Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 6

Локальные сплайвы третьей степени Вг ) (х) и Вг ) (х) записываются(\) (г) в виде 1 7. Првближееяе сллейнами При Ь = 1 доопределяют значения У 1 и Уе ы линейной интерпоющией по значениям Лн Л и У„, У„1 соответственно и полагают а~ = Л (Л вЂ” У(х')) при 1 < 1 < и+ 1. При Ь = 2 доопределяют значения У з, У, и У„+ы У„+з кубической интерполяцией по значениям Уе Ум Уз Уз и Л У»-~ У -ю Уе-з соответственно и полагают а; = (8Л вЂ” Лчо — Л т) /6. Ь; 6 Ь;+Ь;+, при У =1 — 1, при У = 1,,~ У>ьы — Л Л вЂ” Л-1 Ь; при У =1+1, при [У вЂ” 1[ ) 1; 3 Ц+1 6 О 1=1,2,...,п — 1, Ь;=х; — х; 1.

7.5. Пусть в предыдущей задаче Ме = М„= О. Показать, что в зтом случае решение системы С М = И удовлетворяет неравенству п1ах Щ 1пах [Мс[ < 3 1<с< -1 п1ш [Ь;[ 1<><п — 1 7 6. Пусть У(х) Е СОО[о,б) ([УОО(х)[ < А4), задана сетка с постоянным шагом Ь; = Ь, и дополнительные условия для определения кубического интерполяционного сплайна имеют следующий вид: ~3(хе+ О) = У (хе) > ~3(хе — О) = У (хе) . Показать, что справедлива оценка погрешности [ЯО)(х) — УО>(х)[ < С,А,Ь'-', г = О, 1, г, 3 .

31 7.1. Построить линейный интерповщнонный сплайн по значениям У(О),У(1). 7.2. Получить оценки погрешности приближения функции У(х) линейным интерполяционным сплайном на равномерной сетке с шагом Ь, если: 1)У(х) Е С>О[О, 1); 2)У(х) е СОО [О, 1]. 7.3. Построить кубический интерполяционный сплайн по значевиям У(О), У(1), У(2). 7.4. Обозначим через М; значения второй производной Язе(х) кубического интерполяционного сплайна в узлах (х,), 1 = О, а. Показать, что они удовлетворяют системе линейных уравнений С М = И, где Г л в в в П. Прибтивеиие функций и производвык Т.Т. Выписать приближенные выражения 7 0 и г„+0, необходимые для определения локального сплайна В( ) (х) . Т.8.

Выписать приближенные выражения У-гЛУ-0 и У„+) 7 +г, необходимые для определения локального сплаина В (х). (г) Т.9. Показать, что значения В (х) зависят только от значений ()) у) в четырех ближаюпих к х точках х;, а значения Вг( (х) — в $ (г) (е) Т.10.

Показать, что при любых а; ) функции В (х) являются,1 (ь) сплайнами третьей степени, причем Вг( )(х) тождественно равны" нулю вне отрезка [-ЗЬ, 1+ З)0]. Т.11. Показать, что: Вг' (ХО) = ~О 2 Вг' (Хв) = Уп 2 1 = 122 2 (2) (2) Вг (Х)) = у0 2 Вг (Хп-0 ) = Ув-0 ° (г) (г) Т.12. Пусть )у"(')(х)~ < А( при ( = 2, 3,4. Показать, что: )(В(1()) — )10())<САЛ' ', 1=01, ! (О (В01(*)) — )22(*))<СА Л' ', 1=01,23 Глава Ш 'Численное интегрирование Рассмотрим интеграл вида Щ) = р(х) 1(х) Их, О где [а, Ь] — конечный или бесконечный промежуток числовой оси и 1(х) — произвольная функция нз некоторого класса Р.

Бели не оговаривается противное, то будем считать, что все 1(х) непрерывны на отрезке [а,Ь]. Заданная функция р(х) называется весовой. Будем предполагать, что на [а, Ь] она измерима, тождественно не равна нулю и ее произведение на любую 1(х) Е Р суммируемо. Для приближенного вычисления интеграла 1(у) строятся линейные квадратурные формулы (квадрашрры) следующего вида: Я~(у) = ~ с;у(х;).

в=1 Постоянные с; называются коэуфициеитлани (еесами) квадратуры, а х; — ее узлами. Для каждой функции 1(х) е г погрешность квадратурной формулы Я„(1) определяется как В„(~) = 1(~)-Я„(~). При этом оценкой погрешности на классе Е называют величину В„(г') = впр ]В„(1)]. уее' з 8. Квадратурные формулы интерполлционного типа Имеется болыпая группа квадратурных формул, построенных на основе замены 1(х) алгебраическим интерпояяцнонным много- членом. Пусть на конечном промежутке [а, Ь] по заданному набору ЗЗ Г л а в в 1П. Численное интегрирование и о Х.(х) =СУ(*ь) и.* *.'. ;-ь ~-1 ** вм Положим Я„(1) = р(х) 1,„(х) сЬ. О Отсюда получаем явные формулы для набора коэффициентов (с;),", и оценку погрешности В„: — — )р(х) ~ ! м„(х) ) «1х, 1 ь о '=/ нП вЂ” *.:"." ,, х; — х.

О ам где ~~~~"~(х))~ = шах )~1"~(х)~, ш„(х) = П(х — х;) В оценках, приводимых ниже, также используется равномернаяу норма. :) Квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные в) случае весовой функции р(х) = 1 для системы равноотстоящих узлов> ",', называются формулами Ньюшоиа — Кошеса. 8.1. Получить формулы Ньютона — Котеса и соответствующиеь оценки погрешностей при числе узлов и = 1,2,3.

8.2. Рассмотрим формулы прямоугольников и трапеций. Какая'.Р из них имеет лучшую точность? 8.3. Пусть весовая функция р(х) четна, узлы х; расположеныь симметрично относительно нуля, т.е. х„.~.ь, = — х;, 4 = 1,...,п. Доказать, что в интерполяционной квадратурной формуле для вы-( числения интеграла в 1(1) = / р(х)1(х)дх -в коэффициенты, соответствующие симметричным узлам, равны, т.е.4 с„+~; — — с<, 4 = 1,...,п.

34 различных узлов (х~)," функция 1(х) приближается ннтерполяци- ) онным многочленом Лагранжа Ь„(х) степени и — 1 О 8. Ивторлоляциолвыо квадрат ы 8.4. Доказать, что для погрешности квадратурной формулы трапеций справедливо представление Вз(у) = у(х) сЬ вЂ” — Ц(а) + ДЬ)) = — (а — с)(Ь вЂ” с)ув(с) И~. Составные квадратурные формулы.

Рассмотрим задачи на построение составных квадратурных формул и вывод оценок их погрешностей. Пусть Ь = (Ь вЂ” а)/Ф и хо = а+ ЬЬ, Ь = 0,1,...,М. Введем следующие обозначения для отрезка ]хо, хь ы]: в~+1 У®(У) = р(х)1(х)<Ь, Ф'(У) = К„(У), Ь = О, ..., Ь~ — 1 . Поскольку исходный интеграл 1Ц) равен Ф-1 (л= Е~" (л, о=о соответствующая составная кводратурная формула принимает вид Ф-1 Я„"а= ~.В®а, ь=о а для ее погрешности справедливо неравенство !НГВ! < Е ]Ф'(Л~ о=о Например, в случае составной формулы прямоугольников и-1 Я Ц) = — ~ у ~хо + -], Ь вЂ” а Г Ь~ о=о а для погрешности на отрезке [х», хо+1] имеем нероленство ('-а)3 ]Н®а~ < ПХ"(*)и '*'" *' = и~в( )И вЂ " = И~"(*)И " ') 35 Г л в в а 111.

Чисееяяое интегрирование Следовательно, для всего отрезка [а, Ь] оценка погрешности имеет вид (Ь- а) 8.5. Для вычисления «(х) ах применяется составная формула о трапеций. Оценить минимальное число разбиений Ф, обеспечиваю-.', щее точность 0.5 10 е на двух классах функций: 1) [[«о(х)[[ < 1; 2) [«е(х)[ ~Ь < 1. о 8.6. Получить оценки погрешностей для составной квадратурной ' формулы трапеций ду ц да(аж=ь — а): 8.Т. Найти оценку погрешности вычисления интеграла «(х) еЬ при «(х) = —, / 1 о по составной квадратурной формуле Я(«) = [«(0) + 4«(0.1) + 2«(0.2) + 4«(0 3) +.-+ 4«(0 9) + «(1.0)]/30.

8.8. Найти оценку погрешности вычисления интеграла «(х) Их при «(х) = —, / 1 о 1 в, Интернавяпнонные квадратуры по составной квадратурной формуле Я(/) = ЩО) + 2/(0.1) + 2/(0.2) + ... + 2/(0.9) + /(1.0)) /20 . 8.9. Оценить минимальное число разбиений отрезка Ф для вычи- 1 слепня интеграла зш(х ) <Ь по составной квадратурной формуле о трапеций, обеспечивающее точность 10 ь. 8.10. Оценить минимальное число разбиений отрезка Ф для вы- 1 числения интеграла ехр(х )ах по составной квадратурной форо муле прямоугольников, обеспечивающее точность 10 4. 8.11. Оценить минимальное число узлов составной кввдратурной 1 формулы трапеций для вычисления интеграла ) е* 8х, обеспечиваюо ~ее точность с ( РЗ г 8.12.

Оценить минимальное число узлов составной квадратурной г формулы Оимпсона для вычисления интеграла ) /(х)ьйс, обеспечивао ющее точность е < 0.5 10 ь на классе функций, удовлетворяющих у юв впр ~/(4)(х)~ <1. во[о,г] 8.13. Написать квадратурную формулу для вычисления с точностью 10 ь интегралов вида: 1) е */(х)4х; 2) хе */(х)Их. о о 1 8.14. Вычислить интеграл /'ев ьЬ по формуле Ньютона — Коо теса с узлами хь = О,хг = 1/4,хг = 1/2,хь = 3/4,хь = 1 и оценить погрешность.

8.15. Доказать справедливость следующих представлений погрешностей квадратурных формул: ь 1) /(х)сЪ вЂ” — /(а) + 3/ — + 3/ — + /(Ь) Ь Ь вЂ” ть 3 (Ь вЂ” а~~ 3 00® 3) 80 37 Г л а в а Ш. Чисьелвое мата' яровавме ь 2) У(х)бх — — уУ(а) + 32У вЂ” + 12У вЂ” + О +32У ~ — /+ уУ(Ь)) = — ~ — ) — У~ ~(Ь), а <с < Ь; 4 ,/ У ], 4 ) 945 3) У(х)сЬ вЂ” — (У(а) + У(Ь)) + — (У'(а) — У'(Ь)) = Ь вЂ” а (Ь вЂ” а) 2 12 О (Ь - а)ь — (с), а<с<Ь. 8.16.

Пусть У Е С~ц[-1,1] и Рь(х) — алгебраический полинам ' пятой степени, удовлетворяющий условиям Р(хь) = У(хь), Р'(хь) = ." = У'(хь), й = 1, 2, 3, где х1 = -1, хз = О, хз = 1. Рассмотрим квадра-: турнуьо формулу следующего вида: Вь(У) = — (УУ(-1) + 16У(О) + УУ(1) + У(-Ц вЂ” 13У(1)), 15 Провери, что ~ь / Рь(х)йх = Яз(Рь), -1 и доказать, что Яь(У) точна на полиномах пятой степени, но найдется "" полинам степени 6, на котором она не точна.

ь 8.1Т. ПУсть Сь = ] ]УОО(х)]Их < оо, 4 < 2. ПолУчить оценкУ ", о погРешности фоРмУлы тРапеций Щ(У)] < гьСьвь, где гь — абсо- лютная постоянная, Ь вЂ” шаг интегрирования. ь 8.18. Пусть Сь = ] ф~~(х)]Их < со, д < 4. Получить оценку 1 й погрешности формулы Симпсона ]Я1 (У)] < рьС,й', где рь — аб-,. солютная постоянная, Ь вЂ” пшг интегрирования. В следующвх задачах рассматривается приближенное вычисление интеграла 1 Уь(х)пх (1) ., от функции с параметром Ь: (О прих=О; ](хь хЕ(0,1]; Ь 9.

Метод яеояредеьеввьья коэффициентов где -1 < Ь < 1. 8.18. Интеграл (1) вычисляется цо составной квадратурной формуле трапеций с постоянным шагом 1/№ Доказать, что суммарная погрешность удовлетворяет соотношению Вя(/) ш Рь(Ь)/И +, Р,(Ь) ьь О. 8.20. Интеграл (1) вычисляется по составной квадратурной формуле трапеций с распределением узлов хе = ~р(д/1Ч), ~р(ь) = Флнь+ь>. Доказать, что суммарная погрешность удовлетворяет соотношению л(/) Р,(ь)/м', Р,(ь) ~ о. 8.21. Интеграл (1) вычисляется по составной квадратурной формуле трапеций с распределением узлов хе — — <р(д/Ф), у(ь) = ь'.