Брейсуэлл Р. - Преобразование Хартли (теория и приложения)

РБрейсуэлл Ьу Вона!й 1Х. Вгасеюе11 Москва «Мир»!990 ТНЕ НАКТЕЕЪ" ТКАХЯк ОКМ РгоГе88ог ОГ Е1ес1пса1 Епк1пеег1пе Б1ап1огс1 15п1чег811у ОХРОКО 11Х1ЧЕК$1ТУ РКЕ88 е ХЕ%' УОКК СЕАКЕХООХ РКЕЯЯеОХРОКО 198б ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРТЛИ Теория и приложения Перевод с английского канд. техн. наук А И Папкова под редакцией д-ра техн. наук, проф. И. С.

рыжика 9 Бреисуэлл Р. Б87 Преобразование Хартли: Пер. с англ.— М,: Мир, 1990.— 175 с., ил. 1ЯВ)х) 5-03-001632-5 Кинга винного «мерв«анскага специалиста по теорепгчсшон раино ствякс авл»спш перво« в мире монографвсб, посвшцсваоц преобразованию Хвртлн. Как я преобразование Фурье, она моисг припев тьс«лл» спектрального анализа н различньш аппо» обработки сягналов. В «инге устава«ливастея свить меи»у прсобразошняям» Фуры и Хартли, привопяте» ос«о«ньш теоремы н метели «ычвсленв» шюртк», вовк»вам пэшомупногаа «тебе«лотт» Харгля прн обработке енгпалоа. Изучаются метолы цифровой фвльтрацяа, а такис негров и оптическое преобраэоваияя Хартли.

Для сптналисгов, эанвмаюшякся проблем«ма обработки аггналав н спектрвеьного анализа, а паке аспираатов н стулеитов егаршнк курсов оюткегс вуюшяк спсцяальностеб. 2302020100 — 200 Б 116 — 90 041 (01)- 90 ББК 32.041 Редакция литературы по электронике 15В1«1 5-03-001632-5 (русск.) !БВ1Ч 0-19-503969.6 (англ.) ББК 32.841 Б87 УДК 621.37 © 1986 Ьу Ох1огд Пп)уегзэчу Ргебь 1пс © перевод иа русский язык, Папков А. И., !990 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Предлагаемая вниманию советского читателя книга профессора Станфордского университета принадлежит к оксфордской серии по техническим наукам и является первой в мировой литературе монографией, посвященной преобразованию Хартли. Как и преобразование Фурье, оно может применяться для спектрального анализа и различных видов обработки сигналов. Данный вид преобразования назван в честь Р.

Хартли, опубликовавшего в 1942 г. статью о паре интегральных преобразований †прям и обратном, †использующ введенную им функцию саб 0 = б)п 0+ соз О. До начала 1980-х годов эти результаты оставались в забвении, пока к ним не привлек внимание исследователей Р. Брейсуэлл, разработавший основы теории как непрерывного, так и дискретного преобразования Хартли, а также один из вариантов его быстрого преобразования. Непрерывный прогресс в области обработки информации связан с задачами всевозрастающей сложности. Такие задачи желательно решать в реальном или текущем в емени т.е.

остаточно ысг одновременным применением экономичных методов и с дств али . ыстро экономичность достигаются как развитием технологии и организацией средств обработки (СБИС, процессоры сложной архитектуры с высокой степенью распараллеливания и т.п.), так и совершенствованием алгоритмов обработки сигналов. Обращение к преобразованию Хартли обусловлено ситуацией, сложившейся в ряде методов обработки информации, в частности используннцих вещественные последовательности данных (одномерных и двумерных). Обработку таких данных желательно осуществлять в области вещественных чисел с помощью взаимно симметричных прямого и обратного преобразований. В отличие от преобразования Фурье, отображающего вещественные функции в комплексную область, и несимметричного по г' (происходит изменение знака при переходе от прямого к обратному преобразованшо) преобразование Хартлн осуществляет прямое и обратное преобразования только в вещественной области и обладает указанной симметрией.

Книга написана в сжатой, компактной форме, но очень информативна, так как содержит изложение всех основных аспектов непрерывного и дискретного одномерного и двумерного преобразований Хартли. Такой стиль изложения требует от читателя особого внимания и усилий, однако он будет вознагражден, получив взамен богатство идей. В настоящее время преобразование Хартли находит широкое применение при разработке двумерных и трехмерных быстрых преобразований, быстрых алгоритмов интерполяции и т.д.

В этом Глава 1 ВВЕДЕНИŠ— Вы, уж верно, знаете латынь? —. Да, но вы говорите так, как будто я ее не знаю. Мольер. Мещанин во дворянстве» Гармонический анализ, в который вносит вклад данная книга, имеет удивительную историю, у истоков которой стоял, как часто считается, Жан Батист Жозеф Фурье (1768 — 1830), известный своим утверждением о том, что произвольная функция может быть представлена в виде тригонометрического ряда.

Много работ как в математике, так и в физике было посвящено попыткам опровергнуть это утверждение. Часть достижений Х1Х в, в области математического анализа, который оперирует такими основополагающими понятиями, как непрерывность и предел, ставшими на сегодняшний день традипионными, возникли в связи с проблемами рядов Фурье. Что касается физики, то достаточно привести мнение лорда Кель- вина: «Теорема Фурье — это не только один из наиболее блестящих результатов в современном математическом анализе, но и необходимый инструмент анализа почти всякого неясного вопроса в современной физике».

Достаточно рассмотреть формулу х/2 = яп х — '/е зш 2х+ '/ яп Зх+ ..., полученную Леонардом Эйлером (1707 — 1783), чтобы осознать тот факт, что в эволюционном процессе всегда есть предшественники. В подтверлсдение можно привести пример нз 11 в.н.э., когда Клавдий Птолемей (грек из Александрии) использовал эту же основную идею. Тригонометрическая сумма вида г(е) = а, ехР [Евое (е — ееД + а, ехР [Ею,(е — езП + + а, ехр [коз (е — ее Я + ... является в конечном счете только комплексным представлением суммы вращающихся векторов, которая также может быть охарактеризована траекторией точки, движущейся по эпициклу, вращающемуся в свою очередь по деференту, центр которого перемещается по третьей окружности.

Восходящая к древности идея включения дополнительного вращающегося вектора с его амплитудой, частотой и фазой необходима, чтобы лучше объяснить данные наблюдений, и лежит в основе метода расчета положений планет, который используется и поныне. Нововведением Фурье было утверждение об общем характере представления в виде суммы компонент с кратным соот- * Перевод Н. Любимова. ношением угловых скоростей. Как известно, это утверждение встретило решительное сопротивление со стороны выдающихся французских математиков того времени, которые вполне справедливо требовали убедительных доказательств. В конце концов спор свелся к вопросу о необходимых и достаточных условиях существования интеграла Фурье, дискуссия вокруг которого длилась более столетия.

Ее кульминацией явилась разработка методов анализа обобщенных функций, что все расставило по своим местам. Теория функций комплексной переменной существенно облегчила трактовку колебательных процессов. (Анализ переменных токов сегодня немыслим без использования комплексной плоскости н множителя ехр [!саед.) следовательно, в теории рядов Фурье используется преимушество теории функций комплексной переменной и оказывается естественным анализ периодической функции р(е) с помощью комплексных компонент с„ехр [е2яиг|, где коэффициент с„является теперь комплексным.

Таким образом, имеем р(е) = 2„с„ехр [е2лие), »=— и в пределе для функции /'(е), не являющейся периодической, спранеллино выражение Е(е) = [ р(и) ехр[е2яиед ага, где и-вещественное число. В то же время хорошо известно, что можно записать соответствующее выражение для ряда без использования мнимой единицы и р(Е) = ао + 2, (а„соз 2хиг + Ь„з!и 2лнг), »=1 что и утверждал Фурье, таким образом, понятно, что использование комплексных экспонент является скорее удобной формой представления, нежели фундаментальным свойством. Вещественное интегральное преобразование, сформулированное Хартли в 1942 г., позволяет обойтись без комплексного представления. Хотя его результат занял заметное место на страницах журнала Ргосеейпйв оГ г!ее 1пвбгпге оГ Кайо Епй!пеегз (Труды Института радиоинженеров) н на него были ссылки в таких монографиях, как Я.

бо/а)иаи. Ргес)пепсу Апа!уяз, Мос)п!ацоп апс1 )ь(о!зе, МсС»гаги-НВ1, 1948 (имеется перевод: Гольдман С. Гармонический анализ, модуляция и шумы.— Мс ИЛ, 1951) и в моей книге Я. Аг. Вгасеие/!. Т)ее Еопг!ег ТгапвГогеп апс) 11в Арр1юабопз, МсС»гаьиНй), 1965 (Р. Брейсузлл. Преобразование Фурье и его применения), возобладала традиционная инерция.

Вероятно, можно было бы найти более ранние, но оставленные без внимания публикации. В гл. 2 представлено преобразование Хартли с использованием функции саз и связь с преобразованием Фурье, по аналогии с которым соотношение Н(в) = )" ('(х) саз 2клх!(х определяется как преобразование Хартли. В гл.