Брейсуэлл Р. - Преобразование Хартли (теория и приложения), страница 6

Второй класс теорем связан с соотношениями между функциями и их преобразованиями, что обычно может быть выражено в виде равенств. Например, интеграл от функции в бесконечных пределах равен главному значению ее преобразования, Здесь мы вновь имеем крайне простую теорему, которая однако избавляет от необходимости выполнять трудоемкое интегрирование, оказывается полезной при проверке численных расчетов и является сильным инструментом в случае, когда при решении какой-либо задачи возникает вопрос о выборе метода ее решения: аналитического или численного. 29 Значительная часть сведений об этих теоремах может быть сведена в таблицы, которые неизменны.

Соответствие операцнй Если колебание )с(г) имеет преобразование Хартлн НЯ, то каким будет это преобразование для функции 1'(г(Т), т.е. функции, получающейся нз исходного колебания в результате растяжения шкалы времени в Т раз? Непосредственное оцределенне интеграла для положнтельных Т приводит к выражению Ю Ю ) е'(с/2) сап 2п(сс(с = ) й'(г') саз (2п(Тс') Тс)г' = = Т) )'(г)саз(2я(Т)) г)й' = ТН(Т)).

Таблица 3.1 Теоремы лля вреобразовпннй Фурье а Хартлн Теорема и(с) р(() ня 1 (с(Т) ес(с) + 1е(с) Подобие Сложение Зеркальное изображение Сдвиг ~ Т~ Р(Т() УсЯ+ РЯ) ~ Т ~н(Т)') НгЯ+ НеЯ к'( — с) е'(с — Т) Н( — () еп 2пТ(н( — () + ч соз 2п Т(н(() (он(( ) о) + + lг Н((+) о) '), (н, 11) Н,11)— Нс( У)не( ))+ -ь Н,(()Н ( — ()+ ~-н ( ()н(()) '( ь(н(())'+ (Н( — ) В'3 ')е(Н,Я*и Я (- +Н,( — ))»Не(()+ + н,(()»н,(-г) -. — н,( — ().н,( — ()) — 2п (Н( — () р(-у) ехр "г — 12я(т) ГЯ Модуляция Свертка 5'(с)соя2пДс .1 с(с) » ее(с) ')е у(( — уо) -~- + )е ТЧ +(о) у,((.) р,(д Корреляция Произведение к(с) * ~'(с) к,(с)~;(с) 1р0) 1* рс(с С» уг(() Производная Вторая цронзволняя 12п(Р(Г) — вя2(2 р(() й'"(с) Вне( е Н(() Если Тотрнцательно, то для новой переменной Г = г(Тдолжно быть произведено изменение пределов интегрирования, вследствие чего результат равен — ТН(Щ Чтобы учесть обе возможности (положнтельных н отрицательных Т), можно сформулировать вывод следующнм образом: Если $'(1) имеет преобразование Хартли Н ()), то )с(г(Т) имеет преобразование Хартли вида ) Т) Н(Т)') .

Для сравнения пРиведем теорему подобия, нлн теорему изменения масштаба, применительно к преобразованню Фурье: Если К(г) имеет преобразование Фурье Г((), то К(г/7) имеет преобразование Фурье вида )Т) Р (Т)"). Благодаря этой очень близкой аналогии удобно перечислить теоремы для обоих преобразований так, чтобы были наглядны н очевидны вх различия. Соответствующие соотношения сведены в табл. 3.1.

Ниже будут опущены выводы для простых соотношений, подобных рассмотренному примеру. Свертка В табл. 3.1 операция свертки н взаимной корреляции условно обозначены снмволамн «звездочка» (») н «пентаграмма» (*). В соответствии с этими обозначениями имеем 1, (с) ) з (с) = ~ у; (с — и) Кз (и) с(и, Р (г)*1' (с) = ) 1', (г + и) 1; (и) с(и. Важным свойством теоремы о свертке является следующее: если одна нлн обе функции, входящие в формулу свертки, являются либо четнымн либо нечетнымн, то теоремы Хартлн н Фурье (т.е. формулы прямых преобразований Хартлн н Фурье для свертки) совпадают. Имеем теорему: Если е; (1) является четной функцией, то свертка )с, (С)» )сз (с) имеет преобразование Хартли вида Н, ()) Нз ((). Если одна нз этих функций является нечетной, то формула упрощается.

Если )с (г) — нечетная функцил, то свертка Р; (г)*)з (с) имеет преобразование Хартли вида Н, ()) Нз ( —.(). Соотношення между преобразованиями но временной н частотной областях В дополнение к теоремам, сведенным в табл. 3.1 н иллюстрирующим характер нзменення преобразованнй прн выполнении различных операций над исходными функцнямн, существует ряд соотношений между параметрами исходных фушщнй н нх преобразований. Этн соотношення дают ответы на ряд часто возннкаюсцих вопросов.

Предположим, что имеется преобразование некоторой функцнн, но мы не располагаем самоа функпней, Прн этом требуется оценить нлн проанализировать некоторое свойство функции, но не обязательно характер функцнн в целом. Один способ решения этой задачи заключается в операцнн обращения, т. е. в нахождении обратного преобразовання, для получения всей функцнн н дальнейшем анализе ннтересующего нас свойства. Однако, так как наши требовання более скромны, должен существовать более оптимальный способ. Таким образом, если бы мы хотели вычислить ннтеграц от функция в 30 31 Свой«с»о Теорема Соотношения лп» Соотпош«ппл лл» преобразования преобразования Фурье Хартлн = Н(0) = Г(0) ) Уй)Ф Интеграл в бесконечных пределах — [ Р(/)Р«(ЛМ =!/с ) [Нз(Л+ + Нг( /.))ау ) [У(сдсс/ Теорема Рэлея = — Н'(0)/2л = р'(0)/(- сйл) ) сУ(с)дс с У(с)с(с сУ(с) с/с Первый момент = — Н" (О)/4л' = — Г" (0)/4л' Второй момент Центроид = су'(0)/2ку(0) = — Н'(0)/2лН(0) 3.10 [ У(С)дс Таблица 3.2 Теоремы длн соотяошевнй между преобразованиями во временной н чвстотвон областях 3.6 3.7 ЗВ ЗВ ренпированнн для преобразования Хартли, исходя из того, что 1'(с) имеет преобразонание Фурье, равное с2л/Р Я.

Теорема о дифференцировании. Дать формулировку теоремы о дифферен- цировании иэ теоремы о сдввге с использованием предельного перехода при сдвиге, стремятемся к нулю. Теорема о дифференцировании. Показать, что я-я производная Уи'(с) имеет преобразование Хартли саз' (шс/2) (2лЛ" Н [( — 1)"Л. Вторая производная.

Студент рассуждает следующим образом: «Дифференцирование функции У/с) сказывается на изменении преобразования НЯ таким образом, что НЯ претерпевает зеркальное отражение н умножается на величину (-2лЛ. Поэтому при вторичном дифференцировании необходимо еше раз получить зеркальное изображение преобрэзования, расположение которого на осн частот совпадает с исходным преобразованяем Н(/), и умножить его на величину ( — 2лЛ. Следовательно, У" (/) имеет преобразование Хартли вида ( — 2л/') з Н Я».

В чем заключается ошибочность этих рассуждений? Второй момент. Показать, что второй момент колебания может быть определен из его преобразования следующим образом: ( с!У(с) с(с = — Н" (О)/4лз Скользящее среднее. Сглаженное колебанве У (с) формируется из 1'(с) пУтем его интегРиРованиа на интеРвале [С вЂ” '/„С + !/сз.

Показать, что преобразование Хартлн колебания У (с) равно НЯ зпю/' Получение преобразования Фурье из преобразования Хартли. Показать, что р(/) = '/ ехр[ — ш/~4) НЯ+ '/сехр[ш/41 Н( — Л. бесконечных пределах, мы могли бы инвертировать прямое преобразование и за~ем выполнить интегрирование, однако прн этом получается такой же результат, как при простой фнксацни главного значения преобразования. Аналогично, если требуется определить абсцнссу центра тяжести функции (центронда), например, в задачах оценки минимума фазы, ее следовало бы непосредственно вычислить в соответствии с определением как отношение двух интегралов; но намного полезнее знать то, что абсцисса цептроида легко вычисляется через наклон графика прямого преобразования в центральной точке, т.е.

при / = О. Соответствуюшие данные, которые оказываются очень полезными, приведены в табл. 3.2. Задачи 3.1. Теорема о сдвиге. Дать формулировку теоремы о сдвиге, исходя из соответствующей теоремы для преобразования Фурье. 3.2. Теорема аб аатокорреляции. Показать, что У(с)*У(с) имеет лреобразованне Хартлн вида [Н,Я)! + [Н,Я)з, где Н, и Н,— соответственно четная и нечетная составляющие преобразования Н Я. Зуч Теорема о лроизледеиии. Показать, что 1', (с) Ус(с) имеет преобразование Хартли вида ̈́̈́— Н,. * Н„О Н„Н . + Н„Ньм 3.4. Теорема о дифференцировании Дать формулировку теоремы о диффе- 32 3.11.

Получение преобразования Хартш из преобразования Фурье. Показать, что НЯ= '/зехр[Сл/4)рЯ4'/гехр[ — сл~/41)р ( — Л. Наклонная ступенька. Функция Лс) равна [-1, 3.12 /(с)= ( с, — 1 с сс1 1, С > 1. студент замечает, что функцня и (с) = и (с) «зйп(с) аналогична ло характеру функцииЛс), но в отличие от последней шаата в 2 раза. Зная, что д (с) имеет преобразование Хартли вида 6 (/) = ппс Я/2лу", студент применяет теорему подобия и доказывает, что функция/"(с) = д (с/2) имеет преобразование Хартли 26 (2Л = ппс (2Л/лф Другой студент рассуждает следуюШим обРазом: «Дано: /'(с) = '/зП(с/2)«зйп(с/2); фУнкцил П(с)«зйп(с) имеет преобразованяе Хартли 6(/), П (с/2) «гйп (с/2) имеет преобразова /(х — а) имеет преобразование Хартли вида свз(2лЛ НЯ, з-пм ние Хартли вида 26(2Л.

Но зйп(с/2) не отличается от зйп(с); поэтому функция '/ П (с/2) * зйп (с) =Лс) имеет преобразование Хартли вида 6 (2Ли Объясните расхождение результатов двух студентов. 3.13. Сдвиг четной функции. При условии четности функции /'(х) показать, что Глава 4 ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРТЛИ Человеческий разум перед вечной дилеммой: Совершенство бытия ипь созершеистзо труда? Хотя мы стремимся рассматривать время как непрерывную переменную, на практике необходимо использовать дискретную переменную для описания временных рядов, например когда для вычисления требуется дискретизация этой переменной или в случае накаплввания данных иа регулярных интервалах. Поэтому введем дискретную переменную т, которая будет соответствовать времени, но принимать только целочисленные значения от О до М вЂ” 1.

Выбран именно этот интервал, а не «1, М) илн « — (М/2) + 1, М/21 в соответствии с общепринятой практикой. Таким образом, прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и обратное ему преобразование имеют стазщартную форму Р(ч) = М ' 2 /(т)ехр« — 12кчт/М), !=о М вЂ” 1 //т/ = 2 Р(ч)ехр«12кчт/М1. ° =О Функция/'(т) может быть дискретным представлением исходного непрерывного колебания или функцией переменной, дискретной по своей природе.

Дискретное преобразование Хартли Дискретное преобразование Хартли (ДПХ) вещественной функции /(т) и соответствующее обратное преобразование определяются соотношениями и-1 Н(ч) = М ' 2, /' (т) саз (2кчт/М), ! П -1 /(т) = 2, Н(ч)саз(2кчт/М), 34 где, как и выше, используется обозначение савО = созО+ зшО, введенное Хартли. Для получения обратного ДПХ воспользуемся свонством ортогональности М вЂ” 1 (М, т=т', 2,' саз (2кчт/М) саз (2кчт'/М) = 1 О,т~т'. Подставляя величину М ' ,''! /'(т) саз (2кчт/М), определяющую пре- М вЂ” ! образование Н(ч), в выражение ,'! Н(ч)саз(2кчт/М), получим ° =О М вЂ” 1 М вЂ” 1 М вЂ” 1 ,'! Н(ч) саз(2кчг/М) = 2 М " ,'! /(т') саз(2кчт'/М) саз(2кчт/М) = != О ° =О !'=О М-1 М-1 =М ' 2 /'(т') ,'Г саз(2кчт'/М)саз(2кчт/М) = !'=О ч= о (М,т=т' = М ' ,'! /'(т') х ~ =/'(т), О, т оь т' что подтверждает справедливость обратного преобразования. Коэффициент М ' в ДПХ заимствуется из практики использования ДПФ, для которого величина Р (0) равна постоянной составляющей функции /(т); другими словами, ДПХ является симметричной процедурой.

Кроме этого, ДПХ является вещественным преобразованием, так как вещественной является функция / /т). Физический смысл величин т и ч Переменная т интерпретируется как время, а дискретная переменная ч — как частота; однако следует помнить две особенности. Если в качестве единицы времени г принята секунда, т.