Брейсуэлл Р. - Преобразование Хартли (теория и приложения), страница 2

3 в сжатой форме без вывода приводятся теоремы для преобразования Хартлн. Дальнейшим расширением. является определение дискретного нреобразования Хартли: н — 1 Н(о) = И ' 2. Г(т) саз (2кит!!Н), г=е ент Н " обес свойства которого исследуются в гл. 4. Коэффициент Н обеспечивает равенство Н(0) среднему значению )(т); это свойство полностью соответствует исходной посылке о том, что коэффициент ао равен постоянной составляющей периодического колебания. Основной областью применения преобразования Хартлн является цифровая фильтрация, или дискретная свертка,— тема гл.

5. Наличие изображений, воспроизводимых или обрабатываемых на ЭВМ и отображаемых на экранах электронно-лучевых трубок, в значительной степени расширило область применения двумерного анализа, причем обнаружилось, что идея вещественного преобразования легко обобщается. Таким образом, можно получить преобразование плоскости, обеспечивающее взаимно однозначное соответствие (прямое и обратное) с другой плоскостью, на которой определен некоторый объект. Плоскость преобразования Хартлн, если можно ее так назвать, помимо того, что значения, соответствующие каждой точке, вещественны, характеризуешься отсутствием избыточности. В плоскости преобразования Фурье, напротив, эти величины комплексны, а значения в диаметрально противоположных точках образуют комплексно сопряженные пары. Двумерное преобразование Хартли вводится в гл. б, где приводятся многие теоремы в обобщенной Практическим следствием внимания к вещественному дис ре к тном преобразованию является то, что оно может быть выражено с использованием матричных операций.

Возможности факторизации матриц приводят к новой факторизации матриц дискретного преобразования Фурье, следствием чего является новый быстрый алгоритм дл я процедур спектрального анализа и свертки, использующих вещественные члены. В гл. 7 дается обзор матриц и анализируется операция перестановки. Гл. 8 посвящена быстрому алгоритму. Рассматриваются разлнче интересные аспекты быстрого спектрального анализа.

Показано, каким образом практически реализуемые программы разбиваются н ряд отдельных частей, каждая из которых вноси~ вклад в общее время счета (машинное время) и характеризуется определенной зависимостью от анализируемой последовательности данных. Рассмотрение выходит за рамки традиционного анализа сложности и трудоемкости, выполняемого путем приближенного подсчета коли- !О чества операций, и предполагает использование временнбй (или полосковой) диаграммы, характеризу1ошей зависимость разбиений от объема последовательности данных.

Затем специально внимание уделяется каждой полосе и делаются важные заключения относительно быстрых тригонометрических функций, быстрого вращения и быстрой перестановки. Основой нового алгоритма является вещественное преобразование, которое требует в 2 раза меньше машинного времени, чем комплексное преобразование Фурье. Хорошо известно, что системы оптических линз могут формиро- . вать преобразование Фурье когерентного оптического излучения источника, и поэтому естествен вопрос о значении достижений последнего времени в этой области для оптики. Был предложен метод формирования двумерного вещественного представления, который рассматривается в гл. 9.

На плоскости вещественногопреобразования компоненты электрического поля находятся в фазе; следовательно, распределение информации полностью характеризуется изменениями амплитуд. В полном объеме результаты и последствия подобной независимости от параметра фазы, к которому невосприимчивы детекторы электромагнитного излучения короче некоторой длины волньц еще ждут исследования. Книга завершается набором программ для ЭВМ и атласом преобразований Хартли, которые призваны оказать помощь лицам, интересующимся приложениями или обобщениями различных аспектов вещественных преобразований. Для коммерческого использования некоторых нз этих программ может потребоваться лицензия или заключение соглашения с Советом посредников Станфордского университета через Отдел лицензий в области технологии, Станфорд, Калифорния 94305.

В монографию включено значительное число задач, ряд которых содержит нетрадиционные сведения в дополнение к основному содержанию глав. Однако основная цель использования этих задач связана с обучением. Они отражают мнение и опыт автора, заключающиеся в том, что небольшой числовой пример является превосходной помощью в усвоении абстрактных концепций, подобно тому как графические или геометрические упражнения расширяют наше представление в дополнение к аналитическому описанию, даже если такое описание оказывается достаточным. Легко понять, почему математическая физика могла довольствоваться традиционным интегралом Фурье в течение времени, превышающего целое столетие. Даже введение радикально нового метода вычисления, а именно быстрого преобразования Фурье, поначалу слабо повлияло на практику вычислений, но когда пришло время компьютеров, этот метод осуществил подлинный переворот.

Когда в 1965 г. благодаря Кули и Тьюки быстрое преобразование Фурье стало доступно широкому кругу читателей, а соответствующие материалы были опубликованы в статьях методического характера и тематических выпусках журналов, этн методы подучили высокую оценку специалистов в области анализа электрических сигналов.

Это вызвало удивление в кругах специалистов по методам численного анализа, где подобные методы уже были известны. Превосходная ретроспектива дана в работе Эйдемана, Барраса и Джонсона, опубликованной в АгсЫче 1ог Н!згогу о1 1)зе Ехасг Яс!евсея (Архив истории точных наук), в которой прослеживаются истоки метода, берушие начало от статьи Карла Фридриха Гаусса (1777 — 1855), написанной в 1805 г., в которой он утверждает; «Опыт убедит пользователя в том, что данный метод в значительной степени облегчит утомительный труд выполнения механических вычислений».

Интересным побочным эффектом этого исторического исследования является то, что, как оказалось, быстрый метод Гаусса для оценки суммы ряда Фурье предшествует статье, на которой базируется известность Фурье. Добавим, что статья Гаусса была опубликована много позже в собрании его сочинений С.Р. Оаихх Со11ес!ед %огиз, Чо~ 3, Ооцшйеп, йоуа! Бос!егу о( Яс!епсеж 1876, и напомним, что когда Фурье выдвинул идею представления произвольных периодических функций посредством тригонометрических рядов, выдаюшиеся математики, такие, как Лагранж, были с ней несогласньь Не было очевидным, что могут сушествовать более оптимальные алгоритмы, пока не оказалось, что новая процедура факторизации матриц, описываюших дискретное преобразование Фурье, оказывается более быстрой, нежели быстрое преобразование Фурье.

Попытки извлечь пользу из того факта, что данные могут полагаться вещественными, оказались успешными лишь отчасти, потому что программа, оперирующая вешественными данными в преобразовании Фурье, не может быть использована для обращения (обязательно комплексного по своему характеру) из области преобразования в область исходных данных. Поэтому должна быть отобрана библиотека программ как для прямого, так и для обратного преобразований, принципиально отличающихся друг от друга. Ни один тип этих программ не обладает свойством взаимности для преобразований Фурье, но пары таких программ обеспечивают экономию машинного времени ценой увеличения требуемого объема памяти. Быстрый алгоритм, базирующийся на новой процедуре факторизации, в достаточно изящной форме позволяет решить данную задачу и рекомендуется для численного анализа. Алгоритм оперирует только с вещественными числами-единственным видом данных, которыми мы располагаем в реальном эксперименте, и непосредственно дает ответы на интересуюшие нас вопросы, что также обычно представляется через вещественные данные и не требует перехода в область комплексного преобразования.

С тех пор как в течение полутора столетия был хорошо известен комплексный характер коэффициентов Фурье, возможно, трудно принять, что комплексные числа — изобретение человеческого разума, а не создание самой природы. Естественно, мы все признаем, что энергетический спектр, например спектр оптического сигнала, описывается вещественной функцией переменной вещественной частоты 7; но возникает вопрос не следует ли интенсивность ага Ч- Ьг этого спектра вычислять как квадрат модуля !2 комплексного коэффициента аг + йг? Разумеется, это один из способов. Другой способ, рассмотренный в данной книге, заключается з ется в вычислении величины 1Н(Я + [Н( — Я~, где Н()) — (вещественное) преобразование Хартли.

Непосредственно может быть вычислена и фаза. Нет таких задач, для которых справедливо использование комплексного преобразования Фурье и одновременно не может быть применено вешественное преобразование Хартли. Глава 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРТЛИ Общего одобрения достигнет тот, кто соединил приятное с полезным. Гораций, Наука поэзии В своей оригинальной статье, опубликованной в журнале Ргосееб(пбз о1 1Ье 1пзй1ше о( Кайо Ещрпеегз в 1942 г., Р.