Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 12

е. уравнения типа (4.10). Хотя уравнония (4.9) и (4.10) в принципе эквивалентны, однако объемы операций, связанных с вычислением коэффициентов, могут оказаться различными. Прямой способ особенно удобен для систем цепной структуры, если в таких системах упругие силы песложяо выражаются через перемещения двух соседних тел.

Таковы, например, системы, изобрангенные на рис, 4.2. Пусть д1 — обобщенная координата, представляющая Горизонтальное перемещение ) го груза в схеме на ГЛ. Ь СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 80 рис. 4.2, а нлн угловое перемещение 1-го диска в схеме на рпс. 4.2, б. Прп этом сумму упругих сил, действующих на груз (рнс.

4.2, а), илн сумму упругих моментов, действующих па диск (рпс. 4.2, 6), можно представить в единой форма: 1,11 = — с, ( д1 — д, 1) + аз+1 ( аз+1 — д,), где сз — жосткость угзругой связи, расположенной между грузами (дисквмн) 1 — 1 и 1; сы1 — жесткость упругой 1 Е О 1 а 6 Рис. 4.2 связи, расположенной между грузами (диоками) 1 и 1+ 1, Соответственно дифференциальное уравнение движения 1-го груза в схеме а имеет вид т,д, = — сз(д, — д, 1)+ сна (д1+1 — д,), (4.25) т. е. соответствует форме (4.9). Таким же будет и дифференциальное уравяеяие дзян<ения у-го диска в схеме б, если заменить инерционный коэффициент и, на момент инерция диска 1е Отметим, что в каждом из уравнений (4.25) содержатся только по трн неизвестные функции, а для крайних грузов (дисков) уравнеяне будет содержать только две неизвестные фуякции.

При этом коэффициенты уравнения легко вычисляются по исходным данным задачи. Применение обратного способа в данном случае приводит к значительно более сложным уравнениям, так как число неизвестных функций, входящих в дифференциальные уравнении, возрастает с удалением от левого конца системы, и последнее уравнение содержит все г функций дь Прн расчетах крутильных колебаний валов обычно пользуются прямым онособом.

У 4 СИСТЕММ С НЕСКОЙЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 34 С другой стороны, для балочных систем с сосредоточепнымп массами удобнее обратный способ. Так, для системы, показанной на рис. 4.3, а, придем к кинетостатичсской схеме па рис. 4.3, б. В данном случае, пользуясь козффигзпонгамгг влияния бгм ~получаем уравнения типа (4.10): Уг= — т1У16г~ — тзузби — ...— т,у,бр (! =1, 2, ..., з), (4.26) соответствующие матричному уравнению (4.23). Обратный способ особеняо часто используется в динамике соОрунгепий.

Пример 4.1 Составить дифференциальные уравнения свободных колебаний консоли, несущей на свободном конце груз, обладающий конечным моментом инерции (рис, 4,4, а); считать, что т, т, т, Уг у, 5 Рис, 43 Рис, 4,4 массой балки можно пренебречь по сравпениго с массой груза. Обозначения: г — длина консоли, Ег' — изгибпая ягесткость, т— масса груза, р — его радиус инерции. Рассматриваемая система имеет две степени свободы, и за обобщенные координаты удобно выбрать прогиб у и угол поворота ф конца консоли (рис.

44г, С). Для составления дифференциальных уравнений движения воспользуемся обратным способом и рассмотрим изгиб безынерционною скелета, показанного на рнс. 4,4, и. Впешннзги силами язляготся сила инерции груза — ту и момент сил инерции — лгргаг. Тогда у = — туби — згр'губок ю = — туба, — шргйбгг. Козффициенты влияния можно найти методами сопротивления ма- й я. Г, Пакоако ГЛ 1 СВОБОДНЫГ КОЛЕБАНИЯ 82 териалов, например с помощью формулы Верещагина, В данном случае опи выражаю!си след>ющпм образом: >3 ы Зя/' ы ы 2йу' ы ЕУ' Тонни образом, дифференциальные уравнения движения принимают пнд >з >г тУ чи>+ тР !Р 2Я + У = О, Дальнейший анализ системы см ниже, на стр, 86, 92 и 93. 2.

Решение системы дифференциальных уравнений. Гслн усл!тзпя (4.3) устойчивости состояния равновесия выполнены, то частпоо решенно системы дифференциальных уравнений (4.26) можно записать в виде (4.27) д, = Л, з>п(И+!х) (> = 1, 2, ..., з).

Этими выршкениямп описьщается моногармоничосний колебательны!1 рея!ни с частотой й, общей для всех координат 17!. Подставив (4.27) в уравнения (4.4), получим систему алгебраических уравнений — йгаыА! — йга11Аг —... — й'а1,А, + с! 1А>+ + сыАг+... + с1.А, = О, -й'аг,А, — )лаггЛг —...

— йгаг,А, + смА! + + сггАг+... + сщА. = О, (4.28) -йга,1А! — Ига!>Аг —... — вссга„Л, + с,!А! + + свгА>+... + С.вА, = О, .г с1, — ат,й с, — а,йз с — а йг 11 1! ,г с — е,й з с>г — е>гй >,2 зг зг = О. (4.29) с„1 — звгй свз — авзй " свв — еввй ,2 з ,з однородную относительно пепзвостных амплитуд А>, Ам ..., Л..

Прн колебаниях все они не йиогут равняться пул>о; поэтому, согласно общему свойству однородных систем, должен равняться пулю определитель, составленный пз коэффициентов этой системы: й 1 системы с пвскольнптш ствпнпямн своводы 33 1!осле развертывания определителя получится алгебраическое уравнение з-й степени относительно )сг; напишем зло частотное уравнение 1в виде 344 — Ь,)сг+ 3,)с4 — 3 )с +...+( — 1)'Ь,)с'=О; ( .ЗО) прп указанной расстановке знаков все козффиц~ттенгы Ь, оказываются положительяыми. Число корней частотного уравнения равно в; зти корни, обозначаемые далее сст, )сг, ..., й„принято располагать в порядке возрастания. Для рассматриваемых систем, совершающих движение около состояния устойчивого равновесия, все зги корпи вещественны и положительны *).

Таким образом, для частот й определяется з значений: (4,31) й1 < Ь < )сз «... 1с„ ооразующих спектр собствеьпсых частот спсгомы. (Отрицательные корпи могкно не рассматривагь, так как соответствующие им частпыо рептигия типа А'з)п( — 121) 21опросту сливаются с частными рещенпямп А з! и !сй) Для системы с двумя степенями свободы частотное уравнение оказывается бпквадратным: (апа,, — атз) йа — (а„с + огас„— 2асгс12) )сз+ -1- (стгегг — с~г) —. О, (4.32) и имеет два положитольных корпя 1412 и йгг, лехсащих в пцторвалах О ( )сг' ( — ", — '" (» )с, '( + оо. 11 22 Если обобщенные координаты — главные, т. е, выбраны так, что агг = О, си = О, то корни частотного уравнения окажутся равными о 42 Вернемся к рассмотрению общего случая.

Каждому корню сс, соответствуег частное решение типа (4.27), следовательно, общее решение представит собой сумму *) Если после решения уравнения (430) выяснится противное, то зто будет означать нарушение условий (4,3), т, е нвустойчнвость состояння равновесия, 32 84 ГЛ 1 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ таких решений: д, = Л,1 з1п(111+ и~)+ Лп з1п(А'11+ ат)+... ... + А„з!О(йд+ сс,) (/ = 1, 2, ..., г), где букве А тслсрь приписаны два индекса: первый попрентлему обозначает помер координаты, а второй — номер собственной частоты.

Коротко решение моятно записать в виде д1 = ~ Амз1п(М+а1) (!' =1, 2, ..., з). (4.33) 1=1 Таким образом, мак правило (т. е. при произвольных начальных условннх), измененяе каждой из обобщенных координат следует полигармоническому закону, причем число гармонических составляющих равно числу степеней свободы системы. Отметим, что если собственные частоты несоизмеримы (как это ~нередко бывает в реальных задачах), то процесс, описываемый вьгражением (433), строго говоря, н е периодический. При близости хотя бы двух собственных частот общий закон движения оказывается весь~ма своеобразным.

Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, причем й1 — йе Тогда, например, для первой обобщеняой координаты имеем д1 = А11 з1п (411+ а1)+ Ам з1п(йз1+ С11). Если ввести обозначения В,, = 2 (А„соз 111 +А11 соз С1,), (4.34) (4,35) Взд — — — (Аи зш а1 +- А„ып 1тз), зд 2 то вместо (4.34) можно записать д1 =- В1(з1п й11+ з1п И) + Вз (з1п й1~ — ып йз~) + + Вз (соз й11 + соз 121) + В1(соз я11 — соз й11) ° (4 36) Заменяя суммы и разности тригонометрических функций произведениями таких функций, получим й+й й — и й — й д1 =- 2В, гйп — ', ' ~ соз — ', ' ~ + 2Вз з1п — '' ~Х 2 2 ' г й, +й, й +й й,— й„ Х соз ' з ' -1+ 2В,соз ', 'асов ', й,+й й — й — 2В,з1п — '' ~з1п ' ' ~.

(4,37) в 1 систнмы с нксколькнмн стгпвнямн свовопы в5 1 2 Заметим, что функции аргумента 1, ~ ! меняются 2 й, +й медленно по сравнению с функциявги аргумента, ' С. 2 Поэтому, вместо (41.37) удобно записать у1 = В1 в!и й!+??гсов И, (4.38) где й +й„ 2 (4. 39) (4.40) где В2, с2в = агейла — (4.42) функции времени. Ганям обои пусоидальный характер с — медленно мепяющиося разом, движение носит Рвс. 4.5 периодн гески медленно меняющейся амплптудои; график этого движения показан на рис. 4.5. Период изменения амплитуды составляет 2л 4л (4.43) 1 2 — среднее значение двух близких частот й1 и й2, Лй Лй В, = — 2(Вгсов — ! — В в!и — !) 2 2 2 /' Вз — — 2 (В2 в!и — ~ + Вз сов 2 ~) Лй Лй — медленно меняющиеся периодические функции време- Л?1 Пи' 21Х Чаитета 2 2 Окончательно находим вместо (4.34) д1 = Лз в!п(?12+ с2з), (4.4!) ГЛ. 1.

СВОБОД~ЫН КОЛНБАГЫ!Я 86 и тем больше, чем ближе частоты )г~ и лт..Такгге колебания называются биениялги. Движение, соответствующее второй обоощенной координате дт, также представляет собой биения, но сдвинутые по фазе относительно движения г)ь П р н м е р 4.2 Найти собственные частоты для снстемы, расслгг~тренггой выше в примере 4.1. Подставляя решение (427) в найденные ранее дифференциальные уравнения (стр.