Брейсуэлл Р. - Преобразование Хартли (теория и приложения), страница 3

Хартли (1890 — 1970) подчеркнул строго взаимное соответствие пары интегральных формул, которые он ввел. В следующем разделе мы будем использовать обозначения автора и убедимся в полной симметрии этих формул. Однако со временем среди радиоинженеров установилась общепринятая теперь термннология, вследствие чего нсходньзе определения Хартди приобрели несколько архаичную форму.

Поэтому после точной записи соотношений в их исторически исходном виде мы перейдем к форме записи, согласующейся с практикой последних лет, и это преобразование в его современной форме будет определено как преобразование Харпзли. Исходная формулировка Начнем рассмотрение с сигнала Р(1), который является функцией времени и может представлять собой напряжение, формируемое в оконечных устройствах телефонной линии связи. Это колебание имеет частотный спектр, который может быть определен с помощью преобразования Фурье. Существует несколько научных школ, отличающихся разным представлением преобразования Фурье, и одна из этих школ, подходы которой будут проанализированы ниже, несмотря на ее почтенный возраст, представляет надежный базис для рассмотрения изначальной формы преобразования Хартли.

Этот вариант преобразования Фурье 8(а) определяется выражением 8(а) = (1,'~~2я) ) $'(1) ехр [ — (а11п11, Ф где 5(а) является комплексной функцией угловой частоты а, которая принимает только вещественные значения. Таким образом, для любого колебания Р(1) может быть определено преобразование Фурье Я(а) (или комплексный спектр), однозначно соответствующее этому колебанию. существует, и множество математических исследований было посвящено решению очень сложных задач, которые могут при этом возникать. Существует два класса задач, к которым применимы эти рассуждения. Один из них включает функцни, которые не могут описывать явления реального мира и которые, кроме того, имеют незначительный (если вообще имеют) физический интерес; другой класс включает дельта-функции и их производные, играющие важную роль цри анализе физических явлений, лаже если эти функции имеют сложное математическое описание.» Тем не менее дез)ьта-функции в ситуациях, где они возникают, являются одним из основных инструментов физического анализа.

В данной работе мы не будем рассматривать первый класс задач, в которых функции обладают бесконечным числом неустранимых разрывов. Мы осознаем, что дельта-функции не являются функциями в обычном понимании, но принимаем термин «обобщенные функции» [М.а, 1.1д)зз)зЫ Ап 1и1гобпсбоп 1о Роппег Апа!уз(з апб Оепега1ьтеб Рппс1(опз, СатЬпт)бе ь)шч. Ргезз, 1958 (Лайтхилл М. Д. Введение в анализ Фурье и обобщенные функцииЦ при анализе 8(1) и 8'(1), представляющих собой единичный импульс и его производную.

Нулевые функции. Вопрос ставится следующим образом: может ли быть восстановлено исходное колебание Р(1) по заданной функции 5(а)? Ответ на этот вопрос звучит так: в основном может. Один из путей преодоления неопределенности этого заключения состоит в предварительном ограничении класса функций теми из них, для которых ответ однозначно утвердителен. Однако следует иметь в виду возможность такой неопределенности, что оказывается полезным для понимания вопросов, связанных с разрывными функциями, анализ которых часто приводит к дополнительным сложностям. Эти аспекты будут рассмотрены ниже. На данном этапе достаточно объяснить понятие нулевой функции.

Сама по себе следующая мысль может показаться несколько нелепой, но ее следует нметь в виду: нулевая функция есть функция, интеграл от которой равен нулю независимо от выбора пределов интегрирования. Естественно, что функция, в явном виде равная нулю, является нулевой функцией. Другим видом нулевой функции является функция ба(1), которая по определению равна единице при 1 = 0 и нулю при всех других значениях к Еще одной функцией этого типа является функция 2„або(з — г,.), также представляющая практический интерес. Нулевые функции не зависят от чередования их положительных и отрицательных значений, что не определяет их нулевое значение; интеграл в бесконечных пределах от модуля пулевой функ- Ю ции равен нулю, т. е. если Ж(г)-нулевая функция, то ) ) зч (1)1ззз = О.

Дельта-функции. Здесь следует сделать небольшое отступление. Можно найти функции, для которых вышеприведенный интеграл не 14 и См. книгу: У.М. Сиберт. Цепи, сигналы, системы.— Мл «Мир», 1988, ч. 2. с. 1О.— Прим. ред. 15 Несмотря на то что нулевые функции представляются математически корректно даже в случае разрывных функций, они не играют значительной роли в физике.

При наличии на входе механической системы воздействия Н(с) на ее выходе будет отсутствовать какая- либо реакция. Ясно, что сумма $'(2) + Н(С) имеет такое же преобразование Фурье 5(в), что н 12(с). Поэтому, когда осуществляется попытка обращения процесса, т. е его восстановления по заданной функции 5(в), в общем случае оказывается невозможным восстановление полной структуры колебания И(с), за исключением случая отсутствия нулевых функций. В отсутствие нулевых функций колебание (г(с) может быть восстановлено по заданной функции 5(в) с помощью обратного нреобразования Фурье О 12(с) =(11 22л) 1 о(со)ехр[кос)йо. Интегралы от функции саз.

Хартли ввел пару формул О чс (в) = (1с 22л) [ 12(с) саа вссИ, Ю 12(с) =(1с '2к) ) 212(в)саавсйо. В этих соотношениях для функции сао мы будем следовать определению автора, данному им в его оригинальной статье и в соответствии с которым эта функция представляет собой сумму косинуса и синуса одного и того же аргумента саа с = — соз с ч- з(п с.

Таким образом, отсутствуют существенные отличия пары введенных. интегралов от обычных интегральных формул преобразования Фурье, однако на практике эти различия значительны. Во-первых, функция су(в) вещественна в отличие от функцни о(в), Во-вторых, обратное преобразование для его реализации требует точно такой хсе процедуры интегрирования, как и прямое преобразование. Наконец, су (в) не является обычным преобразованием Фурье, и мы должны быть готовы к нетрадиционным характеру и свойствам этого преобразования.

Значительная часть умозрительных построений относительно преобразования Фурье, а именно спектра колебания, являющегося функцией времени, непосредственно неприменима к с(с(в), и значительная часть последующего материала посвящена выработке навыков, необходимых для уяснения различий и сходства весцественного н традиционного преобразований. Преобразование Хартли В определение Хартли для преобразования су(со) в явном виде был включен коэффициент 1сг72л для получения симметричного выражения.

Если опустить этот коэффициент, то оба интеграла одновременно не могут быть корректными. Однако следует признать нецелесообразным сохранение пары таких специфических коэффициентов, особенно при выполнении численных расчетов. Многие авторы отреагировали на подобную ситуацию применительно к преобразованию Фурье рассмотрением функции ~сс2л5(в) вместо о(в). В результате коэффициент 12 '2л исчезает в определении прямого преобразования Фурье, однако в формуле обратного преобразования Фурье появляется коэффициент 1с2л.

Таким образом, зти авторы намеренно жертвуют симметрией формул. Справедливо замечание, что это дополнительная нагрузка для лами~и, так как приходится запоминать, какая из формул содержит величину 2к. Один способ запоминания состоит в том, что коэффициент 122л стоит перед интегралом, в котором фигурирует дифференшсал йо, что означает наличие величины вида в/2л, т.е. циклической частоты 7". Отсюда естественно возникает вопрос: почему непосредственно не иметь дело с частотой? Именно к этому выводу в течение многих лет склонялось мнение разных исследователей.

Приверженцев использования коэффициента 12 гс2л в настоящее время практически уже нет, тогда как имеется достаточное количество сторонников правомерности записи йо,с2л; но общепринятой практикой является применение множителя 2л под знаком экспоненты в интегралах для прямого и обратного преобразований. Данная процедура реализуется автоматически при использовании частоты 7 вместо угловой частоты в. При этом имеем Н(1) = ) Цс) саа 2л)сй, Цс) = [ Н()) сах 2лусс17. Далее Н(() будет рассматриваться как преобразование Хартли функции 12(с), которая в свою очередь является обратным преобразованием Хартли функции Н(7'). Есп:огненно, прямое и обратное преобразования неразличимы. Определенное здесь преобразование Хартли несколько отлично от исходного преобразования Хартли 212(в).

Однако, кроме как для исторической справки, вряд ли возникнет необходимость упоминать 212(в) и вряд лн целесообразно именовать с12(в) преобразованием Хартли. Видимо, такие терминологические различия-это все, что необходимо. Вводя новые обозначения, мы добиваемся согласования с общеупотребнмыми терминами, используемыми в преобразовании Фурье, что далее будет распространено и на дискретные преобразования. 17 16 2- П36 Для сравнения приведем соотношения для преобразоваввй Фурье, записанных с помощью вышеупомянутых обозначений: О РЯ = ) )'(1) ехр[ — ~2к()зс(1, ) (1) = ) ЕЯ ехр [с2яЯ 4'. Четнав и яечетная составляющие Взаимосвязь преобразований Фурье и Хартли базируется на анализе свойства симметрии.

Для пояснения этого представим НЯ в виде четной и нечетной компонент ЕЯ и ОЯ соответственно. Четная компонента определяется как полусумма функции НЯ и ее зеркального изображения, т.е. функции Н( — Г). Нечетная компонента определяется как полуразность этих функций и обладает свойством антисимметрии, а именно 0( — Г) = — 0(Г').

Любая функция может быть представлена однозначно в виде суммы четной и нечетной компонент, и, обратно, при заданных четной и нечетной компонентах однозначно может быть восстановлена исходная функция. Одним из внтересных свойств четной и нечетной компонент является равенство суммы их энергий энергии самого процесса.

Для установления связи преобразования НЯ с преобразованием Фурье РЯ функции И(г) примем следующее определение. Пусть НЯ = ЕЯ + 0 Я, где ЕЯ и 0 Я вЂ” соответственно четная и нечетная составляющие функции НЯ. Тогда ЕЯ = [НЯ+ Н( — ))')(2 = ) Р(г)соз2п~ЯЙ, ОЯ = [НЯ вЂ” Н( — Г)1/2 = ) И(г) з!и 2к[1с(г. Эти два интеграла известны под названиями соответственно косинус- и синус-преобразование Фурье, которые в табулированном виде приводятся в литературе [А. Енй!уй ТаЫез оГ 1пьеяга! Тгапв(опав, Уо1. 1, Мсйгаяс-Н!11, 1954.

(Имеется перевод: Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований.— Мл Наука, т. 1, 1969.Ц Формулы связи При заданной функции НЯ для получения преобразования Фурье РЯ можно сформировать сумму ЕЯ вЂ” 10 Я: Е(Г) — !0(Г) = 1 )с(1)(сов 2кД вЂ” с в!и 2к())с(г = Ю = 1' )'(1) р[ — 2ФЗс(1. 18 Таким образом, из Н(Г) легко получить преобразование Фурье колебания Гс(1) путем формирования зеркального изображения вида Н( — Г) и операций суммирования функций.