп (4.44), т, е. чксло собственных форм равно числу степеней свободы системы. Велпчнны ке называютсн хоэффи44иеитами собствеииых форм; онп определяютсн только параметрамн самой системы (14озффициннты формы пс обязательно безразмерные величины, гак как обобщопныо координаты могут иметь раэлпчпу1о размерность).
Так как общий мас1пгаб каждой нз собственных форм произпольный, мтикно очгтп (лтобой) коз41фпцпепт формь1 полшкпгь равным едкпнце. Число остальных коэффпциентов х„равно г — 1 для кантд1111 собственной формы, т. с. Составляет г(г — 1) для всех собственных форм. Общее решение (4.33) с помощью коэффпцпептов формы заппсызаогся в виде тг = Д ХИА11вбл(ттс;1+ и;) 1=1 (~'=1, 2, ..., г, хи=1; 1=1, 2, ..., г), (4,45) т. е. Содержит 2г постоянных (г амплптуд Аи н столько жо начальных фаз гг,); длн определенин эвнх постоянных служат 2г начальных условий, выран ающих значения обобщонных координат и обобщенных скоростей н начальный момент. Если подставить какое-либо 1-е частное решенно в систему (4.9), то получим следующие соотношения: — а 1тгх; -(- ~ с;„кт, = 0 (4.46) т=1 (1=1, 2, ..., г; 1= 1, 2,..., г).
Лпалогнчно, после подстаповкп 11сго частного решенин в систему (4.10) найдем т — й1 ~~ аттх„+ Сткт1 = 0 (4.42) т=-1 (1=1, 2, ..., г; 1= 1, 2, ..., г). Эти соотношения будут Использованы ниже, в п. 3 $3 ГЛ. 1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ П ример 4.3. Найти собственные частоты и собственные формы длл системы, показанной ва рнс 4 1, приняв для примера с~ = =- 02, т, = 022 = т. Подставим решения (427) в полученные выше дифференциальные уравневля (4,5), положив д~ = хь д2 = = хз; тогда получим (200 — трн)Л, — с„А, = О, — 00Л~ + (00 — тйз)А2 = О. (а) Из равенства нул1о определителя 20 — таз — с следует частотное уравнение а 0 00 2 00 Еа — 3 — 62 + —,, = О.
т Отошла находим два корня: 00 ~22 Й(~ ~ " 5) т, е, 00 00 62 = О 382 —, )0~ = 2,618 —. л2 2 Полоя<ив яо = ям = 1, для определения остальныт иозффициентов собственпыл форм воспользуемся первым из уравнений (а) (то же моя<но получить и из второго уравнения).' 20 — тйа 200 — тх~ я = " =- — 0,618. 22 С Рпс, 4.6 Соответствушшие собственные формы показаны иа рис.
4.6, а, б, Получонные Выше общие соотношения мон1но записать короче в матричной форме. Вместо уравнения (4.4) пиесы (4.48) [а[ (()) + [с[ (О) = О, где (г() — матрица-столбст( (4.(5), 11 12 21 22 (4,46) а,г а, ... а з а систвмы с несколькими ствпвнями своводы йз ица инерционных коэффициентов, — симметричная матр с с ... с, м 22 ''' м (4.50) [с) = сз ВВ '' Бв с с ... с — симметричная матрица коэффициентов жесткости. !эешение уравнения (4.48) будем искать в виде (д) = (А) з)п(И+ сс), (4.51) где (4.52) — матрица-столбоц амплитуд. Подставляя (4.51) в (4.48), получаем матричное уравнение — [а] (АИс'+ [с] (А) = О, (4.53) (4.54) ( [с] — [о] й') (А) = О. Отсюда видно, что матрица-столбец (А) отлична от пуля только прн условии с)о(( [с] — [а] )с~) = О, (4.55) которос совпадает с частотным уравнением (4.29).
Переписав равенство (4.53) в виде [а] -' [с! (А) = йт(А), (4.50) замечаем, что (А) является собственном вектором ~матрицы [о[ ' [с], а !сз — собствеаяым значением отой матрицы. 4. Ортогональность собственных форм. Между амплитудами А,„п А,, определяющими дзе какие-либо собстаонные формы (и и т), существует соотношение, выражающее валснос свойство ортосопааьности собственных форм.
Установим это соотношение исходя пз общей формы уравнений (4.28) для амплитуд. Прн й'=й„калане либо )-я строка этой системы, записанная длн н-й частоты, может быть представлена в виде )с~ ~~", а;„А„„= ~~~ с;„А, () = 1, 2, ..., а). (4.52) 3=, 3=т ГЛ. 1. СБОБОДПЫИ КОЛНБзтпнн Умножив равенство (4.57) на амплитуду А„„п сложив все уравнения, получим в 3 3 3 )з,', ~Ч", А; ~~~~ а,зАзи= ~ А;,~; с,„А„и, (4.58) порядка суммирования в обеих ча- или, после изменения стях равенства, а,:„.4;т =- ~ Ази ~из с;,А;т.
(4.59) йи~ АзиХ з=1 Так как с„= с„1, можно записать сзтАзт — — Х сззАззи Х . (4.60) Но согласно (4.57) в в ~ с„А; = й' ,'~~ а,.;Акт (4.64) следовательно, соотношение (4.59) принимаот впд з 3 в в Ьи Х Ази ~з озтАззи = )зт 2~ Аз и Х ад Азт з 1 1=1 1=1 (4.62) (прп записи правой части мы воспользовались равенст- вом а„, = а„). Но, поскольку частоты )г„и зз„различны, из равенства (4.62) следует з з Х Ази Х вкАзт = О (4.63) (4,64) Последнее соотношет|е выражает свойство оргогопальности любых двух и-й и и-й собственных форм. Свойство ортогональности, выраженное соотношением (4.63), формулируется более компактно в случаях, когда а„= О при ) М= г.
Имение в такой форме обычно получаются инерционные коэффициенты прп псвользовавин прямого способа составления дифференциальных уравнений. Прн этом соотношение (4.63) упрощается и принимает внд (вместо аз, достаточно писать а,) ~а„А, Аи=О. з=1 В Х СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СРЕПЕНЯМИ СВОГОЛЪ| Я Согласно (4.59) вместо (4.63) можно также записать в в ~ А„~ с;,.А, =О. (4.65) Гслп св, = О прп ! чь г, как это получается по обратному способу, то соотнопвенио (4.65) упрощается: вв ~', с„Ав,„А,„=- О. (4.66) в=! Отметим, что шобую конфигурацию системы можно разложить по собственным формам колебанпи; это свойстж! окажется полезным при изучении вынужденных колобанпй. Пусть некоторая мгновенная конфигурация системы описываотся совокупностью значений обобщенных координат В!, Ви ..., В;, для этих значений можно записать Вв=!(!Ав!+с)!Ли+...+!7,А!, (/=1, 2, ..., г) (4,67) аВЛ в=! А!в = в ~~ атЛв, в=! (4.68) и рассматривать (4.67) нак систему уравнений, определя)ощих коэффициенты линейного преобразования в7!, Аи ..., св,.
Для того чтобы найти эти коэффициенты, пет необходимости решать систему (4.67), удобное воспользоваться свойством ортогональности собственных форм. Имея в виду случаи, для которых указанное свойство формулируется в виде (4.65), умножим каждую строку системы (4.67) на соответству!Ощее ее номеру 7 произведение аь4,„, (т — номер искомого коэффициента с7,.), а затем словким все строки. Тогда в лавой части об! разуется сумма Х В,а;Л,, а в правой части — сумма !.=1 вида в в в ;=! Согласно (4,65) среди этих членов отличен от пуля только член с) ~в а,Л;, п в результата мы получаем ;=! компактное вырансепие гл г, своводпьтв колкгзния Пример 4.4.
Найти собственные формы для системы, рассмотренной в примерах 4.1 п 4.2. Для определения собственных форм образуем отношение Аз. А~ из первого уравнения, данного в примере 4,2 (стр 88): 2 ,4 1 — —. Зйх А жр 2Еуй значении /<~ и /гз, Подставив сюда поочередно пайленные выл|с получим Лз~ 3 А, ы "А 20 гз"-Л, 21 Зрз' Оти отношания характеризугот обе собственные формы (рис, 4.7, а, б). Как видно иа рисунка, первая собственпан форма характеризуется сразннтельао малым угаом поворота груза, а вторая форма — относитально небольшим прогибом копна. Можно убелиться в ортогональности этих форм Подставим в условие ортогопальности (4,64) а, = т, оз = игра, а также найденные отношения Лп/Лц, Лм/Лы.
Тогда получим тЛ А —,' жртА А тЛггА,з(1+ р 21 ~ — — з)~ = О. д,(0) = ~ кзь4„шпа1, г=г в ц(0) = Д', хПАз1/г1созссь (/=4,2,...,з). (4.09) Соотношения между амплитудами гармонических составляющих Аы, Аш, ..., Лье входящих е закон изменения любой координаты ф„зависят от начальяых условий. 6 5. Роль начальных условий. Для Рис. 4.7 определения 2з постоянных, входящих в общее решенно (4.4о), используются значения обоощенных координат 7;(О) и обобщенных скоростей д,(0) в момент 1= О. Подстав1тв зги значения в общее решение (4.45) и в соответствующие выражения для скоростей, получим систему уравнений относительно постоянных Лы и ак с системы с ПРсколькнгзи стРПРпями сВОБОды 93 При произвольно заданных начальных условиях измененпе любой обобщенной координаты будет происходить по полигармоппческому закону, так что отношенпя между обобщенными координатами будут непрерывно изменяться во времепп.