Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 15

Для их нахождения необходимо указать т р и вачальиых условия, определяющих з,(0), хд(0) п Г,(0) в пачальпый ыомонт времепй. (Отддетим, что яачальпое злаченые хд(0) позависимо аадать повезя — опо определяется из соотношения (а).) Глава П ВЫНУЕКДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ й 5. Липейиые системы с одной степепью свободы прп отсутствии треиия 1. Основное уравюеюие при силовом возбуждению. Рассмотренные в главе Е механические системы характеризуются действием позиционных сил, а в некоторых случаях также диссипативных сил.

Эти силы ие только влияют иа движение системы, ио и сами управляются этим движением, поскольку оии зависят от обобщенных координат и обобщенных скоростей. Как указывалось во введении, ииузо заисную катсгоршо образуют вынуждаюиЕие силы, т. е. силы внешнего происхождения, описываемые задаппыми фуикциямп времени и пе зависящие от движения системы. Колебаяля, вызываемые вынул дающими спламп, лазываются вынуледенньми. Независимо от физической природы вынуждающих сил мы будем исходить из того, что каждая пз вих задана в виде иекоторой язвой фувкции времеви: Р, = Р~(~), (5 1) где 1 = 1, 2, ..., и — порядковьпй номер материальной точки. Если механическая система имеет одну стеяепь свободы и приложенные к точкам системы внешние силы заданы в виде (5.1), то обобщенная вынуждающая сила определяется из выражеипя возможной работы п П 6А = ~~~'„Р;бг; = ~~~, Р; — в до (5.2) 1=1 сет ' дч в виде и Х вдд' (-1 (5.3) 102 ГЛ.

Н. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Соответственно уравнение Лаграннга принимает вид (при отсутствии трения) д (дТ) дТ дП д() '( дд дд - ( —.~ — — + — = е((). Мт/ Подставляя сюда выражения (1.4) н (1.8) для кинетической и потенциальной энергии, приходим к дифференциальному уравнению задачи о вынужденных колебаниях ад + сд = 1,) (1), (5.5) (5.4) которое будем записывать в виде д+ йод = —, (П а (5.6) Здесь через йз = с/а по-прежнему обозначен квадрат собственной частоты рассматриваемой системы. Рассмотрим, например, действие горизонтальной силы РЯ на маятник (рис. 5.1, а). Примем за обобщенную а(~) Й~з т Р(Ц Рас.

51 кооРдинату угол ~р отклонения маятника от вертикали и обозначим через и массу маятника, а через 1 — его длину, Тогда при малых углах отклонения Т = 2, П = 2, (~= Р(()1 (5.7) ш (йр)т тФ9 и уравнение вынужденных колебаний (5.6) принимает вид )+Т) т( д Р(1) (5.3) з ь. систкмы Бвз тгвния тез Иногда удобнее составлять дифференциальное уравнение вынужденных колебаний по описанным выше прямому или обратному способам. Пусть, например, в точке х = (з балки приложена вынуждающая сила Р(~) (рис.

5,1, б); будем считать, что массой балки можно пренебречь по сравнению с массой т сосредоточенного груза, закропленного на ко|ще балки х= 5 Для состав- ленин дифференциального уравнения колебаний удобно воспользоваться обратным способом. Рассматривая балку под действием сплы Р(1) и силы инерции — вгр; можем записать д =- Р (г) 6 (Ю, (,) — лзрб ((, г), где 6 (Е, Е .) и 6 (Е, Е) — соответствующие коэффициенты влияния, определяемые методамв теории сопротивления материалов, (31 — 1~Н2 Юз ОЕУ ' (' ) ЗЕХ Таким образом, дифференциальное уравнение колеба. ний груза запишется в виде Гз - гЩ(ЗГ,' — г,) Ю,з зе.г р+ р бей, Вынужденные колебания балки возникнут и в том случае, когда вертикальная сила не меняется по модулю (Р = сопзг), но точка ее приложения движетсн вдоль балки.

При этом абсцисса (з, а вместе с этим и коэффициент влияния 6 ((, (з) становятся функцинми времени, так что дифференциальное уравнение принимает вид (если )э=И): ~п~~ - Р(ЗР— э~) в'Г'" ЗЕУР+ Р = ЗЕУ ° (5.9) Регпение этого уравнения см. ниже в примере 5.5. 2. Случаи кпиематического возбуждения, К дифференциальному уравнению (5.6) сводятся не только задачя о силовом возбуждении, но также задачи о кинематнческом возбуждении, когда колебания механической системы вызываются некоторым заданным (в частности, колооательпым) дзвжевием каких-либо ее точен.

Так, например, если к грузу маятника не приложена сила, но ось шарнира обладает горизонтальной подвиж- гл. и. выпун«джшые колквлпия костью и ей зада н ы колебания х = х(«), то опи вывовут колебания и самого маятника (рис. 5.1, в). Для того чтобы получить диффоропциальное уравнение абсолютного движепия, запишем (сравпить с выражениями (5.7)): Т= ( + р), П= 2р, ()=0; (5.10) отсюда для угла «р следует уравнение Лагранжа г х «р+ «р = Ю Ю (5.11) которос совпадает с уравнением (5.11). Формально системы, показанные ва рис, 5 Ц а, «, обладают различным числом степеней свободы, так кек положевйе системы вз рвс 5,«, «определнетсв деумв коордвватамв — углом ~р в линейным перемещением х.

Но координата х(«) эедава, ова не «свободвая«, так что второй степевью свободы система в сущвости не обладает; «свободной« координатой, т. е, неизвествой фувкцвей времеви, является только угол отклонения ~р в, как мы видели, длк его определения достаточно одного двфферевцвельвого ураввепкн (5,6). Колечко, в этой задаче можпо составить и второе уравнение дагравжа, соответствующее коордвпате х. Из такого уравневвн определяется пркложепнал к осв «перпвре сила, веобходвмав длк соэданвв эедеююго движения шарнире: впрочем, вопрос об определении этой силы может и ве возникать.

На рис. 5.2 показаны еще два примера систем с кинематическпм возбуждением колебаний. В первом случае вертикальные колебания упруго подвешенного груза 1 вызываются заданнымп вертикальными колебаниями платформы 2; во втором случае крутильные колеоапия Как видно, опо совпадает с основным дифференциальным уравпепием (5.8), составленным для случая силового воабуждения, если ввести эквивалентную вынуждающую силу «,)(г)= — тх'. Возможна несколько иная трактовка этой вадачи, если рассматривать движение маятника как сложное, состоящее из заданного поступательного перепоского движенин вместе с шарниром и искомого относительного вращательного движения.

Дифференциальное уравпение относительного движепия следует составлять сучетом переносной силы инерции — л«х, момент которой составляет — т(х. При этом придем к уравнению моментов — тиэтр — т1х = тР~р, (5.12) я и системы Без тРения 105 диска 1 возникают из-за вращательных колебаний опорного диска 2, которые здесь считаются заданными. В подобных случаях удобнее составлять дифференциальные уравнения относительного двплгспия тел, обозначенных на рисунках цифрами 1. Результаты регпенпя такой задачи позволяют сразу определить усилия в уп- реке) ругих элементах. Я П р и м е р 5 1. Составить дифференциальное уравнение вер- а тикальных колебаний упруго подрессоренного груза прн беаотрыв- l нем движении колеса по неровному участку пути (рис.

5.3). Профиль участка задан уравнением у = Ь(1 е-ы), где й — предел, к которому стре- (ееФ Ф мится высота неровности; т — параметр, характерггзугощий кривизну профиля Кроме того, даню лг — масса груза, 1 — высота расположения центра тяясести груза при его относительном покое, с — козффициент жесткости упругой подвески, е — пос~оянная горизонтальная скорость груза. Размерами колеса пренебречь. Рассмотрим движение груза относительно поступательно движущихся осей $, г), которые жестко свяааны с центром колеса. Ось 5 совместим с вертикальной осью подвески, а горизонтальнуго ось ц проведем на высоте д считая от уровня профиля, Тогда при двингеяии по неровности абсолютная вертикальная координата начала подвижной координатной системы определяется выражением не =5(1 е-те)+Д Подставляя сгода е = ог н дважды дифференцируя по времени, находим лереносное вертикальное ускорение Рис 5.3 аг Ьтгиге-тгг и переноснуго силу инерции упруго подрессоренного грува Г = лгатгеге Дифференциальное уравнение относительного движения грува имеет вид лгц = — ел+ ть"(гиге г"', Гл.

и, Вьшужденттые колепхпия приводя его и форме 15.6), имеем Ч + )ттп = 51тите т"'. Гетпевве етого уразпевяя см, вияте в примере 54 (стр. 114 — 115). 3. Действие гармонической вынуждающей силы. Обратимся теперь к решеннго основного дифференциального уравнения (5.6) и начнем со случая, когда обобщенная вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону. Такова, вапример, переменнал сила, передаваемая на фундамент машиной с неуравновешенным ротором (рис. 5.4). При надлежащем выборе начала отсчета времени этот закон можно записать в виде (А = Н зш «т1, где Н и ет — амплитуда и частота зынуткдающей силы. Следует иметь в виду, что во многих случаях Рпс. 5.4 (к ним относится и показанный на рис.

5.4) амплитуда вынуждающей силы связана с ее частотой. Решение дифференциального уравнения д+ Йед = — з(пот1 Н а (5ЛЗ) состоит из двух частей: 1) решения однородного уравнения д+ )т'д О, а именно: Ст в1пИ+ Сз сов И; 2) частного решения уравнения (5ЛЗ), которое при отчете следует искать в виде А зш отг. Подставив это выражение в З 11 (5ЛЗ), найдем, что А =, а зшет1. Таким образом, (ьа — ота) решение уравнения (5.13) прн произвольных начальных условиях имеет вид д = СгзгнИ+ СасозИ+,, втнот1. 11 а (яа — ата) В случае нулевых начальных условий, полагая д(0)= О, д(0) = О, получаем ай (аа — тее) 5 5. системы Без тРения 1от Следовательно, д = ~зш а1 — — зшк1).

(5Л4) и м а(ь' — 5Р) ~ ь Полученное решение представляет разность двух гармонических составляющих с различными частотами. В действительпости этот процесс можно наблюдать лишь в самом начале, так как неучтенные при составлении уравнения силы трения вызывают постепенное затухание колебаний с собственной частотой и (см. ниже 3 6). Поэтому по истечении некоторого времени колебания становятся практически моногармоническими с частотой 55. Если частоты ю и к близки между собой, то возникнут биения, как н всегда при сложении двух гармонических колебаний (см. $4, рис.