Брейсуэлл Р. - Преобразование Хартли (теория и приложения), страница 5

2.5. Энергетический спектр (слева) н фазовый спектр (справа) стро- бнрующей функции П(г — 1)2). Энергетический спектр является четной функцией частоты и поэтому более прост для понимания. С другой стороны, энергетический спектр содержит в себе по крайней мере половину информации об исходном колебании, так как теряется информация о фазе. Тем не менее для ряда приложений энергетический спектр может оказаться инструментом исследования, который необходим. Энергетический спектр можно получить непосредственно из преобразования Хартли. Имеем )о()) сз+ сз Ез(л+ Оз().) = (г).,ИНУ)+ Н(-Л)з+ ('~е) [НŠ— Н(-У)1з = = (ГН()')Л'+ ГН( — )')')/2 Таким образом, вместо возведения в квадрат вещественной и мнимой частей н их суммирования при данном значении ( мы возводим в квадрат и суммируем два значения преобразования Хартли для частот +1 и — Г". При этом результат суммирования должен быть разделен на два, так как каждая из функций вида Н()) и Н( — )), возведенная в квадрат, равна полному энергетическому спектру, тогда как вещественная и мнимая части содержат по половине этой величины.

В оптике представляет затруднение измерение фазы преобразования Фурье, однако в анализе сигналов рассмотрение фазовых функций (фазочастотных характеристик) является привычной процедурой, хотя их понимание и толкование требуют определенной подготовки и опыта. Примеры энергетического спектра и фазовой функции иллюстрируются на рис. 2.5. Фазовая функция может быть непосредственно вычислена из выражения агй Г()) = агсся(Г,()))Г„(Я. Фаза преобразования Фурье может быть также непосредственно получена из преобразования Хартлн агйГЯ = агсГй( — (Н()) — Н( — ))))(НЯ+ Н( — Д)) = = агсгя 1 — 0(Д/е(Я.

В объяснении характера изменения фазы при изменении частоты оказывается полезным опыт. При интерпретации фазы следует учитывать, что поведение фазы непосредственно связано с амплитудой, причем большие фазовые изменения происходят вблизи нуля амплитуды, и наоборот — незначительные изменения фазы при больших амплитудах. Имеем следующую формулу для определения фазы преобразования Фурье через преобразование Хартли: агя Е()) = агсгя ([Н( — Д вЂ” НЦ)~Я1НЯ + Н( — Я) . Полезной альтернативой одновременному предо~велению вещественной и мнимой частей является построение траектории на комплексной плоскости путем изображения )г; Щ как функции Е, ()) с обозначением на этой траектории значений частоты как параметра. Тогда лля любой данной частоты амплитуда ~ Е(г') ~ определяет расстояние от начала координат до соответствующей точки параметрически заданной кривой, а фаза преобразования опрелеляет угловую координату.

Такая диаграмма для функции П(г — 1/2) изображена на рис. 2.6. Комплексная плоскость для данной диаграммы — зто не плоскость из теории функции комплексной переменной, где независимая переменная оказывается комплексной величиной. Здесь независимая переменная (' вещественна, однако зависимая переменная Г(л является Рнс. 2.6.

Параметрнческн заданная кривая Р(г) на комплексной плоскостн, гле ~Р(()1 н агйр(() рассматриваются как полярные координаты. Значения параметра Гфнкснруются через интервалы, равные 0,2. 25 Рис. 2.7. Представление комплексного преобразования в виде скрученной кривой, параметр которой обозначен через интервалы, равные 0,2. Вещественная и мнимая части заштрихованы.

комплексной, и можно рассматривать ее вещественную и мнимую части как декартовы координаты. Заслуживает внимания тот факт, что при движенви цо траектории к началу координат скорость «вычерчивания» траектории, измеряемая отношением длины дуги к частотному интервалу, уменьшается таким образом, что угловая скорость «бегущей» точки ва траекторни остается постоянной. Это свойство отражает линейную природу графа агй г" Щ; разрывы фазовой функции обусловлены прохождением траектории через начало координат.

Можно также рассматривать зто преобразование в виде трехмерной винтовой траектории, для которой в данном случае можем представить только перспективную проекцию, но может быть сделана проволочная модель этой кривой. На рис. 2.7 показана зта винтовая кривая, дополняющая наше представление еще одним измерением. Траекторию в полярных координатах можно представить в виде проекции винтовой кривой на плоскость 1ш[г(/Д вЂ” 0— — Ве[г(Я, а вещественную и мнимую части как проекции на горизонтальную и вертикальную плоскости прямоугольной системы координат соответственно. В определенном смысле преобразование Хартли может рассматриваться как гладкая форма представления вещественного колебания.

Будучи чисто вещественным, преобразование Хартли не требует других способов представления, тогда как другие способы могут быть непосредственно получены из него. Задачи 2.1. Унраипвения в накаждении нреабраэалиний. Найти преобразования Хартли следующих функций; а) яп2!, 26 б) сов 2я/г, в) ехр[ — в/21Н(!), г) 8(г+ 1), л) 1/(!'+1), е) Н(!), ж) Н(! — 1), з) НЯ вЂ” Н(! — 2), и) (1- г!)[Н(г+ 1) — Н(г- 1Л, к) сов(т/2) [и(! !" 1) — и(! — !)З л) 1/г, м) ! ехр [ — я!') Н(!). 2.2. Унражнения в нахождении преобразований. Найти преобразования Хартли следующях функций: а) сов зг, б) зш 2я(г, в) ехр[ — 2г)Н(!), г) Ь(2г+ 1), Л) 1/(г~ .1- 2), е) гН(г1 ж) 2Н(! — 2), з) Н(! — 2) — Н(! — 3), и) (1 — !')[Н(! 41) — Н(! — 1)З к) сов! яг[Н(г+ 1/2) — Н(! — 1/2)Д, л) !', и) (1 — 4!') [Н(! + 1/2) — Н(! — 1/2)З 2.3.

Спаренные имнульсы. Колебание У(!) равно нулю при ! < О, затем претерпевает скачок до 1 и сохраняет это значение вплоть до момента ! = 1, уменьшается до нуля при ! = 2, осуществляет скачок до 1 при ! = 3. и прекращает свое существование при ! = 4. Какой вид ямеет преобразование Хартли этого колебания? 2.4. Импульс с критическим затуханием. Определить преобразование Хартли колебания вехр[ — 2г]Н(!). 2.5. Функция !'(г/ по определению равна е ' для положительных ! и — е' для отрицательных !. Показать, что преобразование Хартли этой функции есть 4я/7(1 + 4язУ!) 2.6. Знаковая функция (си:натура). Показать, что вйп ! имеет преобразование Хартли 1/я/'. 2.7.

Функция иваха. Показать, что Ш(!) вмеет преобразование Хартли Ш(/), где Ш(!) т 2' Ь(! — и). 2В. Преобразование Хартли комплексной функции. Устааовить связь преобразования Хартли с преобразованием Фурье функпии У(!) ',2В, Нрав ила нреобрав алания. а) При условии, что У[!) и Н(/) — пара преобразований Хартли, показать, что У(!) и Н(е/2я)/ /2я удовлетворяют исходному интегралу Хартлн. б) Каково соотношение между У(г/,„/2я) и Н(ы/з/2я)? 2.10. Доналнительная функция.

Показать, что сов ! — зш ! = сав( — !) = сав'(!). 2.! 1. Свойства функции сав. Показать, что а) сав (А + В) = соз А сав В + вп А сав' В, б) сав(А — В) = сов А сав'В+ вш А сав В, в) сав А сав В = соз (А — В) + вп (А + В), г) саз А + саз В = 2саз (А + В)?2 соз (А — В)/2, д) саз А — саз В = 2саз' (А + В)/2 нп (А — В) 12. 2.12. Сер«одвигатехь. Для перевода двигателя из одного состояния в другое за минимальное время к нему прикладывается напряжение, вызывающее максимально допустимый момент вращения. Когда двигатель набирает число оборотов в два раза меныпе максимального, имеет место реверс момента, а когда двигатель близок к остановке, момент вращения оказывается равным нулю.

Момент представляется функцией вида Н(!) — 2Н(! — 1) ч Н(г — 2). Определить преобразование Хартли этой функции. 2.13. Один цикл. Как компромисс между необхолимой скоростью вращения и мощностью выбирается момент вщза плт(Н(г) — Н(! — 2)), реализующий применительно к предыдущей задаче стратегию «полный вперед-полный назадв. Определить преобразование Хартли и сравнить его с результатом предыдущей задачи.

2.!4. Сохранение энергии. Известно, что если е(г) н о(г) являются четной и нечетной составляющими функции 5"(г), то ~ (э'(г))'Ас= 3 1«(г))здг+ 1 [о(!)Лэдг. Является ли данное разложейие единственным? Найти (или доказать неправомерность существования) другие представления 1" (г), для которых справедливо то же самое правило суммирования.

Исключить случай, когда для любого ! одна нз составляющих тождественно равна нулю. Глава 3 ТЕОРЕМЫ Чтобы избежать утомительного повторения слов «равно...з, я проведу, как часто делаю в своей работе, две параллельные линии, нли геометрические линии олинаковой длины, таким образом: =, так как никакие другие две линии не могут быть более равными. Роберт Рекорд, !557. (Первое известное использование знака равенства) Теоремы преобразований полезны тем, что они позволяют избежать сложного математического анализа, аналогично тому, как обычные правила вычислений избавляют от необходимости повторения того, что уже было сделано. Владея рядом теорем, можно получить новые преобразования, исходя из традиционных, свести данную задачу к известной н объединить функции в более сложные формы без необходимости все выполнять с самого начала. За счет этого упрощается интегрирование функций, имеющих аналитическое описание.

Численные методы расчерчен также оказываются выгодными, когда применяются теоремы, позволяющие перейти к более простым нли быстрым операциям. Наконец, это обеспечивает владение необходимым аппаратом логического мышления. Рассматриваются два класса теорем. Первый нз ннх связан с такими процедурами, как усечение, модуляция, свертка, и другими общепринятыми операциями, которые могут выполняться над функцией. Этот класс теорем дает ответ на вопрос: какой процедуре подвергается (как видоизменяется) преобразование исходной функпии? Например, каким образом изменяется преобразование функции, являющейся зеркальным изображением исходной функции? Ответ заключается в следующем; преобразование также изменяется на зеркальное, что может показаться не столько простым, сколько очевидиъзм выводом. Тем не менее опыт показывает, что подобные знания оказываются полезными, особенно если могут быть применены соображения относительно симметрии, как в данном примере.