Брейсуэлл Р. - Преобразование Хартли (теория и приложения) (1044117), страница 13
Текст из файла (страница 13)
5.4. О пределепие корреляционной д)упкции. Определить циклическую корреляционную функцию последовательностей а) ( — 3 — 2 — 10 1234), б) ( — 4 — 3 — 2 — 1 1 2 3 4). П росуммировать элементы полученных корреляционных последовательностей и объяснить результат. 5.5. Корреляционные последолательпости. Определить корреляционную функцию последовательностей а) (1 1 О О 1 О 1 О О О О О О О О 0), б) (О О О О О О О О 1 1 О О 1 О 1 0). Вычислить произведение !!00101 х 1О!001! н использовать полученный результат для вывода очень простого алгоритма опрелеления корреляционной функции.
Если алгоритм столь прост, то почему бы не существовать еще более оптимальному методу? . 5.. .6. Обращение корреляции. Исследуйте программу 1СОКК (приложение 1) с целью получения алгоритма обращения корреляционных последовательностей, определенных в предыдущих задачах. Получите послеловательность, корреляционная функция которой имеет вид (1,1 6 ! 5 20 15 6 1,1].
О Определение свертки. Выполнить свертку последовательности (1 1 ! 1 0 О 0 0) с последовательностями вида 63 а)(1100 0000),б)(1110 0000», в) (1 ! ! 1 1 О О О), г) (1 ! 1 1 1 1 ! 1). 5.8. Определение свертки. Выполнить свертку последовательности (1 (1/2) (1/4) (1/8) (1/16) (1/32) (1/64) (1/128)) с последовательностями: а)(1 — 100 0000),б)(2 — 100 000-1). 5ть свертка с нечетной функцией.
Должна быть выполнена свертка последовательности данных с нечетной последовательностью, т. е. функцией, для которой/'(Р/ — т) = — /(т). После определения ДПХ требуются только 1Ч произведений. Показать, что изменение знаков преобразования последовательности данных на обратные перед умножением н переходом в область обратного преобразования приводит к желаемому результату.
5.10. Унхотнсние. Последовательность данных, состоящая вв 1024 элементов, должна быть уплотнена до 256 элементов ценой потери тонкой структуры исходной последовательности. Показать, что это может быть осуществлено путем определения ДПХ лдя /в' = 1024 в последующего вычисления ДПХ первой четверти элементов преобразования длв Р/ = 256. 5.11.
Снохьвнияе среднее. а).Вычислить скользящее среднее пяти последовательных элементов бнномиальной последовательности (О 0 0 0 1 4 б 4 1 000). б) Какова дисперсия полученной последовательности? 5.12. Цинхичеснич фунниия вщс х (=- яц х/х). Показать, что иле х + вщс (х — 18) -1- + бпс (х — 2гв') +... Е ппс (х + с/) + в!пс (х + 2)Ч) + пцс (х + З)в')... = = )Ч ' ац (1в'их)/в!п(их). Глава 6 Двумерыые преобразования Одно изображение стоит тысячи слов. вгвснсратор Сун Изображения на поверхности всегда были важны и приобретают еще большее значение в связи с разработкой техническнх средств их формирования, видоизменения и отображения. Цифровая телеметрня изображений планет с космических аппаратов и методы цифровой обработки этих изображений оказались возможны благодаря значительному прогрессу в космических исследованиях и в создании аналоговых оптических систем съемки и отображения.
Аналоговая ' оптическая обработка изображений — это реальность сегодняшнего . дня, а цифровая оптическая обработка двумерных цифровых данных представляет собой перспективную область исследования. Во всех этих областях традиционным является применение методов спектрального анализа; следовательно, соответствующие области при' ложения нмеются и для преобразования Хартли. Как оказывается, двумерное преобразование Хартлн обладает интересным свойством фундаментального характера.
Мы уже при: выкли к той мысли, что преобразование Хартли является вещественным в одномерном случае, а это справедливо и для двумерного случая. В силу того что преобразование Фурье является комплексным, для его определения достаточно половины плоскости пре' образования. Остальная часть этой плоскости принадлежит сопряженным значениям, которые не содержат дополнительной информации, так как диаметрально противоположные точки характеризуются , сопряженными коэффициентами. В плоскости преобразования Хартли, напротив, отсутствуют подобные симметрия и избыточность; швформация распределяется по всей области с меньшей в два раза внтенснвностью.
Это отличие применительно к разным вариантам ' реализации алгоритмов в различных приложениях помогает сделать выбор в пользу одного из этих преобразований. Обратимся теперь к , определению двумерного преобразования Хартли, а именно его непрерывного и дискретного вариантов. Двумерное преобразование Хартлн Исходя из функции/'(х, у), определим двумерное прямое преобразование Хартли Н(и, е) и обратное преобразование Хартлн: 65 в-ггм О О Н(и, о) = ) ) 7"(х, у) саз!"2я(их+ оуЦ с(хс(у, )'(х, у) = 1 [ Н(и, о)сазг2л(их+ оуЦЫидо.
Из представления преобразования Фурье вида г (и, о) = Я (и, о) + + Н(и, о) следует, что Н(и. о) = Я(и, о) — 1(и, о), в чем можно убедиться, обратившись для сравнения к соотношениям преобразования Фурье, приведенным ниже: О Э Г(и, о) = ) ) ('(х, у)ехр[ — 12я(их+ оуЦ«дхс(у, )'(х, у) = )' [' Г(и, о)ехрг!2я(их+ оуЦИисбо. Н(и, о). Пусть |(х, у) равна преобразованию Хартли (ПХ) функции Н(и, о), которое в свою очередь равно разности ПХ Я (и, о) и 1(и, о): 1(х, у) = ПХ от Н(и, о) = ПХ от Я (и, о) — ПХ от 1(и, о). Теперь имеем: ПХ от 1с(и, о) = ПФ от Я(и, о) ='(м (х, у), так как А(и, о) симметрична.
По аналогии получаем: ПХ от 1(и, о) = — (х, у). Таким образом, 1(х, у) = /м (х, у) — 1 — 1«ми„(х, уЦ = 1(х, у), что и требовалось доказать. Примеры Определение двумерных преобразований Хартли не представляет особых трудностей, и в качестве типовых вариантов мы приведем несколько примеров. В табл. 6.! Н (х) является единичной ступенча- Тоб«ииа 6.1 Некоторые вары двумерных врсобразовааай Хартлв Справедливость обратного преобразования можно установить путем выполнения преобразования Хартли для функции Н(и, о) и доказательства того, что результатом этого преобразования является исходная функция 7(х, у). Доказательство зависит от свойств симметрии. Симметрии и аитисимметрия Заданная функция ('(х, у) может быть представлена в виде суммы симметричной и антисимметричной компонент; 7(х, у) =Ум (х, у) + (,ыи„(х, у), где (х, у) = '/з Ц (х, у) + 1( — х, — уЦ, (х, у) = / ~) (х, у) — 1 ( — х, — уЦ.
Данное разложение на компоненты является двумерным обобщением процедуры разложения функпии одной переменной на четную и нечетную компоненты. Вещественная часть одномерного преобразования Фурье является четной функцией, а мнимая — нечетной, в то время как вещественная часть двумерного преобразования Фурье представляет собой симметричную функцию, а мнимая — антисимметричную функцию. Из сказанного следует, что вещественное двумерное преобразование Хартли, выражаемое как Я(и, о) — 1(и, о), в полной мере представляется как совокупность симметричной и анти- симметричной компонент.
Для получения приведенного выше обратного преобразования определим двумерное преобразование Хартли от преобразования 66 У(а у) 66(и, е) с"*!" +' ! Ом[2ю(аи+ Ье)[ з!по и з!ос е сзз[ю(и + е)[ сзз[2ю(аи+ Ье)[ саз 2«аи 6(е) ем [2«а(и соз 9+е зоз 9)[б(е мп 9-и соа 9) (1+ 2юи)(1+ 41«з«Р) зб(е) 1+2 исозд+из!пд 1+ 4ю (и со«9+ из!п д) — ~16(и + 1!)6(е) + 16(и — 1)6(е) згб(и+ ~1)б(е) + зб(и+ з)б(е) 1(юс«Р) ' смею[«пас и - со«за[кпсс 1смзи [з!пс(и+1)+з!пс(и-Дз!псе ! без«2«аи («Р+ ее) 'Л!(юь|июГ+ «Г) -«!!«-«!«+!« — 1]*! и( -1)п(у-11) б(ю — а)б(у — Ь) б(а — а) б(а соз 9 + у зга д — а) с" *Н(а) с ! "'з+"а" з!Н(асозд+ уз!од) япза соз юе (а — ас) П(а — 1) П( у) з!и юз П(* — з) П(у) щ«О ~7~~ той функцией Хевисайда, а П (х) представляет собой прямоугольную функцию вида Н (х + '7',) — Н (х — '/,).
67 Теоремы дли двумерных преобразований В табл. 6.2 дается обобщение хорошо известных теорем на двумерный случай как для преобразования Фурье, так и для преобразования Хартли, откуда легко заметить их сходство и различие. В табл. 6.3 приведены теоремы, устанавливающие соотношения между свойствами преобразований в двух областях. Таблица б.2 Теорема Нх, у) у(и, О) нбе О) 1аЫТ(аи+ Ье) г"1(и, е) + + ~2(»' е) ехр [ — Нх (аи + + Ье) у(и. О) э (х/а, у/Ь) /1 (х, у) О/г (х, у) Подобие Слолсение /(х — а, у — Ь) Сдвиг ('/2) у (и — ие Š— ЕО) + + ( /2) ~ (и + ие " + "О) Нгг(и, «)" 2(», е) /(х, у) х х сог 2х(иех+ + ООУ) Модуляция /'1 (х, У) ОО/' (х, У) Свертка дх, у)*яу(х, у) Н(р(и, ч)!г Корреляция гг(и)у2(") Произведение /г (х)/г (у) при разделении переменных г" (и', е') /(х( у') Вращение Двумерная фильтрация Табшца бд Теоремы длв еоетвешеввн мелсгу преобразованиями в разных еблаетлх вх предетавленвн Соотношение ллл Соогвешевие длл иреобрегееавил лреебреголевил Фурье картли Теорема = Н(0,0) = У(0,0) Интегрирование в бесконечных пределах Теорема Рэлел Первый момент Второй момент Л,-! Л -1 2 =и'/[ ' +Н2( Д = (1/2х)(дН/ди) ~о О = ))гг" О(и, е) йийг = [1/( — 12х)1(дг/диВОО П/ ~ахг(у )) х/г/хг/у ) ) х'/1гхг/у = [1/(2к)21 х х (дгН/диг) ! О.е = [1/( — 12х)23 х х (дгг/диг)1О.О 69 Теоремы длв двумерных преебразоввннй Фурье и Хартии 1аЫН(аи+ Ье) Н,(и, е) + -1- Нг(и, е) сог 2к(аи о о Ье)Н(и, е) + + гга 2к(ли+ + Ье)Н( — и, — е) ( /2)Н(и ие Š— ЕО) + '1" ( /2)НО1+ О Е+ "О) ( /г)Н[Н1Н2— — Н,( —,— )Н ( —,— )+ + Н,Н2( —,— ) + + Н,'(-',-) НД Н [Н(и, е)3'+ + Н[Н( —, — )12 ( /г) [Нг Нг + +Нг( — )Нго + Н1Нг( — )— Н ( )Нг( )Л Н(г/, е') Круговая симметрия Если /"(х, у) обладает свойством круговой симметрии и может быть представлена, скажем, функцией Т(г), то ее двумерное преобразование Хартли совпадает с двумерным преобразованием Фурье, так как в последнем для данного случая отсутствует мнимая часть.
Следовательно, двумерное преобразование Хартли сводится к одномерному преобразованию Ганкеля эе'(д) функции г" (г): 'О Э О /(х, у) саз[2к(их+ ру)1 г/хну = 1 1(г)3е(2кдг) 2кг1/г = М'(9). е В данной формулировке г представляет собой радиальную переменную в плоскости х, у, а ц = (и + е')'" — радиальную переменную в плоскости и, е.
Одномерное преобразование Хартли функции э(л(ц) равно преобразованию Абеля,л~ (х) функции 1(г), где по определению л/ (х) = 2 ) (г' — х') "' Т(г) гаге. Таким образом, О Э(л (ц) саз 2к хд 129 = лг (х) и обратно. В связи со свойством круговой симметрии отсутствуют какие- либо особенности, отличающие преобразования Хартли и Фурье друг от друга. Следовательно, любые операции, выполняемые обычно над функциями с круговой симметрией с помощью преобразований Фурье, наряду с этим могут осуществляться с использованием преобразований Хартли, что дает один и тот же результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
