Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 18

Действие произвольной вынуждающей силы. В общем случае, когда вынуждающая сила представляет собой произвольно задаппуто функцию времени т,)(8), следует исходить пз дифференциального уравнения ад + /ту + со = () (/), (6 т4) общее решение которого монтно получить способом, которым мы пользовались в т 5 при выводе формулы (5.19). Пусть к системе в момент $ прикладывается мгновенный импульс величины Я.

Последующий процесс представляет собой затухающие колебания, описываемые вырантением (2.9). Постоянные А и а определим из условий в начале движения,— прп т=$ должно быть //=0 и Чо = о/а: Таким образом, движение, вызванное однократным импульсом, описывается законом уэ — ьи — Вт т/ = зтп/с. (т — $). (6.т5) Рассматривая вынуждающую силу как последовательность злементарпых импульсов с) (З) т/З и интегрируя т28 Гл. ть вынужденные кОлеБАния (6.«з5), получим для пулевых начальных условий решение 6 = — ) 0 (6) е — Ы" 6> з(п )се (з — 5) дб.

(6Л6) о Е некоторых случаях удобно пользоваться решением в ином видо, подобном выражению (5.20). Если функция ~)(«) дифференцпруемая, то поступая, как в 6 5, получим д = — ~() (с) — (2 (О) е "' )х сов й 1 + — взп )т„Х)— -ы с -)Есз). «-«),«с„а з)«.—,а.«,,««р1«$) ~6««) А о Если же сила ь)(з) претерпевает конечные разрывы Л()ь Л()т, ... в заданные моменты времени 5ь 5т, ..., то д =- —, ~(?(О— ~/ — ~ ()(~) е-аи — Р ~соей (с — $) + ь — з(пйе (т — $)~ ((я о 2«о«-"«-««(, «,з — зз« „" «.«« — зз~). (««з) з=е П р и м е р 6.2 Найти пвижевие системы, вызываемое действием линейно возрастающей во времени силы, график которой показал на рис. бл2, а, учитывая низкое сопротивление, характеризуемое коэффициентам Ь В данном случае удобно воспользоватьси решением в форме (6Н7).

Подставляя О = 6, находим 6т ре ««аш Й«т с сйз Колебании постепенно аатухают и движение приближаетси к движению вырожденной безмассовой системы с = рз/с (рис. 6.4). Рис. 6.4 3. Действие периодической вынуждающей силы. Если сила задана в виде периодической функции времени периода Т, то, как и в 2 5 и. 3, вызываемые ею установив- в В СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ шпеся вынужденные колебанпя можно найти двумя способами. Чаще всего всходят из того, что периодическую рунецию 0(1) можно разлоя1ить в ряд Фурье и затем суммвровать движеппя, вызываемые каждой пз гармоник.

Тогда на основе решения (6.8) можно, подобно (5.25), записать для установившихся колебаний б„кт С„сов (»а3 — у„) + уу„в1в ~ »м| — т») — "+~" г-," ~Р ав (6Л9) Кроме обозначений, пояснеипых выше в связи с выражением (5,25), здесь обозначено: 2»»м у» = ь — им д е- '( „в(п!г,„с+двсов1г в + и ~о + ~в ° + — „~05) в-"П-Ь~вгп7с (1 — Е) Л. о »в + Вв ° д= е-"' — " "в(пйвс+дв сов(г м + + — ) Д($)е — "и-Рсовй (1 — В)Щ— о (6.2т) й ~()Р в лп-адв;и У,, (г х),(в.

в я. Г. Пав»в»в Как уже укааывалось, ряд (6.т9) ппогда сходится недостаточно быстро и для достаточно точного оппсаппя двпжепия приходится учптгавать значнтельпое число членов ряда. От етого недостатка свюб,деп чругой способ, который основан па свойстве порподпчпостп устаповпв|пегося процесса двпжения.

Прнмем некоторь|й момент за начало отсчета времекя и обозначим, как обычно, дв — начальное значеппе обобщенной координаты, ов — начальное значеппе обобщенной скорости. Тогда, подобно (5.27) и (5.28), найдем Гл. н. Вынужденные кОлеБАния Подставив сюда 1- Т, получим выражения для д(Т) и д(Т). Далее в соответствии с условиями периодичности в левые части вместо г7(Т) и д(Т) можно подставить соответственно до и до. Это приводит к двум алгебраическим относительно до и до уравнениям: д, (е" — соз 7оаТ) — йаТ = т оо+ оо = — (С в)п7о Т вЂ” Яазш7гаТ)„ аеа (6.22) „,.;и 7,,Т+'о+ "о (,.т „.7„.,Т) .= = — (С соз7оаТ+ Яаз1п7о Т), аь„ в которых для краткости введены обозначения т С = ] ~ ($) е" о соз 7оД И$, о т 8а — — ~ (7($) е~4зш 7оД ос.

а (6.23) Уравнение (6.24) описывает закон движения системы в интервале времени (О, Т]. Этот закон затем повторяется в следующих интервалах времени: (Т, 2Т], [2Т, ЗТ] н т. д. Если построен график функции (6.24), то смещеппем его на период, два периода и т. д. получим графики движения для следующих (или предыдущих) интервалов времени. Из уравнений (6,22) находим значения до и до и, вернувшись к первому из выражений (6.21), получаем окончательное регпение задачи: , — лт ага ($ — Ееот соз Ь Т + аоот) Х ((еот(Сазш 1ааТ вЂ” Яа сов 1ооТ) + Я ) сов 7о 1+ + (е"т(С сое1с Т+ Я.Б1п)о Т) — С.

] яп й 1) + с + — ] ~7($) е — аи — Ь~ в1д 7са (1 — $) Н$ (6.24) о Ф Е. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ В частном случае, когда трение в системе отсутствует, т. е. й = О, выражение (6.24) переходит в ранее найденное выражение (5.33). П р и м е р Б,З Найти движение, которое вызывается действием односторонних периодических импульоое Я. Период импульсов Т и значения коэффициентов и, Ь и е будем считать заданными. Совместив начало отсчета времени с моментом, наступающим сразу после приложения какого-либо импульса, получим по формулам (6.23), как в примере 5,6, С»=8, Я»=О. При этом выражение (6,24) приобретает вид Зе л(т т) [з1вй (Т вЂ” т) +елташ й е] ий (1 2»лгсозй Т+езлт) При малом отношении периода Т импульсов к собственному периоду 2я)л» (высокочастотное возбув(девке) зависимость о(т) имеет вид, показанный иа рис. 6.5, а; при атом за один период Т Рис.

6.5 успевает осуществиться лишь часть одного цикла свободных колебаний и роль вяакого трения относительно невелика, В противоположном случае, когда указанное отношение периодов велико (яизкочастатное возбуждение), зависимость о(т) подобна показанной на рис 6 5, б. Здесь за один период Т происходит более одного цикла свободных ьолебаиий и становится заметной роль вязкого трения. Особенно важен случай резонанса, когда период Т импульсов в целое число раз больше периода 2яй» свободных колебаний, Обозначив укааанное число буквой г, имеем Т =- 2яг/й».

В этом случае Мп Л„Т = О, соз Л„Т = 1 движение окисывается выражением Яе ~~ з(в й»т ай»(1 — е " ) 9» 562 ГЛ. П. ВЬТНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Вспомнив, что однократный импульс вызывает движение .л и1. Ч =" — а ЬЛ а!пЬ Г, г ..аЬ найдем, что в случае резонанса, вызываемого периодическими ударами, движение описывается тем же выражением, во с дополнительвым коаффициентом: 1 г$ — е Множитель 1/($ — е "*) характеризует влияние повторений ударов, Для атого множителя приближенно можно ваписать ЬТ 2ягЬ' 05 05 1 Ю 2 25 и Х» Отсюда, между прочим, видно, Рис, 6,6 что самым опасным является п е р в ы й резованс, Когда г $.

Зависимость коэффициента 6 от отношения частоты импульсов в = 2я(Т к собственной частоте йа показана на рис. 6.6 для случая Ь/Ь 0,5. 4. Комплексная форма решения. При анализе установившихся вынужденных колебаний часто пользуются понятиями комплексных величин — комплексной обобщенной силва (г и комплексного обобщенного перемещения (комплексной координаты) д, Хотя комвлекспап форма записи может показаться несколько искусственнои, но она очень удобна, в частности, тем, что лгобые линейные операции над функциями типа гармонических колебаний (дпфференцирование, интегрирование, решение линейных уравнений и т.

д.) выполняются гораздо проще, когда зти функции представляготся не в виде синусов и косинусов, а в комплексной форме в виде зкспонент (показательных функций). Переход к комплексной форме может выполняться поразному. Например, при гармоническом возбуждении колебаний и надлежащем выборе начала отсчета времени гармоническую вынуждающую силу можно описать выражением ~Г =)х з1пгог (такой выбор начала отсчета времени не обяаателен; ниже будут рассмотрепы иные варпапты). Далее вводится комплексная вынуждагощая сила (г = Не™', мш1мая часть которой равна заданной вынуждающей спле: 1ш () = ~ (е»н = соз от5+ ьзш ю5), л комплексное перомещепие й, мнимая часть которого $ С.

СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ представляет собой искомую обобщенную координату: 1т д = д. Таким образом, дифференциальное уравнение (6.2) можно переписать в виде 1ш (ад+ Ьд+ сд) = 1ш(йреьв2), а отсюда — перейти к уравнению, связывающему комп- лексные величины д и ее *): ад + Ьд -)- сд = Яс2~2, (6.25) Частное решение этого уравнения имеет вид лТеые (6.26) Подставляя (6.26) в (6.25) и сокращал на общий множитель е'"', получаем уравнение относительно комплексной амплитуды А, иа которого находим Н А= 2 с — оео + еды (6.27) Знаменатель правой части с = с — аозт+ 1Ьв (6.28) называется комплексной динамической жесткостью.

Таким образом, комплексная амплитуда вынужденных колебаний равна отношеншо аьшлнтуды гармонической вынуждающей силы и комплексной динамической жесткости системы. Величина, обратная комплексной динамической жесткости И' = 1 с — оы +2Ьы 2 (6.29) *) Иногда вместо ураввепвв (625) пкепут сед+ Ъд+ ед = Не'"', мысленно подразумевая под д комплексное перемещевве и имея в виду. что затем в вавдепвом выражении д будет удержава толь- ко его мввмав часть (см также сноску ва стр. 134). представляет собой частотную характеристику (комплексную динамическую податливость) системы.

Как видно, частотная характеристика системы определяет комплексную амплитуду вынужденных колебаний при единпчпой амплитуде вынуждающей силы. Гл и Вынужденнын коленания Комплексная амплитуда (6.27) может быть представлена также в виде экспоненты. Для этого нужно прежде всего освободиться от мнимости в анаменателе, умножив числитель и знаменатель (6.27) на выражение с — аюз— — Йю. Тогда получится н [(с — с1о') — 'ью! (с — асоэ)в + (Ью) Отсюда непосредственно следует, что Л =Ае-*г (6.30) гдо А =- [А [.—.— ", у = агс16 ~ ' Д. (6.3[) У(с — и э) + (Ью) К 1 Таким образом, согласно (6.26) и (6.30) комплексное перемещение определяется в виде д = Хе' ' = Ае'"'-г' (6.32) а его мнимая часть, т. е. искомое перемещение,— в виде (6.33) д =А згп(ют — 7). Естественно, полученные результаты совпадают с полученными выше (см.