Брейсуэлл Р. - Преобразование Хартли (теория и приложения), страница 4

Вещественная часть РЯ равна ЕЯ, а мнимая часть противоположна по знаку функции ОЯ: Р,Я = КеРЯ = ЕЯ, РсЯ = Гш РЯ = — ОЯ. И обратно, из заданного преобразования Фурье РЯ можно получить НЯ, заметив, что НЯ = Р,Я вЂ” РсЯ, ЕЯ функция НЯ определяется как сумма вщественной части преобразования Фурье и ее мнимой части, взятой с обратным знаком. Помня о том, что мнимая часть комплексной величины сама является вещественной, убеждаемся в том, что НЯ представляет собой вещесгвевную функцию, как и должно быть при условии, что исходное колебание И(1) вещественно.

Если бы Р(1) не было вещественной функцией (в этом случае )с(1) не могло бы представлять собой напряжение электрического колебания), то НЯ, а тем более ЕЯ и ОЯ также не были бы вещественными. В результате можно резюмировать: П реобразование Фурье равно разности четной составляющей преобразования Хартли и нечетной составляющей, умноженной на с; напротив, преобразование Хартли определяется как разность вещественной и мнимой составляющих преобразования Фурье.

Примеры С целью иллюстрации может быть получен ряд част х пре б зований. Усеченная экспонеюпа В качестве первого при -с ра отрим функцию вида е Н(г), которая в момент времени г = 0 имеет единичный скачок, а затем монотонно убывает по экспоненциальном закону. В данном выражении фигурирует единичная ступенчатая функция Хевнсайда Н(1), которая определяется следующим образом: ~о, с, Заметим, что зналение функции Н(0), т.е.

Н(г) пр =О '"ределено Пр а этого заключается в едующем. Р,метр две фУнкции н„(г) и нь(1), котоРые совпадают с н(г) пРи г Ф О, но в отличие от н(1) определены при 1 = О. пусть н,(0) = а и н,(0) = ь. Тогда разность Н„(г) — Нь(г) представляет собой нулевую функцию. П оскольку рассматриваются интегралы, на их величину не влияет выбор какого-либо определенного конечного значения Н(0). Имея это в виду, представляется более благоразумным недоопределить подын- 19 О, г< — 1/2, П(г) = 1, — 1/2 < г < 1/2, О, ь> 1/2.

2! 20 ! а ! 2 Рис. 2.1. Усеченная зкспоненциальная функция Р(т) = е 'Н(г) и ее преобразование Хартли Н(/) = (1 -1- 2ял/(1 + 4ят/'т). Очевидны симметрия четной компоненты Е(/) и ее относительно быстрое убывание (штрнховая линия) и симметрия относительно начала коордиаат нечетной составляющей 0(/) (пунктирная линия). Преобразование Фурье функции е ОЩт) имеет вид Е(/) — гО (/). Рис.

2.2. Стробируюшая функция П(т — !/2) и ее преобразование Хартли. и I Рис. 2лк Преобразование Фурье стробируюшей функции П(т — 1/2); мнимая составляюшая изображена штриховой линией. тегральное выражение, чем доопределить его произвольно и тривиально. Оцениваемый интеграл равен И(/) = ) е 'Н(г)саь2п1а/г = ) е 'саь2я/)т/г = О е = ) е т соь 2я/гс/г + ) е ' яп 2яДт/г = о с 1/(! + 4пт/'т) + 2я//(1 + 4цт/'т) Очевидно, что четная и нечетная составляющие этого интеграла есть Е(/) = 1/(1 + 4пт/'), О(/) = 2я//(1 + 4пт/т). Полученный результат иллюстрируется на рис. 2.1. Можно за- метить, что И(/) не является ни четной, ни нечетной функцией. Минимум функции НЯ имеет место при 2я/= — 1 — /2, максимум — при 2я/'= Г2 — 1„и она обращается в нуль при 2п/= — 1.

При + со функция убывает как +/' Для сравнения с преобразованием Фурье необходим анализ четной и нечетной составляющих преобразования Хартли: четная составляющая Е(/) показана штриховой линией, а нечетная О(/) — пунктирной. Для преобразования Фурье имеем Г(/) = Е(/) — /О (/) = 1/(1+ 4л'/'т) — т2п//(1 + 4пт/. т) это известный результат, который может быть подтвержден при отдельном рассмотрении. Одна из этих составляющих является четной, а другая — нечетной. При /- + со вещественная составляющая быстро убывает как +/ т, тогда как мнимая компонента убывает по абсолютной величине относительно медленно. В результате при/'» 1 мнимая компонента доминирует в спектре. Например, при /= 2 отношение мнимой составляющей к вещественной равно 12,6. Прямоугольный импульс. В качестве следующего примера рассмотрим сигнал р(г) = П(г — 1/2), изображенный на рис.

2.2 слева, где П (г — 1/2) — смещенная единичная прямоугольная функция, имеющая свое начало при г = О. Стандартная единичная прямоугольная функция, которая часто необходима для стробирования сегментов колебаний, определяется как Для данного примера имеем преобразование Хартлн НЯ = ) П(г — 1/2) саь 2и/птг = ) саь 2я/!т/г = с т = (1/2п/) ~ь(п 2тЯ вЂ” соь 2я/г] 1 = (1/2я/') (яп 2п/' — соь 2п/ + 1), о которое иллюстрируется на рис. 2.2.

Здесь вновь наблюдается от- сутствие симметрии. Для сравнения на рис. 2.3 приводится график преобразования Фурье, определяемого выражением Г (/) = (яп 2я//2я/) — т (1 — соь 2иД/2ц/; Как обычно, вещественная часть является четной, а мнимая — не- четной функцией. Единичный импульс. В качестве примера другого рода рассмотрим единичный импульс для момента времени г = 1, так что Р'(г) = = б(! — 1). Тогда О Н(/) = ) б(! — 1) саз 2л/гй = саз 2л/. Этот результат обусловлен использованием фильтрующего свойства б-функции, а именно: б(! — а) ф(!)й = ф(а) О Другими словами, интегрирование произведения единичного импульса (б-функции) и данной функцни аннулирует («стирает») значения этой исходной функции при всех значениях аргумента, исключая то из них, при котором существует б-функция, и восстанавливается исходная функция в точке, где локализована б-функция.

Теорема о фильтрующем свойстве б-функции может рассматриваться как отправная точка в теории обобщенных функций, что и делается в математическом труде Шварца [1.. Яс/))«аг(2. 1.а Т))еропе ((ев 13!в(пЬп()опв, Неппап„1950 (Л. Шварц. Теория распределений)1; прн другом подходе теория может быть разработана как следствие предельных операций, позаимствованных из физики. Существуют три математических правила, резюмирующие подход с позиций физических задач, в которых возникают импульсы.

1. Заменить б() на т 'П (/т). [Точки в скобках означают наличие совокупности символов. Это дает возможность рассматривать б(2!), б(! — ! ), б(е)! — ф) и в общем случае б [/(!).3 2. Выполнить интегрирование или другую указанную операпию, что не должно представлять труда, так как П(/т) может принимать только два значения: О и 1.

3. Осуществить в выражении, полученном в результате выполнения п. 2, предельный переход при с — О. Полученное в результате предельного перекода значение интеграла или другое выражение, содержит б(). Применим эти правила к интегралу, который выше был определен с использованием теоремы о фильтрующем свойстве б-функции: ) Ы! — 1/2) сав 2тфй. О Применив правило 1, получим О 1= ) т !П[/! — 1/2)/т) саз2л/!«1! = (14 ))2 = т ' ) П [(е — 1/2)/23 саз 2л/п/!. и- ))г Пределы интегрирования могут быть изменены, как показано, потому что фуакция П [(! — 1/2)/23 центрирована относительно точки ! = 1/2 н имеет длительность т и, таким образом, не равна нулю только в интервале [1/2 — т/2; 1/2+ т/23.

Теперь перейдем к прави- и Ряс. 2.4. Преобразование Хвртлв импульса с критическим затуханием вада !е 2'Н(!). (1 4 «))2 (! 4«))2 1 = т ' ) саз 2гф(/! = [яп 2)ф — сов 2лф3 ( /2луг = о —.иг (! -«))2 = 2 вш л/т (соз л/'+ яп л/)/2л/т. Наконец, используя правило 3, перейдем к пределу при т — О, в результате чего, как и выше, получим: сов л/+ зшл/: Очевидно, прнменение теоремы о фильтрующем свойстве является менее трудоемким, однако общий подход с использованием приведенных выше трех правил всегда оказывается работоспособным и легким в практическом применении. Импульс с критическим затуханием. Колебание )«(!) = !е 'Н(!) известно как импульсная характеристика резонатора с критическим затуханием, т.е.

резонатора, затухание которого не столь мало, чтобы импульсная характеристнка превосходила определенный уровень, и не столь велико, чтобы было невозможно оценить инерционные характеристики системы. В данном случае (рнс. 2.4) имеем Н(/) = ) !е 'Н(!)сав2лф)й = ( )е 'саз2!фй = О о = (1 + 4л/' — 4лг/' 2)/(1 + 8~2/'2 + 1б 4/'4) При выполнении интегрирования целесообразно использовать таблицы интегралов. Другой подход заключается в применении известных теорем. Например, прн известном преобразовании колебания К(!) можно непосредственно получить преобразование функции !)«(!). В следующей главе для справки приводится ряд основных теорем. Энергетический и фазовый спектры Не всегда легко понять характер изменения комплексной функции, имея графики ее вещественной и мнимой частей, однако в оптике и других областях физики более привычным является использование понятия квадрата модуля преобразования, или энергетического спектра: р[/) )р(/)~2 [р (/дг ( [р (/-Цг 23 Рнс.