Брейсуэлл Р. - Преобразование Хартли (теория и приложения), страница 7

е. временной интервал между последовательными элементами временного ряда/'(1) равен 1 с, то частота равна ч/М «Гц), а не и, следовательно, частотный интервал между соседними элементами последовательности Н(ч) равен М ' «Гц|. По мере увеличения ч возрастает соответствующая частота, но только до значения ч = М/2;при дальнейшем росте величины ч соответствующая ей частота становится равной (М вЂ” ч)/М, обращаясь в 'нуль при ч = М. Четная и нечетная составляющие Как и в случае непрерывного преобразования, ДПХ имеет четную и нечетную компоненты Н(ч) = Е (ч) + О (ч), однако должны быть высказаны некоторые соображения в отношении определений в силу принятого ограничения диапазона изменения ч от 0 до М вЂ” 1.

Общепринятый способ учета этого ограничения заключается в присвоении функции вне области ее определения таких значений, чтобы сформировать циклическую (периодическую) функцию с периодом М. Таким образом, для ч = — 1 мы присваиваем функции значение Н(М вЂ” 1), так как ч = — 1 и ч = М вЂ” 1 разделены периодом длины М.

В общем случае будем присваивать функции Н( — ч), где — М < ч < — 1, значения Н(М вЂ” ч), для которых независимая переменная заключена в основном диапазоне изменения ч. С помощью данной процедуры мы приходим к более простому соотношению между ч и частотой: можно сказать, что ч/М представ- лает собой не что иное, как частоту в герцах в диапазоне — М/2 < <ч <М/2. Получим также соотношения для четной и нечетной составляющих, согласующиеся с равенствами, приведенными выше. Таким образом, имеем Е(ч) = 1Н(ч) + Н(М вЂ” чЦ/2, О(ч) = ~Н(ч) — Н(М вЂ” ч)~/2.

Иэ определения Р(ч) для ДПФ очевидно, что Р(ч) может быть получено с использованием четной и нечетной составляющих ДПХ Г (ч) = Е (ч) — 10 (ч). С другой стороны, если мы располагаем преобразованием Р(ч), то можно сформировать Н(ч): Н (ч) = КеГ (ч) — 1шЕ (ч).

Эти выражения имеют сходство с соотношениями, полученными выше для непрерывного преобразования. 10 0 10 Рис. 4,!. Представление усеченной экспоненты, использованной выше лля иллюстрации непрерывного преобразования, в виде 16 отсчетных значений (слева) в соответствующее ДПХ (справа). 20 0 15 0 10 Рис. 4.2. Остаточные эаачевяя, представляющие гладкий бквомаальвый импульс (слева) и соответствующее ДПХ (справа).

Расхождения, которые в данном примере незначительны, частично обусловлены усечением экспоненциальной функции, а также доопределением функции, что имеет место и для ДПФ. таблица 4.! Бввомваяьвая воевеловательаость в ее /(э) н!ч] 37 Примеры дискретных преобразований Хартли Ниже приводится ряд примеров, иллюстрирующих свойства ДПХ. Сначала будут рассмотрены аналитические выражения, а затем проанализирован ряд последовательностей, заданных в численной форме. Эксааненциальна-убывающая функция. Для сравнения с примером, приведенным в гл. 2 для непрерывной функцви, рассмотрим функцщо 05, т=О, /(т) = ехр1 — т/23, т = 1, 2, ..., 15, которая представляет рассмотренную выше непрерывную функцию с помощью М = 16 равноотстоящих отсчетов. Функции /'(т) при аргументе т = О, соответствующем разрыву колебания К(1), присваивается значение 1к'(О+) + )ЧΠ— )3/2 = 0„5.

Соответствующее преобразование Н(ч), показанное на рис. 4.1, имеет явное сходство с отсчетами непрерывной функции, взятыми через интервалы Лш/2к = 1/16. 36 0 1 2 3 4 5 б 7 8 9 1О 11 12 13 14 15 20 !5 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 15 4 3,56 2,49 1,32 0,5 0,12 0,01 0 0 0 0,01 0,12 0,5 1,32 2,49 3,56 Табаииа 4.2 ДПХ двух егребвруиюгах фувиава /г(т) 27НТг /г(т) 13НТк т, г относительно т = 0 н имеющее циклическое представление. Следова- тельно, в преобразовании Н, (9) отсутствуют быстрые колебания, а само преобразование напоминает функцию вида зшх/х, соответст- вующую центрированному прямоугольному импульсу.

Степени свободы Нами были установлены взаимно однозначные соотношения между дискретными преобразованиями Фурье и Хартлн. При этом возникает вопрос из области теории информации. Как объяснить тот факт, что Н вещественных значений ДПХ можно использовать вместо Ж комплексных значений ДПФ, которые содержат 2% вещественных чисел? Это можно понять, вспомнив о том, что эрмнтово свойство ДПФ означает двойную избьпочностьй таким образом, ДПФ имеет только М степеней свободы„несмотря на то что имеется 2М вещественных коэффициентов. Так как для ДПХ вследствие его симметрии не характерно свойство вырожденности, Н его вещественных коэффидиентов эквивалентны М комплексным коэффициентам ДПФ. Другие вещественные ядра Функция савВ может рассматриваться как синусное колебание со сдвигом 45', автоматически соответствующее косинусной и синусной компонентам.

Если в качестве ядра преобразования использовать функцию 2"г зш(В + а), где а-произвольный сдвиг, то весовые множители косинусной и синусной компонент будут неодинаковы, однако при этом будут отсутствовать информационные потери, за исключением случаев, когда а = О, я/2,.... 38 39 Рвс. 4.3. Н,(ч) стробирующей функции. в гб О Р И Рвс. 4.4.

Н,ОО стробврующей фующил, симметричной относительно г = О. Биномиааьный импульс. В качестве более наглядного примера рассмотрим биномиальную последовательность (1, б, 15, 20, 15, б, 1), представляющую собой отсчеты гладкого импульса. Дця получения наиболее простого результата будем считать, что значение функции /'(г) максимально при т = О. Таким образом, /(г) = 61/(3 — г)! (т + 3)! и (см.

табл, 4.1 и рис. 4.2) представляет сглаженный импульс, максимум которого имеет место при ч = О. Для численной проверки полезно знать, что сумма значений ДПХ вида 2.Н(9) равна /(О). И обратно, сумма значений ,'г ~(т) равна ЖН(0). Таким образом, если (у"(0) /'(1) /(2) /(3)) имеет ДПХ (Н(0) Н(1) Н(2) Н(3)), то /(О) = Н(0) + Н(1) + Н(2) + Н(3) и /'(О) + /(1) +/'(2) + Г(З) = 4 Н (0). Слграбируюигая фулкиил.

Рассмотрим оператор сгробировання, обеспечивающий выборку из последовательности, состоящей из 16 элементов, второй группы в составе 4 элементов и заменяющий остальные 12 элементов нулями; эта операция эквивалентна умножению исходной последовательности на последовательности вида (ОООО 1111 ОООО ОООО). Ее ДПХ Н, (9) показано на рис. 4.3. Если теперь рассмотрим другой оператор стробировання вида (1100 0000 0000 0011), то получим его ДПХ Н, (9), отличающееся от Н, (ч) и представленное на рис.

4.4. Численные результаты для обоих случаев нормированы к единице и приведены в табл. 4.2. Во втором случае имеет место стробнровавие, симметричное о 1 г з 4 5 в 7 8 Я ю 11 12 1З 14 15 1 0,25 -0,854 О,З74 о 0.25 -0,354 О,О5 о 0,25 — 0,148 -0,157 о о,гв 0,354 -1,257 1 О,В5З 0,483 0.07 -0,2 -О,гаа -о,овз О,ИЗ5 0,2 0,1135 -О,озв ' -О,2ЗВ -О,г О,О7 0,483 0,8525 Теоремы Каждой теореме дискретного преобразования Фурье соответствует подобная теорема для дисхретного преобразования Хартли.

Для полноты представления материала в табл. 4.3 и 4.4 даются все теоремы, в том числе теоремы о свертке и корреляции, однако рассмотрение последннх будет отложено до следующей главы. На данном этапе достаточно сделать замечание, что свертка фущщий непрерывного аргумента, обозначаемая символом о, отличается от процедуры циклической свертки дискретных последовательностей, для обозначения которой используется символ Оо. Можно отметить, что среднее значение последовательности/'(т) определяется величиной Н (0), а значение ее среднего квадрата равно ~г Нг. Некоторые теоремы для двух различных преобразований характе- Таблица 4.3 Тоарккы днк опорацкй крк лцскрепвых кроабразовакакх Теорема Фуккцив /о) дпе р(ч) ДПХ и(«) Н( — ч) р ( — «) 3"( — т) Зеркальное кзобракекке Слоненке Сдвиг рг(ч) + рг(ч) ехр ( — 12кТ«/и] Г(ч) Н,(ч) + Н (ч) сов (2к Тч/и) Н(ч)— — в!п(2кТч/М) х х Н(М вЂ” ч) /г М ьнгив — Н,( — )Н ( — )+ + и',и,(-)+ + н',(-*)н ] '/он (Нг ФНг— — и,( — Юн,( — )+ +Н,ФН ( — )+ +Н ( — ЮоН] М Ки(ч)]' + + 1Н( — «)]') См.

текст 2кчН(-ч) Л (т) + /г(г) 3" (г — Т) Свертка Мргбо рг(ч) Л (тЮЛ ВО Произведение Л (г)Л (т) Р (~ЮР (ч) '/,М ( Р(~)1' коррелкцкк /'(г) Оау(г) (/(о) о Т(1)...) /'(г) 12кчр(ч) Растккенке Первая прокзволнак Вторая проазволцая — 4кгчгР(ч) г "(г) 4кгчги(ч) Следовательно, можно предположить справедливость обратного преобразования; ядро обратного преобразования равно с(йгггцзюО+ + (й ггг и сов О.

Таблица 4.4 Теоремы лнк вооткмкеккй между лкскрвткымк кроабразавакккмк И-1 2 Пг) = Мр(0) = МН(0) =о Сумма последовательности И-1 И-1 Первый момент ДО) = 2' Г(ч) = 2' Н(ч) =о =о И-1 И-1 И-1 2 (У(г)]1 =и 2 (Р(ч)(1 =м ~' (и(ч)(г Второй момент =о ризуются точным соответствием, ках, например, ,'г Н (ч) =/'(О) и „'Г/(т) = и х Н (0), тогда как в других случаях имеют место различия. Теорема а зеркальном изображении. Если из последовательности /'(т) сформировать ее зеркальное изображение 3 ( — т), то в результате ведущий (нулевой) элемент сохранит неизменное положение, а остальные элементы изменят порядок следования на обратный.

Таким образом, вместо элемента /'(1) исходной последовательности имеем член )( — 1), который интерпретируется какЯ вЂ” 1 гасо) М) и равен /(М вЂ” 1), т. е. является последним элементом новой последовательности. Следовательно, вместо последовательности (а Ь с с( е/'д Ь) имеем (а Ь д /' е 14 с Ь), что в области преобразования соответствует замене вида(АВСР Ег 6Н)-+(АНбг ЕРСВ), Теорема сложения. Свойство суперпозицни, иллюстрируемое теоремой сложения, просто отражает линейность оператора ДПХ.