Пановко Я.Г. - Введение в теорию механических колебаний, страница 17

Те н<е соображения позволяют и в рассматриваемом здесь случае периодического возбун<дення ограничиться учетом только установившихся вынужденных колебаний. Для решения атой задачи можно воспользоваться двумя путями. Первый иэ них основан на разложении функции (5.22) в ряд Фурье: а (7 (<) — — + (С„сов и<а< + Н„з<п и<а<), И1 коэффициенты которого определяются формулами т' т (5.23) С„= — ) Д (~) сов и<а< СЧ, Н„= — ) Д (<) з(п и<а< Ж (5.24) 2 Г 2 ( (и=О, 1, 2, ). Записав уравнение (5.5) в виде а ад+ сд = — «+ 7, (С„оаэи<о<+ Н„з1п и<о|)» учтем, что система л и н е й н а; это значит, что можно рассмотреть по отдельности действие кан<дого иэ слагаемых вынуждающей силы и найти установившиеся вынужденные колебания, а затем сложить полученные результаты: Г б ~ч п„соз в<а<+ н„«1в п<а< 1 а 1 Таким образом, движение, вызываемое полигармонической вынуждающей силой, также является полигармоническнм.

Конечно, отношения между амплитудами гармоник этого двин<ення н е р а в н ы отногпениям мен<ду амплитудами соответствующих гармоник вынуждающей силы; в частности, может случиться, что какая-либо и-я И8 Гл. и. ВынуждВпные колевле!ия составляющая вынуждающей силы с относительно небольшой амплитудой вызывает особенно значительные колебания. Это будет тогда, когда частота пы этой гармоники близка к собственной частоте й, так как при этом знаменатель соответствующего члена суммы (5.25) близок к нулю. При равенстве частот пю = й наступает резонанс (за исключением случаев, когда соответствующие величины С„и лт'„равны нулю).

Описанный способ отчетливо выделяет опасные возможности резонансных режимов, но не очень удобен, так как приводит к бесконечным рядам, которые не всегда достаточно быстро сходятся. Рассмотрим теперь иной способ, который приводит к з а и к н у т о м у решению для установившихся вынужденных колебаний. Рассматривая действие периодической силы (5.22), будем разыскивать решение д = д(Ц, имеющее тот же период Т, что и у силы, т. е. оно должно удовлетворять условиям периодичности: до= д(0)=д(Т), до=д(0)=д(Т), (5.26) где до и до — обобщенная координата и обобщенная скорость в момент, принимаемый за начало отсчета времени ~. Движение в интервале (О, Т) описывается выраяоением с д=д,созйс+ — озшИ+ — „~Д$)вш7с(т — $)оЦ, (5.27) о которое является обобщением решения (5.19) на случай ненулевых значений до и до.

Для дальнейшего необходимо образовать выражение обобщенной скорости д. При дифференцировании по времени ~ интеграла, входящего в (5.27), должно получиться два слагаемых: первое представляет производную по верхнему пределу 8 и равно подынтегральной функции при $= 8, а второе — результат дифференцирования по 8, входящему как параметр под знак интеграла, Но первое из этих слагаемых равно нулю и, таким образом, д = — д йвшВ+ д сов Ы+ — ) Ч(з) соей(1 — $)о$. 1 ( (5.28) 9 6, системы Без тРения 119 Для момента времени 1=Т выражения (5.27) и (5.28) дают т д (Т) = д соя й Т + — ~ я1п 1( Т + —,, ) ь( ($) я1п 1' ( Т вЂ” $) (1$, е Г о (5.29) т д (Т) дел' я(п Л + дв соя йд + — ) Д Я) сояй (7 — $) (1$ Г о Теперь введем сокращенные обозначения для постоянных величин: ) („1($)соя1с$о($= Со, ) Д($)я1п1(ь(%=Я (5,30) и перепишем выра~кения (5.29) в виде д, = д, соя йТ+ — „я(пйТ+ — ',„С вЂ” — ' 8„ Ч„ .

з(п ((Т соз((Т соз ЬТ з1в *((Т (5.3Ц д, =- — д 1 я(п1сТ+ д соя 1(Т+ — С + '— Я . В левых частях этих соотношений заменено д(Т) на д(( и д(Т) на до, как это следует из условий периодичности решения (5.26). Два соотношения (5.3х) представляют собой простую систему двух алгебраических уравнений относительно неизвестных де и дз, решив ее, найдем де 2 (Сос18 2 + ов~~ де = ~8ос18 2 Се~ (5.32) Теперь с помощью вырал(ения (5.27) можно окончатель- но получить д (1) — Ср с1я + се) соз Ь + 1 (1 1(Т -((8, Ф вЂ” — с)ю в(-2(е(((ы ш(ф — к(и(~. з33) о Это решение представляет движение в промежутке времени (О, Т((, и в него нельзя формально подставлять 1)Т. Однако, имея график д(1) для 0<1-;Т, можно 120 ГЛ.

11. ВЬСНУЖДИННЫЕ КОЛЕБАНИЯ вследствие нериодичиостп решения без всяких каменский сместить его в соседние прсыежуткп (Т, 2Т~, '(2Т, ЗХ),... Пример 5.6. Папги установившиеся вынужденные колебания, вызываемые в линейной системе с одной степенью свободы Рис. 5.14 периодической кусочпо-постоянной вынуждающей силой С)(С+ Т) = (/(С) (рис.

5.14): Т Т ЩС);=~О пРи О < С < 2, 4/с(С) = — '4/ пР— 2 ( С < Т. Пользуясь разложением в ряд Фурье, по формулам (5,24) находим 6„=0 (в О, 1,2,3, ...); Н„= е (я=1,3,5, ...); Н„з=О (в'=2,4,6...,), ~~о пл и согласно (5.25) исследуемые колебании представляются суммой нечетных гармоник: 40е ыплыС У Прн а/ю = и (л = 1, 3, 5,,) наступает резонанс, Воспользуемся теперь вторым способом решения, Для этого предварительно вычислим по формулам (5,30): С = — ез!п — С1 — соз — ), 3 = — — "соз (1 — соа — ). 20е . ЛТ / ЛТ~ 2б)о ЛТ / ЛТ~ Л 2 ~ 2)' о /с 2(, 2) Теперь выражение (533) принимает внд о = —" ~1 — соз ас — сд — зСп Лс) (О < С < О / с 4 ) ~ = — й ~ — ~( — — ') — з(+— (~ <С<Т); Как видно, атот результат значительно более удобен для последующих вычислений, чем ряд, полученный выше по первому способу, Отметим, что и в этой записи сразу москно выделить прежнее условие резонанса /гТ/4 = лв/2 (и = 1, 3, 5...,).

З З. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ П р п и е р 5 7 Найтп наибольшее отклонение линейной системы с одной степенью свободы от положения равновесия, если на нее действует периодическая последовательность односторонне направленных мгновенных импульсов 8, имеющих период чередования У, вдвое меньший собственного периода 2к1й. В данном случае разложение в ряд особенно незффективно изза его медленной сходимостн, Воспользуемся вторыи способом Рис. 515 решепип и примем за начало отсчета времени момент, непосредствепио следзчощий за моментом приложения какого-.чнбо импульса По формулам (530) найдем г,=о с =г, Кроме того, в данном случае Д (5) з1п й (1 — 5) 35 = 8 з1п И.

о Подставляя его в выражение (5.33) н учитывая, шо йт = и, получаем 8 з1п (ЯПТ) 2а1г Паиоолыпсе отклогспне равно 3/(2а!з), т, е в д в о е м е и ь ш е, чем в случае декгтвкя одоокрзтпо|о импульса График движении показан па рнс. 5Л5, а. Па зрафико с«оростн (рис, 515, б) ясно видны разрывы скорости, обусловленные приложением импульсов, гл. и. Вынуждш1ные кОлеБАния й 6. Системы с одной степенью свободь2 при наличии линейной восстанавливающей силы и трения Влияние трения па вынужденные колебания, происходящие вдали от резонансных режимов, обычно невелико, и в практических расчетах им чаще всего пренебрегают.

Однако вблизи резонанса учет трения становится необходимым; без этого ошибки в определении амплитуд вынужденных колебаний становятся недопустимо большимп. При произвольно заданной вынуждающей силе анализ колебаний относительно прост прп условии, что трение в системе — линейное. Значительно сложнее исследование колебаний систем с нелинейным трением — даже в простейшем случае чисто гармонической вынуждающей силы приходится довольствоваться лишь приближенным решением.

2. Действие гармонической вынуждающей силы. Если трение в системе линейное, то в случае вынужденных колебаний дифференциальное уравнение (2.6) должно быть дополнено членом, выражающим действие вынуждающей силы; здесь примем ее в виде б1(Ь) = НБ1п оэЬ, (6.1) так что получится ау+ Бу'+со =и з(пай (6.2) Вводя преалше ооозначения Ь йз 2а' а' приходим к уравнению з следующей форме: Ч + 2М + ! Ч = — з1п юЬ. Н (6.6) Его общос рошспис имеет ввд д = е 22 (С з1п Ь' С + Са соз й Ь) + Н + з(п (соЬ вЂ” у), )/(Ь2 2)2+4Ь2 2 где й = 'У' й2 — й2 (6.6) есть частота затухающих колебаний системы, а угол у, характеризующий отставание фазы перемещения от фа- 6 6.

системы с твеннем зы силы, определяется выражением йьм 2 22 а — а постоянные С| и С, находятся из начальных условий. Первая часть полученного решения представляет собой колебания с частотой Й„, которые с течением времени затухают н вскоре после начала процесса становятся зя 21 й «|чй 4 ))$$ Рвс. 6.1 практически несущественными. Основное значение имеет вторая часть общего решения Н д = зш(«м — у), (б я) у (Л2 2)й+«12 й описывающая незатухающие установившиеся колебания, происходящие с частотой возбун|дення.

124 Рл. и Вынуждйннын колевания Постепенное установление стационарного колебательного процесса с частотой ю иллтострировано на рис. 6.1 для трех случаев. В первом случае (рис. 6.1,а), когда ю <<й, в начале движения основные колебании частоты ю сопровождаются затухающими колебаниями б о л ь ш е й частоты. В противоположном случае, когда ю Л" л (рис. 6.1,б) на основные колебания с частотой ю накладываются затухающие колебания с м е н ь ш е й частотой (и Наконец, при близких значениях частот й и ю движение носит характер б и е н и й, которые постепенно затухают (рнс. 6.1, в).

Амплитуда установившихся нолебаний определяется выражением Отношение амплитуды Л к статическому перемещепшо д., = Н(с равно и представляет собой коэфу1пьпент дина нягности. Зависимость коэффпцпопта дппампчностн от отношения частот юЯ показана на рпс. 6.2, а для различных значений 2й/Ус, характеризующих демпфврующее действие линейного трения; зти графики дополняют рпс. 5.5, который относится к системам без трепля. Максимумы кривых д(а/к) лишь незначительно смещены влево от значения ю/й= 1; поэтому резонансные значения динамического коэффпциепта обычно определяют при ю = Й по выражению л Ргез= 2Ь' (6Л1) Согласно (2.12) это зпаченне выражается через логарифмический декремент: (6Л2) Иногда резонансное значение коэффициента динамичности называют добротностью системы: чем больше добротность, тем острее резонансный ппк.

гл и вынуждкннык колннания В этом параграфе выше предполагалось, что амплитуда вынужда|ощей силы имеет заданное постоянное значение, не зависнщее от частоты со. Если амплитуда Н вынуждазощей силы пропорциональна квадрату частоты (Н = Коза), то, подобно (6,9), находим 2 А— (6ЛЗ) На рис, 6.2,6 показаны графики зависимости относительной амплитуды Аа/К от значений от//с при различных значениях отношения 2й//с. Приме р 61, Вертикальная вынуждающая сила (6,1) действует на тело массы лк которое опорто на систему пружин и вязких демпферов (рис.

6.3, а); с — коэффициент жесткости системы пружин; Ь вЂ” коэффициент вязкости демпфероз Определить д туг г У Рис. 63 амплитуду силы, передаваемой на основание пружинами и домпфорами при установившихся вынужденных колебаниях системы, Искомая сила, передаваемая на основание, определяется выражением /У = Ьй+ сд, з котором е — вертикальное перемещение тела, отсчитываемое от состояния равновесия, Подставляя сюда согласно (6,8) — (6.10) рН д = — зш (ыт — у), получаем после замены Ь = 2Ьс/Ьз 2аы /у = рН ~з1а (ыт — у) + —. соз (аз — у) 1. Ь З е снстзмы с тгннивм 127 Максимальное значение силы дт равно /ушах = р + 4азыз Безразэтерное отношение Д/ыэх//7, называемое коэффизиектом передачи силы, определяет, во сколько раз наибольшая сила, передаваемая основанию, больше амплитуды заданной вынуждатощей силы; оно равно 4азыз 1+— /э /У У 4Ьз х рэ= шах =„~~ 1+ Н ~/ /,4 На рис. 6.3, б изображен график зависимости коэффициента передачи силы от отношения ээ//э при различных аначенинх 2Ь//с Полезно заметить, гто все кривые, независимо от коэффициента ввзкости Ь, пересекаютск в точке с координатами (/2", 1); прп ы//э < 72 впзкость демпферов способствует сннженито общей силы, передаваемой на основание, а прн ы//э ) 72 (кан это бывает в хорошо амортизированных систеэшх) — эту силу у в е л и ч и в а е т 2.