Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 16

4.5); однако и в этом случае с течением времени и постепенным исчезновением одной из гармоник (с частотой й) движение будет все болыпе приближаться к моногармоническому с частотой в. Таким образом, наиболее существенная, стационарная часть процесса (установививиеся вынужденные колебания) описывается первым членом выражения (5.14) о = зшвп П (5Л5) а (ьз — 5Р) Амплитуда этих колебаний, происходящих с частотой ы, определяется выражением А =,, =,, (5Л6) знаменатель которого (динамическая жесткость) характеризует эффективную жесткость системы при гармоническом возбуждении.

Выражение 1Лс — аоР! определяет амплитуду вынужденных колебаний при единичной амплитуде вынуждающей силы (амплитудно-частотная характеристика, для обозначения которой в технической литературе пользуются аббревиатурой АЧХ). Выражению (5Л6) можно придать вид А = 15д„.

Здесь „з~,-з ) (5 17) — коэ44ициент динаничности, показывающий, во сколь- 166 ГЛ. 11. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ко раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний больше перемещения о„= Н/с, вызываемого статически приложенной силой Н. Для случая, когда Н не зависит от с1, зависимость коэффициента динамичности от отношения частот с1//с представлена графиком ка рис.5.5 («резонансная крнваяэ). Как видно, с возрастанием частоты со ат нуля коэффициент динамичности увеличивается и при с1//с — 1 стремится к бесконечности. При дальнейшем возрастании ",Т 40 10 4,0 0 0,»,0 10 Да Рис. 5.5 05 1,0 15 г0 Х Рис, 56 частоты коэффициент динамичности постепенно убывает и при в//с- У2 становится меньшим единицы; в этой области динамический аффект вынуждающей силы слабее, чем при ее статическом действии.

Этим свойством часто пользуются в технике, а именно, для уменьшения колебаний объектов, подверженных действию гармонических вынуждающих сил, уменьшают жесткость упругих связей; при этом собственная частота уменыпается, а вместе с тем возрастает отношение 1с//с. Нужно отметить, что согласно (5.15) при в//с ( 1 перемещения находятся в фазе с вынуждающей силой, а при в/й) 1 — в противофазе. Если Н = Коз', где К вЂ” постоянная (например, в машинах с неуравновешенными роторами К = Мг, где М— масса ротора, г — эксцентриситет центра тяжести, см.

рис. 5А), то согласно формуле (5.16) амплитуда колебаний следу1ощим образом связана с отношением частот е1//с: А= а !1- га'/в')' З 5. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ Соответствующая резонансная кривая показана на рис. 5.6. В отличие от резонансной кривой на рис. 5.5 при неограниченном возрастании частоты ю амплитуда колебаний стремится не к нулю, а к значению К/а. Особое состояние системы при го = й называется резонансолц для этого состояния решением (5.14) пользоваться нельзя, так как оно было получено в предположении, что ю Ф )г.

В резонансном случае вместо (5.13) нужно исходить из дифференциального уравнения д + й~д = — 81п)с7, Н ' решение которого при нулевых начальных условиях имеет вид .н о = — — ()сс соз)гг — 81п Ь). 2с Здесь нужно обратить внямание па появление члена йс соз лг, содержащего время впе знака косинуса, т.

е. неограниченно возрастающего во времени; этот член называется резонансным (вековым). Ниже, в 2 6, будет установлено, что силы трения ограничивают это возрастание, так что амплитуда колебаний остается конечной и при г-~в. Пример 5.2. Вдоль пути синусоидального профиля у=А зш (а) (рис. 5.7) с постоянной гориаонтальной скоростью и движется упруго подвешенный груз массы т. Определить наибольшее допустимое значение коаффициента жесткости подвески с, у если требуется, чтобы амплитуда абсолютных колебаний груза не превосходи- А Уа ла 0,05Аь и а Подставив е (а) х = д л = ш, найдем ординаты нижнего конца пружины в функции времени: ~=ит пег у =А а)п —. о е Рис.

5,7 Обозначив через у абсолютное вертикальное перемещение груза, отсчитываемое от равновесного уравнения, имеем дифференциальное уравнение -с(у — уа) = ту, или ту+ су су,. з з. системьх Бнз тгиния мощью лзвестпого из курса математики метода вариации >гроизвольпых постоянных. Однако более пагляден иной путь решения, к изложепн>о которого мы и переходим. Прежде всего рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть в момент > = э к покоящейся системе приложен обобщенный мгновенный импульс Б'„согласно (1.14) при С = $ решение имеет впд д = д(з) соей(~ — з)+ — з>п й(~ — з), з%) . Входящие с>ода значения обобщенной координаты и обобщепной скорости непосредственно после приложения им- Я пульса равны>)(в) = О, д(ь) = —. Следовательно, движение описывается выражением д = — з!пй(с — ~).

Я Функция з>в Ь (à — $) а» описывающая движение, вызываемое единичным импульсом, называется импульсной реакцией системы. Теперь будем рассматривать произвольную вынуждающую силу Р = ()(с) как бесконечную последовательность элементарных импульсов () (З) И$, показанных на рис. 5.8. Подставив в выражение (5.18) Я= ()($)И$, мы найдем колебания, вызываемые действием одного из таких элементарных импульсов.

Чтобы определить >) с движение, которое вызывается заданной силой, необходимо Ряс. 58 сложить влияния всех элементарпых иьшульсов; таким образом, прп пулевых начальных условиях находим > д = — „~ ~$) зш й(с — $) г)~. (5 19) о Если кроме рассвготренной здесь силы Ч =()(Ф) в за- данные моменты времени Ц>, $м ..., ф, (здесь ф,~й) на гг2 Гл. 1ь Вьшун(дгнгпзк колквания систему действуют кояечныо мгновенные импульсы Бь Бп ..., о„то вместо (5.19) будет Наряду с (5.19) существует другой вариант решения, который иногда оказывается более удобным. Преобразуем (519) с помощью правила интегрирования по частям ) иди = ио — ) вди.

Полагая здесь ДЦ) = и и в~в )г(» — $)Ы$ = ди, находим ди = ~)($)Иф и о = — „соей(а — $). Соответственно (5.19) преобразуется к виду т г Г )р д = — ~Д ($) соей (С вЂ” $) — ) (Э Д) соей (1 — Ц ~ХК ~ [ с = ' [ев — рг~ в — (д~в аз — ве) <иле о Этим выражением можно пользоваться только в тех случаях, когда при 1= 0 функция Ч(г) не имеет разрывов, т. е. производная ~(1) конечна на всем промежутке интегрирования. Если сила Я~) претерпевает конечные разрывы Л9, Л()з, ..., Л(), в заданные моменты времени зь $и ..., з. ($„(З) (см. рис.

5.9), то вместо (5.20) будем иметь С> (4) Д= —— с — — ) () фсозй(~ — $) 0~в о — — г, Л~?;сов!ф — $;), Ю (=г Рвс. б 9 Остановимся на двух важных частных случаях. 1. Действие кратковременной силы. Пусть сила Д ~е внезапно появляется в момент ~=0, действует в течение малого промежутка времени зе,, а затем 114 Гл. и. Вьгпулгдитгныи БОлеБАния 2п 2п Так как й$ = — $ меньше, чем величина — ге, которую здесь следует считать малой, то йс — малое число. Поэтому мояаш принять з)п й$ =О, сов й$ = 1 и вместо (5.24) получим Р(1А о ы где о = ~ () (Ц с)Š— импульс о силы. Таким образом, движение приближенно определяется ю~ь импульсом кратковременной силы; подробности ее изменения в промежутке времею'о ни ге мало влияют на ре- 0 зультаты.

2. Действие линей но у возрастающей во време- Рис, 5.12 ни силы ()(1) = р1 (1~ О); здесь р есть скорость изменения силы (рис. 512, а). По формуле (5.20) находим 8 Д = — р1 — р) ) совй(1 — й)г)й = — — — згпй1. ()г с ,) ~ с се о График движения показан на рис. 5 12, б и выражает сумму линейного и синусоидального слагаемых. Линейное слагаемое представляет изменение обобщенной координаты, рассчитанное в предположении безынерционности системы (квазистатмческое перемещение), а синусоидальное слагаемое отражает колебательную часть решения; амплитуда этих колебаний, равная ~/ой, увеличивается с возрастанием скорости изменения силы р. Пример 5,4 Нанти относительные колебания груза в системе, рассмотренной выше в примере 51 (стр. 105 — 106).

Искомое движение должно быть найдено путем решения дифференциального уравнения, составленного выше в примере 5.1 Из записи этого уравнения видно, что вынуждающая сила (ею служит переносная сила инерции) равна ж~истс — т в ф 2 СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ 115 Подставляя это выражение в решение (5.19), находим т) =й ~е т' -(- — з(айз — созйг), уи / т ул /2 ),22 При достаточно больших значениях времени можно пренебречь нервым членом в скобках и рассматривать только процесс установившихся колебаний: уэ /ул 2)=й 2 2 2 /, жнйг — соей/), й +уи Лзшлитудз этих колебаний равна '= В(-")'/ у '- (н)' В случае, если То ~ й (что соответствует реальным условиям), находим А=(у") й, т е.

амялитуда относительных колебаний нронорциональна квадрату скорости и'. Пример 55. Найти движение груза, находящегося на конце консольной балки, если сила Р сохраняет неизменное значение, но точка ее приложения движется от левого конца бачки к нравому с постоянной скоростью л (рис 5,1, б). Дифференциальное уравнение движения груза было яолучено выше в виде (5.9), т. е. Рэ 22 (3/ — лг) у+йу= з 2т/ где й' = ЗЕ//(тр), Согласно (5.19) имеем при 2 < 1/ж Р 3/в пгй 3 2т/з о или, после вычислений, бэ У= ~ — 21 +2/2 + — (е( — х+хсозйз) — ' — э зшй21, ,2тйз/2 ~ /Р йэ Для вертикальной скорости груза находим ЗРэ Г 2 2и / й/ ~2/1 — Шз+ 2 ((1 — — е(п й/' — соз йФ)~, 2тйз/з 1 йз ( о 113 ГЛ.

П. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ полученным выражениям можно придать следующую форму; 3тв — тз 3 3 + — в (т — 1+ сов ат) — — з в1п ат а а с 3(2ъ — т ) 3 + з (1 — ав!пат — совах) ° уст у =йу где у„ = Р)(ги'лх) — прогиб конца балки при статическом дейст- вии приложенной на конце силы Р, а = л!(о и т = от/1 — безраз- мерные параметры, В момент, когда сила сходит с балки, т = 1 и мы находим 3 (а сов а — в1п а) ~ ус 1+ = [ 3 а 3 уст Гав У = з ( — +1 — ав!па — сова~, а (2 Так как в момент исчезновения силы отклонения балки у и ско- рость й скачков не претерпевают, то последующее движение си- стемы будет происходить по закону свободных колебаний у= — у совы;+ — х в1п'М й (с отсчетом времени т от момента, когда сила сходит с балки).

Наибольшее отклонение составит Вычисления показывают, что оно может превзойти значение ста- тического прогиба не более чем на 14 — 15 зй, 5. Действие периодической вынуждающей силы. Во многих технических приложениях возникает задача Рис. 5.13 о колебаниях, вызываемых действием негармонической, но периодической силы (рис. 5 хЗ) Д(1) = Я1+ Т), (5,22) М Ь. СНСТЕМЬ1 ВЕЗ ТРЕНИЯ где Т вЂ” период изменения силы. На стр. 107 в связи со случаем гармонического воэбун<дения колебаний было отмечено, что вследствие непзбежпых сопротивлений постепенно исчезают колебания, происходящие с собственной частотой, и мои<но принять, что по истечении некоторого времени обобщенная координата меняется в «ритме» изменения вынуждающей силы по закону (5.15).