Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний (1048764), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В атом соотношении И~ — частотная характеристика системы, которая для силового возбуждения была дана выше выражением (6.29), так что Гл. 1х Вьшужднннын колнвхния 148 После вычисления Я,(в) по выражению (6.66) можно найти дисперсию обобщенной координаты 7-чч =,) оч(в) нв ч (6.63) п, наконец, среднеквадратическое значение величины д: пч у~(~ч (6.69) 5 7. Системы с одной степенью свободы при нелинейной восстанавливающей силе $.
Основные понятия. Нелинейность восстанавливающей силы существенно осложняет анализ колебаний, и в этом параграфе будет рассмотрено действие т о л ь ко гармонической вынуждающей силы; данче в этом наиболее простом случае приходится довольствоваться приближенным решением задачи. Характерпстпку нелинейной восстанавливающей силы оудем считать симметричной: р(у) = — Г( — у), (7А) а силы трения — отсутствующими.
При синусоидальном возбуждении дифференциальное уравнение движения имеет внд аф+ г" (д) = гг з1п в1. (7.2) Необходимо сразу отметить, что функция д=Азшв~, (7.3) описывающая закон движения линейных систем, в данном случае не является точным решением задачи; если подставить (7.3) в уравнение (7.2), то оно не может быть тождественно удовлетворено ни прп каком значении А, Естественно ожидать, что решение будет содержать также высшие гармоники с частотами 2в, Зв, ..., а возможно, и низптие гармоники с частотами в~2, я!3, ...; ниже мы убедимся, что это в самом деле так. Колебания с высшими по отношению в частотами называются супергармоничесними, колебания с низшими частотами — субгарлоничесними, а колебания с частотой в — осноеными.
В первом приближении можно ограничиться нсследованнем только основных колебании: онп чаще всего наиболее важны; этому посвящен следующий п. 2. Даль- 4 7. нглинвяяАя ВОсстАнАВлиВАющАя силА 149 нейшне уточнения можно получить, исследуя супергармоническне колебания (см. п. 3) и субгармонические колебания (см. п. 4). 2. Основные колебания. Для нахождения основных колебаний приближенно примем закон двиясения в виде (7.3) и воспользуемся методом гармонического баланса (см.
выше стр. 69 — 70). Образуем периодическую функцшо Р(Л з1п ы~) и, разложив ее в ряд Фурье, ограничимся учетом одного первого члена: Р(А в1п ыт) ж Ь1В1п в~, (7.4) яз которого можно определить амплитуду А. Пусть, например, характеристика восстанавливающей силы имеет вид Р(д) = сед+ 3дз (7.6) Прежде всего находим ~ Р (А з1п ф) в(п $ спр = о = ~ (с, АВ1п$+()А'в1п'ф)в(паяй~ = лс,Л+ 4 ЯРА'.
о При этом уравнение (7.5) принимает форму А ~ — + — — А ) = — + Аеэ . зр,) и (а 4а ) а (7,7) Для выявления качественных свойств решения кубического уравнения (7.7) можно воспользоваться графическим способом; по своей наглядности он, пожалуй, превосходит аналитическое решение. Построим график зависимости левой части от амплитуды А (см. кривузо Р (А) на рис. 7.1, а), а танисе прямую Р,(А), соответствующую правой частзт; если часто- Здесь Ь1 определяется выражением (3.18) .
Подставив выражение (7.3) в первый член уравнения (7.2) и выралзение (7.4) — во второй член того же уравнения, получим приближенное соотношение — аАюз+ — ) Г(АВ1В~Р)в1п фйР = Н, (7.5) о 150 гл. и Выпуждиппыв колввлпня та ы невелика, то прямая Р, пересечет кривую Р„в одной точке, абсцисса которой А1 является единственным вещественным корнем уравнения (7.7). С увеличением частоты ы угол наклона прямой к оси абсцисс будет возрастать, а значение корня Л1 — увеличиваться. Наконец, при достаточно большом значении ю =- юз прямая Р„ коснется кривой Р, в третьем квадранте (рис.
7Л, б), Рве, 7А а при дальнейшем увеличении ю будет пересекать кривую Р, в трех точках (рис. 7Л, в). Соответственно уравнение (7.8) прп ю ~ е>~ оудет иметь трп вещественных корня: Ап Лк Аз. Изменение значений этих корней прп постепенном увеличении частоты зо показано на рис. 7.2, а; здесь же штриховой линией показана свелеткая кривая, выражающая связь между частотой и амплитудой свободных колебаний той же системы. Полученная амплитудно-частотная зависимость напоминает резонансную кривую для линейной системы, однако резонансный ппк несколько «деформирован» соответственно искривлению скелетной линии при жесткой характеристике.
Для системы с мягкоп характеристикой амплитудно-частотная зависимость имеет вид, подобный рис. 7.2, б. Хотя полученное решение приближенное, однако оно дает, по крайней мере качественно, верное представление об изменении амплитуды вынужденных колсбаншт с изменением пх частоты: при достаточно больших значениях частоты вынуждающей силы решение становится неоднозначным и одному значению частоты соответствует трп значения амплптуды А колебаний.
я 7, ннлиннннАя восстАнхвливАющая силА 151 Дополнительные исследования (см. ниже З 9) показывают, что из трех возможных режимов движения при оа) е>е с =А~ запеаа, о Аазапон, С=Азыпюд (7.8) устойчивы первый и второй, а третий режим неустойчив,— сколь угодно малые возмущения этого режима приводят движение системы к первому или второму рея<пну. В связи с этим Физически осуществимы только первый и второй стационарные режимы. Если постепенно увеличивать от нуля частоту оа, то амплитуды увеличиваются, следуя ветви 1 (см.
Рис. 7.2, а). О а и и Рис, 7,2 Если при некотором значении частоты ао=еа~ система испытывает достаточно большое мгновенное возмущение, то происходит «срыв» амплитуды на ветвь П (точки и и л'). Если затем продолжать постепенное увеличение частоты оа, то амплитуда колебаний будет уменьшаться, следуя кривой 11. Если же после срыва амплитуд частоту ао уменьшать, то будет пРоисходить плавное возрастание амплитуды до точки и . При дальнейшем уменьшении частоты амплитуда резко увеличивается (точка л 152 ГЛ. и. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ (7.10) Так как с зависит от амплитуды Л, то соотношение (7ЛО) следует рассматривать как уравнение для определения А. Так, прп характеристике (7.6) находим по формуле (3.16) А — (сод + (3~') д яд = со +— о и (7.10) приобретает вид, подобный (7.7): А (со + — 6Ло) = — + Ав'.
Графическое решение этого уравнения в принципе совпадает с данным выше для уравнения (7.7). Если в системе имеется трение, то обе ветви кривых смыкаются, как показано на рис. 7.2, в. При постепенном возрастании частоты становится неизбежным срыв амплитуд при в = вМ в случаях постепенного уменьшения частоты, которое начинается при достаточно больших ее значениях, срыв амплитуд происходит при в = вь 3. Супергармонические колебания. Для того чтобы отразить в решении супергармонические колебания, вновь воспользуемся методом гармонического баланса и положим (для случая симметричной характеристики восстанавливающей силы) о = А~ з1п в1+ Аз зш Зв1+...
+ А, з(п гоМ. (7.11) на ветви 1) и затем вновь постепенно уменьшается, следуя ветви 1. Другое, также приближенное, решение можно получить по способу прямои;шнеарнзацяи. Согласно этому приближенному способу (см. 5 3) нелинейная характеристика г" (д) заменяется эквивалентной линейной, так что дифференциальное уравнение (7.2) сразу принимает ВИД ад + со = Нз1п вй (7.9) Величина с определяется так, как это было пояснено в з 3, по формуле (3.16); важно отметить, что в данном случае она не является параметром системы, а зависит от амплитуды колебаний. Амплитуда стационарной части решения линейного дифференциального уравнения (7.9), как известно, имеет впд Н А= с — ав г т.
нклинкйнАИ восстАнАвливАющАИ силА 153 В первый член дифференциального уравнения (7.2) подставим (7Л1), а во второй член вместо функции Р(А! в!и аз+ Лз в1п За!+... + А, в1п гаг) подставим г первых членов ее разложения в ряд Фурье Р(Л! 81п аг+ Аз в!и За!+... + А, в!и га!) м Ь! в1п а!+ Ьзв!и За!+... + Ь, вш гаг, (7.12) коэффициенты которого т Ь„= у ) Е(Азв1па! + Азв!п За!+ 2 !' о ...
+ А,в!Лге!!)в!Ига!<И (г -.- 1, 2,..., г) (7,13) нелинейно зависят от зсет амплитуд А1, Аз, ..., А,. Таким образом, подстановка (7А1) в дифференциальное уравяенпе (7.2) приводят к соотношению -А!ага в1п е!1 — ОЛзоза в1п За! —... + Ь, (Ап Лз, ...) Х Х взп аз+ Ьз(Л1, Аз, ...)в1п За!+... = Нв1п ай (7А4) Для тождественного выполнения этого равенства нужно приравнять коэффициенты при каждой из гармоник в(паз, в!Л За!, ..., в!ввоз!, содер!Иащихся в лозой и правой частях (7.14): -А!паз+ Ь!(А1, Аз, ..., А,)=!!', — ЗЛзааз+ Ьз(А1, Аз, ° °, Л,) = О, (7А5) — гзА„паз+ Ь.(Л1, Аз, ..., А,) =О.
Из нелинейных уравнений (7.15) можно найти значения амплитуд Л1, Аз, ..., А . Пусть, например, характеристика силы имеет вид (7.6). Ограничиваясь двумя первыми членамн суммы (7.12), имеем г"(д) ег се(А! в!наг+А!в!И За!)+ р(А! в1п а!+Азв(ИЗ!ег)з. Далее, по формулам (7.13) находим о Ьг = и!з~ 1г+ 4 1 Л!+ 6Л!Аг+ ЗАз)1, 154 ГЛ, и. ВЬТНУЯ1ДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ (йа ~— — с!а) и уравнения (7Л5) принимают вид (7Л6) Положив в первом уравнении р = О, приближенно най- дем выражение для амплитуды основных колебаний: 77 Л,= (АО е1') ' (7Л7) Сохранив в последних скобках второго уравнения (7.16) 1 3 только основное слагаемое — — А1, также приближенно 3 получим амплитуду супергармонпческих колебаний рЛ31 4а (а~ — 9а~) ен Д = Л1 31н е)1 + Лиз 31н 3 ' (7.18) Ы1 '1 Функция г (А1 31п е11 + Апз 31п — ) имеет период 6Л7оз, втрое болыпий основного периода Т. Разлагая ее в ряд т.
е. малую величину порядка р. Гслп подставить найденные первые приближения в отбротпенные члены уравнения (7.16), то получим улучшенные значения А1 и Лз, причем поправка для Л1 будет иметь порядок р, а поправка для Лз — порядок йа. Этот процесс последовательных приближений можно продол1кить и далее. Ваясно отметить, что амплитуда супергармоническпх колебаний Аз мал а сравнительно с амплитудой А1 основных колебаний (конечно, при условии, что не мала Разность йе з— йе1'). 4. Субгармонические колебания. Ограничимся случаем симметричяой характеристннп восстанавливающей силы вида (7.6) и для нахождения амплитуд субгармонических колебаний снова воспользуемся методом гармонического баланса.
Положим, что основную гармонику с частотой ы выпуждающеи силы сопровоятдает субгармонииа с частотой е1/3: а х нелинеЙКАя ВосстАнавлиВАющАя силА 155 Фурье и ограничиваясь двумя первымп членамн, найдем К ~А,в1п ам -)- Ам,юп — 1 = (7мзв)п — + (7, а1п оМ, (7.19) где зт йпз =" ВГ) Р (Лза"пой -т А,'зезп 5 )взп 5 оз о 'т ) г (А,в1п<ег+Анза1п 5 )в1поззог. з (7.20) Далее подставляем (7.18) и (7.19) в уравнеяие (7.2); сравнпвая коэффпцпентьз гармоники и субгармоники в правых и левых частях, прпходпм к двум нелинейным уРавнениям. Прп характерпстпке (7.6) этн уравнения имеют вид (й', — ыз) А, + 4 (ЗАз + 6А,'7зА, — Амз) =— (7.21) ( .') — .( йз ~ / Лнз + 4 — (Амз АнзАз + 2АзАмз) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
