Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 11
Текст из файла (страница 11)
П ри м е р З,З Сопоставить с точпым значением значения частоты свободпых колебаний сис~емы с зазором, вайдепиые просгейшим способом п способом прямой ливеаризации (рис. 3.2, 6). Характеристика системы описывается выражениями, даввыми в начале примера 32. По простейшем формуле (3.12) находим ГЛ. 1.
СВОВОДНЫБ КОЛЕВАНИЯ П р и и е р 3 4, Длн системы с кубической характеристикой Е(у) = со+ ()тз найти частоту сеободпыт колебаний методами гармонического баланса и медленно мепязощвхсн амплитуд. !1ервое приближение но методу гармонического баланса найдем по выражению (319), подставив туда Ь = — ~ (сА е|п зр+ ()А зш ф) в(к зй Ар = сА + — РА .
о Таким образом, получаем 3() Аз й Г йа+ — ' о 4а' (а) Длл решении по методу медленно мепнющихсн амплитуд находим по выражению (3 22) зк Ч~(А) = ~ ~ — соз фбф= — —— ()Аз созе 41) 3 нРА' о и соответственно по выражению (3.23) 3 ()А й=й + — —, 3 ало или 3()Аз О ()зА4 й' =- йа + '— + —, —. "О 4а 64 ~зьз ' о (б) й 4. Линейные системы с несколькими степенями свободы 4. Способы составления дпфферещ(пальных уравнений движения. Наиболее общий впд дифференциальных уравнений днпл ения может быть получен в формо уравнений Латранжа, которые при консервативных силах имеют вид (4.() Как видно, результаты (а) и (б) совпадают с точностью до последнего слагаемого в выражении (б), Здесь, кстати, отметим, что решение (6) становится очевидно ошвбочным, если характеристика системы чисто пелинсйнлн, т. е. когда с —.— О н соответственно (м = О В этом можно видеть напоминание о том, что метод медленно меплющихсн амплитуд в принципе применим т о л ь к о к системам с малымн пелввейпоствми.
5 4. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕПЯМИ СВОВОДЫ 73 где Т и П вЂ” кпяетпчсская п потевциальвая звергии, ц, и д, — обобщеввые коордиваты и обобщсввые скорости, 1= 1, 2, ..., в — номер координаты, 3 — число степеней свободы. Из курса теоретической механики известпо, что прп малых дав!копиях еолопомвой системы со стациоварвыми связямп около поло!ксива равновесия квпегическая и потеициальвая эяс|ргип следующим образом выражаются через обобщеявые коордиваты: в в Т ' ' е л 2 аэьо!Уь 1,!1=1 2 11 = —, ~ сзьдвдь.
(4.2) 1,2- 1 Здесь !'= 1, 2, ..., в; а = 1, 2, ..., в; о„=ам — инерционные коэффициенты, с„= с„,— евазиупрувие коэффициенты, вазывасмыс также обобщспными коэффпцпевтами жесткости. П выражовиям (4.2) можво прийти путом рассуждевпй, апалогичяых изложенным выше при выводе выраясояпй (1.4) и (1.8), огпосящпеся к системс с одной сгспспыо свободы. Если соовветстзующее нулевым значениям координат пол!!И!свис раввозесия устойчиво, то ногевциальвая эввргия в этом положении имеет изолироваввый ~мивимум, а второе из выражений (4.2) есть положигелько определенная квадратичная форма. Для этого веобходимо и достаточно, чтобы выполпялпсь следу!ощис неравенства (критерий Сильвестра): .„~в, (*" '"(~с.
11 12 ''' 11 21 22 ' ' ' 21 с 11 !2 13 СП СЫ 223 31 32 33 ) О. (4,3) 11 12 вв Применительно к системам с восколькпми сгспсвями свободы этв поразспстза име!от тот же смысл, как и условно с)0 для системы с одной стспепью свободы (см. з 1). При выполпснии неравсвств (4.3) система, вывсдсвпзя из ~положевия равповесия, совершает свободпые колсбавия.
Подставив выражения (4.2) в уравнение (4.1), получим следующую систему лппейвых одпородиых диффе- ГЛ 1 СВОВОДНЫГ. КОЛКВЬНПЯ ренциальных уравнении с постоянпымп ьозффпциентами: ~ (а«воз+с,ьуь) = О, 1 =-1, 2,..., з. (4.4) « =1 Конечно, фактическое составление системы уравнений (4.4) пе обязательно вести но схеме Лагранжа. Во мнопж задачах о колебапнях удобно пользоваться болео непосредственными способами — прямым и обратным. Согласно прямому способу из системы выделяются сосредоточенные массы (плн твердые тола) и жаждая из пих рассматривается как свободная .материальная точка (нлн соответственно мак свободное тело), находящаяся под действием позицвоппых (восстанавлива1ощи:) спл, которые выражаются чороз выбранпыо обобщонные координаты; после етого записываются соответствующие дпфференциальвью уравнения двия«опия двя материаль««ых точек (или тел).
Обратный способ противоположен прямому: после отделопяя сосредоточенных маос (или твердых тел) рассматривается оставшаяся безынерционная система жестких в упругих связей, т. е. «бозмассовый скелет«системы, который находится под действием кинетических Стат ат «1 Г ~) ж Я сМ б -ж х, -И,Х, Ю рве 41 реакций отделенных ча~стой системы, причем кинетические реакции (силы инерции) выражаются через обобщенные ускорения. Затем формулируются статические соотношения для перемещеппй безмассового (безынорцнов- вого) скелета системы.
6 1 систкмы с нвсколькнмн ствпкнями ововопы Проследим особенности названных способов на примере системы с двумя степенями свободы, состоящей из двух тел с массами т! и тм соединенных двумя пружинами, жесткости а!вторых равны с! и сг (рис. 4.1). За обобщенные координаты примем горизонтальные перемещения х! и хг грузов, отсчитывая эти перемещения от состояния равновесия, в котором пружины не деформированы. Удлинения пружин в процессе движения равны Лс! = х1, Л)2 = х2 х!.
Основной способ (уравнения Лагранжа). Прежде всего находим кинетическую энергию грузов с!а тг 2 2 2 2 и нотонцнальпую энергию деформации пружин с*2 с (г, — х)2 !1) 2 ! 2 Далее образуем производные, необходимые для подста- новкп в уравнение Лагранжа (4.1): дт ' сЗГ !и1Х11 т2х2 дг дгг — — =- 1И,Մ— —, =- тгх.„ дп дП вЂ” = С!Х, — С, (Х, — Х.,), — — -- Сг (Хг — Х,). 1 2 Теперь записываем ураввония (4.1): т!х! + с!х! — Сг(хг — х!) = О, (4.5) тгхг + сг (хг — х!) = О.
Прямой способ. Выделяем грузы и рассматриваем их как свободные тела под действием сил упругости Д!! и Лг, определяемых удлинениями Л1! и Л(г обеих пружин (рпс. 4.1, б): 1Ч! = с!Л1! = с!х1, Уг = С2Л(2 = С2 (Х2 — Х!) . Дифференциальные уравнения движения грузов имеют впд т,х! = — Ж! + Л'г, т2Х2 Лг ГЛ, 1 СВОБОДНЫЕ КОЛББАЕгнн Подставив сюда выражения для сил Д11 и гггм приходим к ранее полученной системе уравнений: тхг + с1х1 — сз(хз — х1) = О, тхг+ сз(хг — х1) = О. Об7гатггый способ. Отделяем грузы и рассматриваем упругий бозмассовый скелот системы под действием кинетических реакций — тгхг и — тзхз (рис. 4.1, в).
В этой схеме порван пружина нагружена силой — т~хг — тгхм а вторая пружина — силой — тгйь Поремещение х~ конца первой пружины, равное ее удлинению, можно записать в виде — огх — тх г г Перемещение правого конца згторой пругкипы хз равно сумме удлинений обеих аругкин, т. е. г'г+ 1 з — т х — ог х — оцх 2 гз Из двух последних соотношений шолучаом гп,х, + ттхз + с,х, =- О, Полученные выше по основному н прямому способам формы записи совпалн потому, что нри нашем выборе обобщенных координат кинетическая энергия имеет каноническую грорггу: г" = —, Ъ' агйг, (8.7) 1=1 т. е. Не содержит произведений Скоростей д,дг при 7 т'--'К.
При этом каждое из уравнений Лагранжа содержит только по одному обоб>щенному ускореншо, как зто получается н при пользовании нрнмым способом. Ислн обобщенные координаты были выбраны так, чгооы каноническую форму имела потенциальная энергия П = — ~~'„сг7гч (11.8) 1=1 3 4 системы с нескол! Кими степиннми своводы 77 то уравнения Лагранжа совпали бы с уравнениями, полученными с помощью обратного способа. Сопоставляя полученные варианты записи по прямому и обратному способам, можно сделать следующее общее заключение относительно структуры дифференциальных уравнений: при составлении системы уравнений по прямому способу ач= О при 1Ф 1, а при составлении по обратному способу с„=О при 1Ф.!.
Таким образом, пользуясь прямым способом, мы приходим вместо (4,4) к система в а4д!+ ~~", сгддь = О (1 = 1, 2, ..., з), (4.9) 1=1 а применяя обратный способ — к системе ~~э~ а!зов+с!д! = О (1=- 1, 2, ..., в) (4.10) Ь=! (вместо а„в уравнениях (4.7) и (4.9) записано пятак нак второй индекс становится лишним; аналогично, вместо с„в уравнениях (4.8) и (410) записано с!). Принципиально важно, что специальным выбором обобщенных координат можно придать каноническую форму как кинетической, так и потенциальной знергин.
Такие координаты С! (/ = 1, 2, ..., з) называются норлвалы!ыми или главными. При зтам Т = — ~ аДв, П = ~ ~~ сД,' (411) 1=1 1=1 и уравнения Лагранжа приобретают наиболее простой вид аД,+сД,=О ((=1, 2, ..., в). (4.12) Каждое из них интегрируется независимо от других. Короче говоря, при использовании главных координат система как бы представляет собой совокупность независимых парциальпых систем с одной степенью свободы. Чаще всего заранее трудно указать, какие кинематические параметры (илп их комбинации) являются главнькви координатами, и для перехода к ннм требуются обширные выкладки, объем которых не уступает объему выкладок при решении задачп в произвольно принятых (не главных) обобщенных координатах. Поэтому введенио понятия главных координат практичеоки не облегчает решение вадачи о свободных колебаниях, но весьма Гл ! своводпык колевхпня полезно для углубленного понимания их закономерностей и для теоретического анализа.
Связь между вариантами записи (4!.9) и (4.10) удобно проследить, исхдя пз фундаментального соотношения, опредоляющето статические перемещения в упругой линейной системе общего вида Б д = ~ 6!аевва (! = 1, 2, ..., е), (4.13) л=! в которой бя — воз!(!улик!лепт влияния для перелвещепавй, т. е. значение у-а! обобщенной координаты, соответствующее действию статически приложенной Й-й обобщенной силы, равной единице (в строптельной механике величины бвв наев!за!от едпничнылгп перелвещепияяя). В матричной форме соотношения (4.13) имеют вид (д) = (6) (Л, (4Л4) где (4 Л5) продставляет собой матрицу-столбец (вектор) обобщенных координат, 6, 6, ...
6, 6и 6м ' . 6ав (6) = (4Л6) в! ва ''' вв матрицу коэффиционтов ~влияния для перемещений, (4.1!) матрицу-столбец (вектор) обобщенных сил. Введем матрицу и аа ''' еы "а! аа ' ' ' "ав (4 18) в! ва ''' "вв 5 а системы с ИГскопькими стгпГнями сноводы 7О обратную матрице (4.16), и умножим слева матричное соотношение (4.14) па матрицу (4.18). Тогда получим [г) (9) = (г"). (4Л 9) Для того чтобы выясиить физический смысл элементов 1;„матрицы (4.18), представим себе, что ша все точки системы наложены дополнительные связи, обращающие н нуль все обобщенные перемещения, кроме перемещения дм причом последнему придано значение о,=1.
Тогда г„представит собой реакцшо )-й дополнительной связи, соответству1ощую перемещению д,=1 (в строительной механике величины 1„, называют единичными реакбиями) . Из соотношения (4Л9) следуют дифференциальные уравнения прнмого метода, а из соотношения (4.14)— уравнения обратного метода. В самом деле, в задачах о свободных колеоаниях Г,= — т,1)„так что если ввостн дпагональную матрицу т О О т О О О О Ш (4.20) (т) = то можно записать (и = — [т[Ц). Подставляя (4.21) в (4Л9), получим (4.21) К (д) = — [и[ Ц), (4. 22) т, е. уравнения типа (4.9); после подстановки (4.21) в (41.14) найдем (д) — [6] [гл[ Ц), (4.23) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
