Брейсуэлл Р. - Преобразование Хартли (теория и приложения), страница 9

При наличии в потоке данных шумов, которые должны быть подавлены, этот поток сначала может быть преобразован в область спектрального представления с последующей заменой нулями компонент на нежелательных частотах, а затем возможен обратный переход в область данных с помощью обратного преобразования. С другой стороны, тот же самый результат может быть непосредственно получен в области данных путем свертки исходных данных с соответствующей фильтрующей последовательностью, что в принципе не требует анализа в частотной области. Метеорологические данные, в структуре которых должны быть подавлены сезонные флуктуации с целью регистрации и отображения клзпнатических изменений (климатического тренда) за вековой период, традиционно подвергались обработке путем свертки последовательности ежемесячно регистрируемых данных с 13-элементной последовательностью (1/12) ((1/2) 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 1 (1/2)), что представляет собой процедуру низкочастотной фильтрации.

Если мы вычтем сглаженный климатический тренд из исходных ежемесячных данных, то в чистом виде получим сами флуктуации, свободные от медленных годовых изменений (дрейфа). В результате зта операция представляет собой подавление низкочастотных составляющих, и, если необходимо, она может быть реализована как одноэтапная процедура свертки с последовательностью (1/12) ( — (1/2) — 1 — 1 — 1 — 1 — 1 + 1 — 1 — 1 — 1 — 1 — 1 — (1/2)).

Эти два примера показывают, 46 каким обРазом может видоизменяться частотный спектр сигнала при выполнении свеРтки непосредственно в области данных При использовании электронных фильтров, представляющих сбой, например, совокупность электролитических конденсаторов, резисторов я дросселей, как в телевизионных приемниках для уменьшения помех по цепям питания, не удается полностью подавить паразитные колебания. Подобная ситуация возникает при осуществлении цифровой фильтрации потоков данных. Поэтому валсной задачей являются изучение и анализ характеристик и ограничений цифровой фильт адни. траИнтересно отметать, что способ фильтрации непосредственно с помощью свертки может оказаться и не самым быстрым.

Таким образом, выбор процедуры является другой важной темой. Когда поток данных имеет достаточно большую протяженность, могут оказаться оправданными переход в область преобразования и работа в частотной области. Однако имеется и другое соображение, касающееся числа элементов последовательности, подвергающейся свертке, при этом возникает вопрос: целесообразно ли осуществлять преобразование последовательности 1000 месячных измерений, которые по- , кото ые подлежат сглаживанию, и затем выполнять операции над получившимся спектром с последующим переходом в исходную область путем обратного преобразования, вместо того чтобы выполнять достаточно простые операции умножения и сложения в процессе свертки с вышеупомянутой 13-элементной последовательностью? К этому и другим вопросам мы и обратимся в данной главе. Циклическая свертка Обычная дискретная свертка двух последовательностей /; (т) /' (т) определяется следующим соотношением: /; (т) а/з (т) = 2'/'г (т') /з (т — т'), г в котором диапазон значений т' заключен в пределах области ненулевых значений произведений для каждого данного т, причем само т может принимать значения вплоть до бесконечности.

Обе последовательности могут иметь любое число элементов от единицы до бесконечности, причем они не обязательно должны быть одинаковыми. Если число элементов последовательностей соответственно равно гзГ, и /згз, то число элементов свертки/', */з есть )т', + й/з — 1. Чж~~ значений, принимаемых переменной т' применительно к упорядоченным произведениям последовательностей, зависит от текущего выбо- П г ра т; это число изменяется от единицы до наименьшего з л/ Х .

из, и рограмма вычислений для процедуры обычной свертки приведена в приложении 1 под названием СОХЪ'. В циклической свертке обе последовательности определены на окружности периметра Х. Таким образом, можно считать, что переменная т пробегает по окружности, принимая только )ч' различ зна .И чении. Имеется ровно )1Г произведений, входящих в выражение для У (1) уа(г) 0 Г 6 р Г уз 0 г уу Рис. 5.!. последовательности 21(т), уу(т) и нк циклическая свертка у'(2).

каждого из Ж значений свертки. Циклическая свертка );„, (т) определяется выражением я — 1 )оу (т) 2~ гу (т шой )У) )2 ~(т т ) щи Ф) у' =-0 В этом выражении т' изменяется от 0 до )У вЂ” 1, однако результат свертки не изменится в предположении, что т' будет изменяться от 1 до И; необходимо только, чтобы были просуммированы все )У произведений. При представлении операции свертки многие принимают в качестве начального элемента последовательности данных первый, а не нулевой, и это не должно вызывать путаницу. В качестве примера циклической свертки рассмотрим рис.

5.1, где представлен случай, для которого )'1 (т) = (1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0), )'(т)=(1110 0000 0000 0000), г"(т) =(1233 3332 1000 0000). В данном примере мы могли бы восстановить обычную свертку, разрезав окружность между т = 15 и т = 0 и распрямив ее. Это обусловлено тем, что свертка !'(2) отлична от нуля только в интервале от т = 0 до т = 9. Однако если рассмотреть последовательность с большим числом ненулевых элементов !'1 (т) = (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 О), )2(т) = (1 1 1 1 1 1 1 О 0 0 О О 0 0 0 О), );, (т)=(1234 5666 6666 6543 21), );„, (т) = (3 3 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 5 4 3), то обычная свертка будет существовать на интервале от т = 0 до т = 18, тогда как циклическая свертка заполняет один полный цикл, соответствующий окружности периметра )У, причем имеет место наложение для т = 0 и т = 1.

Следовательно, циклическая свертка начинается не с цифр (1 2 3 4 ... ), как зто имеет месэ.о для обычной свертки, а с цифр (3 3 3 4 ... ), так как элементы <ухвоста» последовательности гиа(т), (... 2 1) перекрываются с начальными элементами (1 2 3 4 ...). Программа вычислений для циклической свертки дается в приложении 1 под названием ССОХУ. Обе программы СОХУ и ССОХУ реализуют процедуры, определяющие обычную и циклическую свертки, однако в ряде ситуаций целесообразнее использовать методы преобразования, рассматриваемые ниже в данной главе. Так, программа ГНТСОХУ реализует циклическую свертку двух последовательностей с числом элементов 2У с применением теоремы о свертке. Существует также метод, использующий умножение матриц„что оказывается удобным; скорость выполнения процедуры умножения матриц, реализуемой на ЭВМ, должна проверяться для каждой ЭВМ. Значительная часть последующего материала посвящена именно циклической свертке, и едва ли есть необходимость введения специального символа для этой операции.

Напомним, что в данной главе будет использоваться символ ®. Таким образом, )', (2) = ); (т)О» )2 (2). Дополнение нулями В ряде приложений циклическая свертка — это именно то, что требуется, но в других случаях целесообразно использовать обычную свертку. При этом очень просто перейти к большим значениям 2У путем дополнения последовательностей нулями. Обе последовательности дополняются нулями до получения одинакового числа элементов, которое будут иметь циклическая свертка и обычная.

Вопрос, касающийся размещения этих нулей, ие является очевидным. Дополнительные нули могут быть начальными и замыкающими элементами, могут группироваться с данными, однако зти нули не должны размещаться между соседними элементами последовательности данных. Если выполняется операция свертки последовательности, состоящей из У1 элементов, с последовательностью из )У!2 элементов, то число элементов в их обычной свертке равно )т'1 + !У вЂ” 1, как это имеет место для свертки (1 3 3 1) а(1 1) = (1 4 6 4 1), где !У1 = 4, )Уа = 2, а последовательность результирующей свертки состоит из 5 элементов.

Мы ничего не теряем при добавлении нулей к более короткой последовательности с тем, чтобы добиться равенства числа элементов каждой из последовательностей. Таким образом: (1 1 0 О) а (1 3 3 1) = (1 4 6 4 1 0 О). Однако если осуществляется циклическая свертка двух 4-элементных последовательностей, то в результате также получим последовательность из 4 элементов (1 1 0 О) ® (1 3 3 1) = (2 4 6 4). Предположим, что необходимо осуществить проверку программного обеспечения коммерческого характера путем доказательства справедливости того, что (1 1 1 1)» (1 1 1 1) =- (1 2 3 4 3 2 1).

При выполнении циклической свертки для !У = 4 имеем (1 1 1 1) Оа (1 1 1 1) = (4 4 4 4). Поэтому для получения выходной последовательности треугольной 49 е-им формы дополним заданные последовательности нулями и получим (1 1 1 1 0 0 0 О) ® (1 1 1 1 0 0 0 О) = (1 2 3 4 3 2 1 О). Это-удовлетворительный результат. Выходная последовательность имеет треугольную форму, и центр тяжести соответствующей фигуры, как и следовало о!кидать, смещен вправо к т = 3. Теперь пусть мы имеем симметричные последовательности и желаем убедиться, что (1 1 1 1 Ц *(1 1 1 1 Ц = (1 2 3 4 5 4 3 2 Ц, где жирные цифры указывают для нашего примера начало отсчета т.