Брейсуэлл Р. - Преобразование Хартли (теория и приложения) (1044117), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Обработка двумерных цифровых изображений также оказывается выигрышной при осуществлении вещественного преобразования. Изображение /'(21, гг), представляемое в виде матрицы размера Нг х Ыг, обладает двумерным дискретным преобразованием Хартли (2ДПХ), также имеющим вид вещественной матрицы Н(ч, ч ) размера Нг х Нг. Прямое и обратное преобразования при этом соответственно равны: Н(чг чг) =(1/Н1Нг) 2, 11 г(21, тг) саз[(2яч,г,/Н )+ + (2кчг гг/Н2Ц, Л вЂ” 1 Л вЂ” 1 1 2 /(21 г) — 2 2„Н(ч,, чг) саз[(2ячгтг//г/1) +(2кч г /Н )~ ч, =о и,'=о Д умерная пространственная частота (с„кг) описывает имеющу наклон функцию саа, в которой к,/Жг — число циклов, приходящихся на ~ли~ну т, направлении восток †зап, и ч ~Ха †чнс циклов на единицу т, в направлении север-юг. Свойства двумерного дискретного преобразования, включая теорему о свертке, являющуюся основой цифровой фильтрации изображений, вытекают из таблиц, приведенных в следующей главе. Большей частью соотношения между двумерными непрерывным и дискретным преобразованиями аналогичны соответствующим соотношениям для одномерного случая.
Однако интерпретация цикличности, введенной в данной главе, заслуживает особого упоминания. В одномерном случае переменная т изменяется в пределах от 0 до Х вЂ” 1, а область значений т может быть изображена в виде прямолинейной решетки, состоящей из )з! равноотстоящих точек. Однако эту область можно также представить в виде кольца из У точек; преимуществом такого представления является то, что при этом приобретают смысл значения т, меньшие нуля и большие Х вЂ” 1.
Тогда значения, присваиваемые функции какого-либо целочисленного аргумента т, определяются выражением 7'(т) = 7'(т то с( )ч'). Для двумерного случая можно принять ту же схему рассуждении и записать 7'(тг, с,) =7'(тгтос(7з!г, тгтос)ч!г). Таким образом, для гз!г = 32 и Жг = 16 точка с координатами (т,, тг) =( ,) = (34, — 5) на плоскости не принадлежит прямоугольной области, содержащей Хг Хг точек, упорядоченно распределенных по Жг столб- цам и 7з! строкам. Однако некоторое значение все же можно присвоить функции Д34, — 5). Замечая, что 34 тос) 32 =, а — 5тод16 = 11, присвоим этой функции значение 7'(2, 1!). Данный нюанс касается только техники численных расчетов, выполнение которых возложено на ЭВМ, однако с целью анализа получаемых при этом результатов целесообразно помнить о пространственной тогии, соответствующей изображению кольца на плоскости.
Тра- пологии, ь п ямо голь- диционный рецепт заключается в следующем: свернуть прямоу ную область в цилиндр так, чтобы, скажем, ее верхняя и нижняя строки совместились друг с другом, а затем согнуть цилиндр до получения тороццальной поверхности путем совмещения его левой и правой кольцеобразных кромок. Так, на рис. 6.1 цилиндрическая В Е поверхность получена касанием пар точек А и Е, В и Е, а в результате огибания цилиндра и контакта кольцеобразных краев АСЕ и Р получен тор.
Процедуру сгибания цилиндра в тор наиболее сложно изобразить, а исходные квадратные ячейки, полученные из точек прямоугольной области, пе могут оставаться при этом равносторон- ними. В тороидальной шахматной игре игроков не беспокоит, что их 70 Ряс б 1 Пространство торовдальнык шахмат в виде пространства (г пюд М, с пюд1ч' ). Точка в кружке (34, — 5) в случае матрацы размера 32 к 16 соответствует точке (2, 1!). шахматная «доска» имеет форму тора; они зияют, что белый слон (рис. 6.1) может перемещаться по диагонали, обозначенной короткой стрелкой, а при достижении правого края «доски» может продолжать движение так, как это показано более длинной стрелкой. Это довольно рискованная игра.
Белая ладья угрожает черной ладье, а конь всегда имеет в своем распоряжении восемь возможных ходов независимо от его положения на шахматной «доске»; таким образом, белый конь, возможные ходы которого обозначены точками, может быть угрозой черной ладье. Это наилучший способ, с помощью которого можно себе представить пространство т, и тг; это как бы биологическая клетка, размеры которой ограничены координатами (О, 0), (7, 7), воспронзводящаяся до бесконечности в обоих направлениях. ЦИКЛИЧНОСТЬ ДЛИ ДНУМЕРНОГО Случия Обобпгепие дискретного преобразования на двумерный случай не приводит к каким-либо неожиданностям, за исключением, возможно, свойств цикличности. По аналогии с одномерным вариантом мы приняли, что 7" (т + Х) =7'(т), и для двумерного случая имеем !(тг + Х, тг + 15!) =Х(тг, тг).
Это не приводит к каким-либо трудностям математического характера, а топология может быть ясно представлена, если обратиться к тороидальной поверхности, являющейся обобщением кольца, используемого в одномерном варианте. Однако имеется возможный источник путаницы, связанный со схемой индексации, что может оказаться настоящей западней для начинаюгцих. Предположим, что должно быть осуществлено сглаживание цифрового изображения путем свертки со следующей матрицей коэффициентов: 7! 1 4 б 4 1 4 16 24 16 4 б 24 Зб 24 6 4 16 24 1б 4 1 4 б 4 1 ! 256 36 16 Ь 25 !4 7 Ю Ь 1О 30 Ь 20 1 б 6 4 1 1 3 36 24 6 24 16 4 б 24 4 16 1 4 20 1Ь 2 4 !б Трехмерный случай 1 256 6 4 1 24 !6 4 1 4 4 16 П -1 П -1 П 1 з 1 5 10 б 1 7 14 25 20 5 5 16 36 ЗО 10 2 15 20 16 4 1 4 б 3 1 Задачи 72 73 Коэффициент 1/256 гарантирует отсутствие усиления компонент, имеющих низкие пространственные частоты.
Понятно, что центральный элемент, равный 36, размещается в выбранном элементе изображения, так что коэффициенты умножаются на соответствующие элементы исходной последовательности, а затем производится суммирование полученных произведений и запись результата в выбранный элемент изображения. При переходе к представлению этой простой процедуры с помощью двумерной свертки с цифровой последовательностью центральный элемент будет иметь индексы (1, 1). Следовательно, матрица размера Х х Х, представляющая сглаживающую функцию, имеет вид (незаполненное пространство соответствует наличию одних толъко нулей): Данная структура кажется до такой степени несимметричной и странной людям„которые интуитивно чувствуют необходимость наличия сцентрированной матрицы, по их разум протестует. Тем не менее другой способ реализации процедуры означал бы сдвиг исходного цифрового изображения.
Другое соображение практического характера, которое может быть тесно связано с цикличностью, возникает в случае, когда сглаживающая матрица не обладает свойством симметрии. Например, предположим, по какая-то система регистрации изображений обладает астигматизмом, вследствие чего точечный объект приводит к формированию асимметричного отклика пентр тяжести которого, как очевидно, смещен вправо и вверх. С матрицей какого вида должна быть осуществлена свертка изображения протяженного объекта, чтобы получить изображение, для которого обнаруживается эффект астигматнзма? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала выполним поворот заданной матрицы на !80', что необходимо для учета двух знаков «мннус», фигурирующих в определении свертки для двумерного преобразования. Затем, как и выше, поместим центральный элемент, значение которого равно 36, на позицию с координатами (нндексамн матрицы)(1, 1).
Таким образом, матрица, которая должна использоваться в формуле свертки, имеет вид грормулы преобразований непосредственно обобщаются на случай трех (н более) измерений; они применяются в кристаллографии, физике плазмы, газодинамике н многих других областях. Соотношения для трехмерного случая приведены ниже просто в качестве справочного материала без их последующего анализа: Н(чг, чг чз) = (1/Х1ХгХз) Х Х Е /(тг тг тз) х 7,=07,=07,=0 х саз((2пчгт,/Х,) + (2п ч т /Хг) + (2пчзтз/Хз)З, — "з г (71 ть тз) Х г' г Н(чг чг, чз) х ч,=Очг=Оч, =0 х саз ((2п ч, т,/Х,) + (2п чг тг/Хг) + (2п чз тз/Хз)3 6.1. Числовые примеры. Получить дискретные двумерные преобразования Хяртлн нижеприведенных малоформатных цифровых изображений.
Взять в качестве исходного, как это обычно прап»то, элемент с координатами (т„гг) = (О, О), располоясенный в левом верхнем углу матрицы: 1 1 1 1 1 1 ! ! ! 1 1 1 ! ! 1 ! 2 1 0 2 4 2 О ! 2 ! 0 0 0 О 0 ! 3 3 ! 3 б б 3 3 Ь б 3 1 3 3 ! И!!!1 0 О 0 0 О 1 ! 0 0 1 ! 0 0 0 0 0 1 0 О ! 0 1 1 0 1 2 3 4 6 б 7 8 9 !О 11 12 13 !4 !Ь 1б 0 1 1 О 1 0 0 ! 1 1 0 ! ! 0 0 0 0 О 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 О ! 0 1 0 0 О 0 0 1 0 ! 1 ! 0 1 1 ! 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 2 1 О 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 вила 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ! 0 0 0 0 ОООО 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 74 75 6.2.
Изображение точечного обьекта. Преобразование цифрового изображения объекта подвергается умножению на приведенные ниже матрицы, являющиеся двумерными фильтрами нижних частот. Каким становится изображение в каждом из этих случаев для точечного объекта? 6.3. Теорема о сдвиге. Доказать теорему о сдвиге для двумерного случая. 6.4. Произведение нри разделении иеремеяных. Доказать теорему о произведении при разделении переменных. 6.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
