Брейсуэлл Р. - Преобразование Хартли (теория и приложения), страница 8

Теорема а сдвиге. Сначала рассмотрим пример, в котором реализуется единичный сдвиг последовательности (а а, а, ... а„ вмеющей ДПХ вида (ао а, аг ... и„,). В соответствии с теоремой о сдвиге для Т= 1 имеем последовательность (а„, ао а, а, ... а» г), для которой ДПХ равно (ао С, и, Сг аг ... С», а„, ) — (О 51 и,«, Яг а„г... 5» 1 и,), где С„= сов(2кч/и), Я„= в(п(2кч/М). Для выполнения данной операпии сдвига мы перемещаем каждый элемент .исходной последовательности на одну позицию вправо.

Последний элемент в соответствии с принятым свойством цикличности перемещается на первую позицию. ДПХ состоит нз двух последовательностей, одна из которых содержит косинусные, другая — синусные коэффициенты. ДПФ также представляет собой совокупность двух последовательностей с синус- ными и косннусными коэффициентами, однако для ДПХ в отличие от ДПФ для сннусной компоненты характерно зеркальное отображение — это свойство именуется обратной индексацией.

Для доказательства теоремы о сдвиге подставим /(г+ Т) в формулу, опреде- 41 лающую прямое ДПХ, и получим н — 1 и — ььг ,'~ /'(т+ 7) сав(2ячт/Ж) = 2' /'(т') сав [2яч(т' — 7)/7«3 = =о = ,'1 ~(т') [сав (2я«т'/Н) сов (2я«Т/Ы) + сав' (2ячт'/Ы) яп (2лч?/Н)3 = = сов (2к«Т/Ь7) ,'> ~(т') сав (2ячт'/Ы) + яп (2я«7/Ж) 2,/(т') сав' (2лчт'/Н) = е = сов (2н«7/Ь/) Н (ч) — вш (2я«Т//«) 2 /(т') сав ( — 2ячт'/Ж) = = сов (2я«7/Ы) Н(«) — яп (2я«7/Н) Н ( — «1.

Теорема о свертке. В общем случае преобразование свертки/1 (т)Оьл (т) содержит четыре компоненты. Основными величинами, которые должны быть вычислены, являются прямые произведения Р„(ч) = = Н, (ч) Н, (ч) и смешанные произведения Рь (ч) = Н, (ч) Нв ( — ч). С использованием этих обозначений имеем Н(«) ~/вЫ[Р («) Р ( ч) + Рь («) + Рь ( «)эл Таким образом, данная процедура включает два, а не четыре действия умножения. Теперь если Н, (ч) — четная функция (т.е. Н (ч) = = Нт ( — ч)), то Н («) = ЫН, (ч) Нв (ч). Точно так же простую формулу получим в случае, когда Н,(ч) является нечетной функцией; при этом имеем Н(ч) = Р/ Н, ( — ч) Н (ч) .

Вследствие коммутативиости Н (ч) = ЖН, (ч) Н, (ч), если либо Н, (ч), либо Н, (ч) являются четными функциями. Часто одна либо другая функция обладает свойствами симметрии или антисимметрии, что приводит к более простым соотношениям.

Ввиду важности операции свертки мы вернемся к ией в следующей главе. Теорема о произведении. В теореме о произведении четыре компоненты предполагают выполнение только двух операций свертки, так как две другие просто реализуются путем зеркального отображения двух сомножителей.

Теорема о растяжении. Сходство этой теоремы с соответствующей теоремой для случая непрерывной независимой переменной относится к изменению масштаба по оси абсцисс, когда 1'(г) преобразуется в 7(1/Т). Так как величина Т может быть либо больше, либо меньше единицы, операция может представлять собой либо растяжение, либо сжатие. В случае дискретной переменной изменения масштаба также имеют практическое значение, например когда последовательность регулярных измерений должна быть повторена с большей или меньшей скоростью.

Функция к'(1/7) определена для любого Тпри заданной Г(г), ио это утверждение несправедливо для/(т/7) при заданной функции /'(т), где в = О, 1, ..., Н вЂ” 1. Следовательно, 42 применительно к теореме подобия отсутствует строгая аналогия. Теорема о растяжении имеет отношение только к увеличению масштаба времени, что осуществляется добавлением нулей в исходную последовательность.

Наиболее просто это можно проиллюстрировать иа примере. Пусть последовательность (а Ь с ~() имеет последовательность ДПХ (а () 7 Б). Тогда последовательности (а О Ь О с О Ы 0) соответствует последовательность ДПХ вида '/т (а () 7 Б а .(1 7 Б). В правомерности этого результата можно убедиться, анализируя выражение для прямого ДПХ: '/та+ '/в()савтО+ '/тусав2тО+ '/,БсавЗтО+ '/,псав4тО+ + '/т О сав 5тО + '/ 7 сзз бтО + '/,Б сав 7тО . Убеждаемся в том, что при т = О имеем /(О) = а.

При нечетном т сумма равна нулю, для четного т эта сумма сводится к выражению: а+ ()савт9+ усав2тй+ БсавЗтО, для которого обратное преобразование Хартли имеет вид: (а Ь с а). Выводы ' Свойства ДПХ свидетельствуют в пользу использования этого преобразования в численном анализе. Тот факт, что значения преобразования Хартли являются вещественными, создает удобства при выполнении расчетов. Кроме того, полезно свойство симметрии обращения преобразования, так как не требуется запоминать, к какой области представления относится данная последовательность.

Более того, ряд теорем для преобразования Фурье имеет различную форму для разных обласгей представления (временной или частотной); этот недостаток отсутствует у ДПХ. Множитель М зависит от области представления, и от него можно было бы избавиться, однако на практике почти всегда существуют нормирующие или калибровочные факторы, которые должны быть учтены по окончании численных расчетов. Опыт показывает, что последний этап заключается в учете в совокупной форме коэффициентов пропорциональности, поэтому отклонение от точного соответствия между прямым и обратным преобразованиями, заключающееся в появлении коэффициента Н, не имее~ значения в практике вычислений.

Задачи 4.1. Теорема слонсеннн. Пусть последовательность (1 2 3 4 5 6 7 8) имеет ДП Х вида (4,5 — 1,71 — 1 — 0,71 — 0,5 — 0,29 0 0,71). Показать, квк нснользовать теорему сложения лля непосредственного получения ДПХ последовательности (8 7 6 5 4 3 2 1), 4.2. Теорема о зеркальном изображении.

Если последовательность (1 2 4 8 16 32 64 128) имеет ДПХ вида '/в (255 — 117 — 153 — 125 — 85 — 33 51 215), то каково ДПХ последовательности (1 128 64 32 16 8 4 2)? 4.3. Теорема о сдвиге. Некоторое колебание/'(т) имеет ДПХ Н 00 = (32 0 — 6 1О 32 0 — 6 10). Какой вид имеют ДПХ колебаний: а) / (т — 4), 6) /(т + 4)? 4.4. Теорема о сдвиге. Пусть Н(т) = (О 0,884 1,25 — 0,884 — 3,75 — 4,419 — 2,5 — 0,884). Какой вид будет иметь Н(ч), если выборки /(т) осуществляются на единицу измерения т раньше? 4,5.

Теорема о корреляции. а) Какова корреляционная функция последовательности Дт) = (1 1 ! 0 0000 0000 001 Ц? б) Какой вид имеет ДПХ последовательности Дт)? в) Дать вывод выражения для ДПХ корреляционной функции последовательности Дт). 4.6, Теорема о свертке. Показать, каким образом можно получить преобразование Хартли свертки, исходя из извеспюй формулы р (ч) = р, Ы рз (ч) для преобразования Фурье. 4.7. Теорема о произведении. Доказать теорему о проязведении.

4.8. Теорема о корреляции. Показать, каким образом можно получить теорему о корреляции из теоремы о свертке. 4.9. Числовые упражнения. Найти ДПХ следующих последовательностей: а) (31415926), б) (14285714), в) (27182818), г) (3 1 8 3 О 9 8 8). 4.10. Числовые унралснения. Найти ДПХ следующих последовательностей; а) (28571428), б) (4 2 В 5 7 1 4 2), в) (5 7 1 4 2 8 5 7), г) (7142857 Ц, л) (8 5 7 1 4 2 8 5) 4.11. Биномиаяьные яосяедовагнвяьности.

Найти ДПХ следующих последовательностей: а) (! 7 21 35 35 21 7 Ц, б) (О 1 5 1О 10 5 1 0), в) (20156101615), г) (35 35 21 7 1 1 7 2Ц. 4.12. Частные случаи. Какой вид имеют ДПХ последовательностей (1 2) н (0,9 О,Ц? 4.13. Посяедоватеяьнюсяог с груялами нулей. Найти ДПХ последовательностей: а)(3141 5926 0000 0000), б) (0000 3141 5926 0000), в) (0000 0000 3141 5926).

4.14. Носледовательносгаи с числом элементов, выражаемым нросглыми числами. Найти ДПХ последовательностей: а) (123), б) (12345), в) (1234567), г) (! 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 Ц. 4.15. Случайные яосяедаеанеяьности. Элементы последовательности случайным образом принимают значения +1 или — 1. а) Обьяснить, почему Н(0) приблизительно равно нулю. б) Что можно сказать о величине Н(М/2)? в) Чему равно среднее квадратическое отклонение о величины Н (0) для числовой случайной последовательности? 4,16.

Преобразования лосяедоватеяьногтей из целых чисел. 8-элементная после. довательность состоит только из целых чисел. При кахом условии ДПХ этой последовательности будет состоять только из целых чисел? 4.17. Сравнение ДНХ с «реобразованигм Харгнли. Получить ДПХ последовательности(8765 432! 0000 0000 0123 4567) исравнить его с функцией (64/24) нпсз(8ч/24).

Глава 5 ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПОСРЕДСТВОМ СВЕРТКИ Мгновенно я увидел: 987 654321 х 81 = = 80000000001, поэтому я умножил число 123456789 на Результат предыдущей операции — дело несложное, — а затем разделил ва 81. Ответ оказался равным 121 932 631! 12 635 269. Вся процедура заняла вряд ли более чем полминуты. В..й АЫсса. Шодгарйгса! Мемеля оу" рейса з о/ где Воуа/ Бас1егу, 1968. (Эйтаен выполнил умножение 987654321 иа 123456 789 по просьбе своих детей.) Фильтрация — общепринятый термин из области электротехники и радиотехники, описывающий селекцию желаемой полосы частот в обрабатываемом сигнале.

Подобно тому как фильтр можно представить себе в виде устройства, пропускающего определенную полосу частот и подавляющего' другие частоты, правомерно представить фильтр как устройство, выполняющее соответствующие операции над колебанием во временной области и видоизменяющее его требуемым образом. Такал же дуальность свойственна методам вычислений.