Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 8

о 10.20. Доказать, что полиномы (х™) > не могут быть ортопвМ нзльны на [0,1) ни с каким весом р(х) ) О. 10.21. Для заданных се, сы ..., с„построить алгебраический по-.; липом Р„(х) степени и, удовлетворяющий условиям х~Р (х)дх =се, й = 0,1,...,и. /'. -1 10. Квадратурвые рмулы Гаусса 10.22.

Доказать, что для ортогональнъпс многочленов Лежандра Х„(х) = — — ((х — 1)") 1 д" 2авф Дхв справедливы следующие соотношение: 2)(в+1)Х„+~(х) — (2в+1)хЬ„(х)+ вХ„~(х) = О, в > 1; З)Х'„+д(х) — Х'„~(х) = (2в + 1)Х„(х), в > 1; 4)Х'„+ (х) — ~Х'„( ) = (~+1)Х„(х), в > О; 5)хХ'„(х) — Е'„~(х) = вХ„(х), в > 1; 6)(хз — 1)Х'„(х) = вхХ.„(х) — вЕ„~(х), в > 1; 7)(1 — хз)Б'„'(х) — 2хЦ(х) + в(в+ 1)Х л(х) = О, в > 0; 1 О, еслиО<й<в — 1, (2в+1)! ' ХО, еслий~ш, 9) ~ Хь(х)Хгив(х)дх = 2 2й+ 1' 1 10) Если Х„(хь) = О, то / " ох = —, в > 1; Х Х~а (х) 2 / (х - хь (в+ 1)Х„+~(хь) ' -1 (в/3) 11)Х„(х) = 2 "~~~ (-1)"С~С~„аьх™, в > О.

10.23. Пусть хмхз,...,х„— корни полинома Лежандра Х„(х) и в х — х, 7ь = Ц Их. Доказать, что если Х, д — алгебраические мно- , хь — х, гочлены степени в — 1, то 1 в -1 Х(х)д(х)йх = ~',~ тьХ(хь)д(хь). а=1 Г л а в в Ш. Чяслеяиое яятегрироеаяяе 10.24. Доказать следующие свойства узлов и козффициентов квадратурной формулы Гаусса о'„(у) для вычисления интеграла 1 у(х)ох: -1 1) Ь„(хь) = О, й = 1,2,...,и, где ܄— ортогональный много-;.

член Лежандра степени и; 2 2)сь = —, й=1,2,,п', (и + 1)Х»+ь (хь)Ь»(хь) ' 2(1 — хь~) о (ь»-~(хь)) 2 4)сь =,, й = 1, 2,..., ть. 10.25. Пусть е„— погрешность на функции у(х) = зл" квадра- '; турной формулы Гаусса с и узлами. Вычислить е» и показать, что,". Гпп 22»с = т »-+со 10.20. Показать, что квадратурная формула 8з(У) = — У вЂ” — + 4ДО) + У +со 1 » для вычисления интеграла е * у(х)Их точна для всех алгебрж-, ческик полиномов пятой степени. 10.2'Т.

Показать, что квадратурная формула Зэ(У) = 8 У вЂ” — +У(0)+У 1 для вычисления интеграла ( Их точна для всех алгебраиче-.' l у(х) l ~Г1-хз -1 ских полиномов пятой степени. 10.28. Для вычисления следующих интегралов построить квадратурные формулы Гаусса с одним узлом: 1) ~хеба(х)дх; 2) ~ ~х~У(х)ох. 48 1 10. Квадратуряые формулы Гаусса 10.29. Для вычисления следующих интегралов построить квадратурные формулы Гаусса с двумя узлами: 1 1 1) (х11(х)Нх; х~Дх)дх.

10.30. Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами 1 для вычисления интеграла р(х)у(х)ох, р(х) — весовая функция: о 1) р(х) = х; 2) р(х) = з1пхх; 3) р(х) = е*; 4) р(х) = 1п(1 + х); 5) р(х) = 1 — х; 6) р(х) = е '. 10.31. Построить квадратуру Гаусса с четырьмя узлами для вычисления интеграла 1 10.32. Пусть |(х) — функция, интегрируемая по Риману. Доказать, что для формул Гаусса В (у) -+ 0 при а -+ оо. 10.33. Построить составную квэдратурную формулу Гаусса с двумя узлами на каждом отрезке разбиения для вычисления интеграь ловвида е *у(х)4х, е * — весоваяфункция. Оценитьпогрешность а построенной формулы.

10.34. Доказать, что не существует квадратур с п узлами, точных для всех тригонометрическкх полиномов степени и. 10.35. Введением весовых функций и заменой переменных х = =,и(1) свести построение квадратуры Лобатто к построению некоторых квадратур Гаусса. Г л а и и 111. Числеииое интегрирование 11. Главный член погрешности Будем считать промежуток [а, Ь] конечным н предположим, что 1(х) имеет на [а, Ь] непрерывные производные до порядка оь + з.

и Возьмем квадратурную формулу Я„(1) = 2 с;1(хь): )ьп Р(х) 1(х) Нх = Я„(1) + Я„(1), О имеющую алгебраический порядок точности оь — 1, и рассмотрим ее погрешность В (У): 11„У) = У<™)(1)К(1)а. О Здесь ядро К(1) имеет вид а «й=/и ) и* — 1;и — ь (х $) -) " (х,. )) л-1 (ш — 1)) ' (го — 1)) с 1 где "гасящая" функция Е(х) определяется формулой (1 прнх>0, Е(х) = и при х= О, 0 при х< 0.

Имеет место представление Эйлера для погрешности: Д У) — 11 (1) Ае [У(Яв-1)(Ь) У(и4-))(о)~ ~У(~и+а-2)(Ь) У(па+8-2)( )~ + Е У) ь с 1 А, = — ~ 11(1)й,Ц~.ь = [Ау — Ц(х)]Их~Хо(1) = К(1) > а и ь Л +,(У) =/ У) +')(1)1„(1)а. а Главиььи членом погрешности обычно называют первое слагаемое в этом представлении. 50 11.

Газовый член погрешности Правило Рунге. Пусть на отрезке длины Ь для вычисления интеграла 1(У) используется некоторая квадратурная формула Яь(/), имеющая алгебраический порядок точности ш — 1. После разложения 1(х) в ряд Тенлора в середине отрезка (точке с) получим: 1У) — Яь(У) = «У( )(с)й +1+ 0 (Ь +2) Обозначим через Яь/з(/) составную формулу, полученную применением формулы Яь(1) для двух половинок отрезка длины Ь. Тогда с тем же а находим: Ь +ь 1У) ~ь/2У) «У (с) — + 0 (Ь ) .

Следовательно, с точностью до членов 0 (Ьш+з) справ ш ющее правило Руне« 1(Х) Я (/) Яь/2(У) Яь(/) 11.1. Пусть интеграл ь 1(1) = 1(х) с(х, О где 1(х) — гладкая функция, вычисляетсл по составной формуле тра Ь-а пецвй Яз'(1) с постоянным шагом Ь =— 1) Показать, что суммарная погрешность удовлетворяет соотношению Кд = аьйз+азй +азйе+ 2) Показать, что 3) Пусть фь)(х)~ < Мз на отрезке (а, Ь].

Показать, что ~Я(1)~ < < сзМз(Ь вЂ” а)йз. 4) Пусть фь>(х)~ < Мь на отрезке [а,Ь). Показать, что ~Я(/)~ < < М(Ь вЂ” «)Ь. Г л о и а 1П. Численное иит ироваиио 1 11.2. Пусть 1(х)4х вычисляется по составной формуле трао пецнй с переменным шагом интегрирования: х; = ~р(в/Ж), у(8)— гладкая функция. Доказать, что главный член погрешности есть 11.3. Пусть интеграл где 1(х) — гладкая функция, вычисляется по составной формуле и Ь вЂ” д Симпсона Яв (1) с постоянным шагом Ь = —. Показать что У для составной формулы Симпсона суммарная погрешность удовлетворяет соотношению Пм(() Ь Ьв+Ь 1,в+ 11.4. Пусть интеграл 1 х 1(х)дх, о где 1(х) — гладкая функция и 1(0) ф О, вычисляется по составной 1 формуле трапеций с постоянным шагом Ь = —.

Показать что при Ф' — 1 < Л < 1 суммарная погрешность удовлетворяет соотношению д Ь~+л ~ д ьз+А 11.5. Используя Яь и Яь1в, построить квадратурную формулу более высокого порядка. 11.6. Пусть Мв, Мв — количества узлов одной и той же квадратурной формулы Ям с порядком точности 0(1/Мз). 1) Доказать справедливость приближенного равенства: 1(У) ~вь У) р (~м У) бм У)) 1 с особенностями 1 2) Доказать, что выражение Ям,(у)+ — (Ям,(у) — Ям,(у)) совпадает с квадратурной формулой Симпсона.

11.7. Показать, что при применении правила Рунге к формуле трапеций получается формула Симпсона. Насколько при этом увеличится порядок главного члена цогрешности? 11.8. Показать, что операция построения формулы Ял/з — Ял л л/э л/з + 2т является экстраполяционной, т.е. при Ял уЛ Ялур величина Ял,л/з всегда лежит вне отрезка с концами Ял и Ялуз. 11.9. Пусть для вычисления интеграла от некоторой функции используется квадратурная формула, фа|сгическвй порядок точности р которой неизвестен для данной функции. Предложить способ численной оценки значения порядка р. 11.10. Пусть кмеется некоторый метод ранения задачи с погрешностью У(у)-Ям(у) в с/М ивычисленинтегралс М1 и Мз = ЛМ1 отрезками разбиения.

Показать, что 1(у) - (у) '"*(у) -'" (у). 1,„ Здесь имеется в виду предельный переход цри Мз -+ со, А = сопзь 11.11. Пусть У(У) — Ям(Р) = с/М +0(1/М +'). Доказать, что 1(у) Я (Р) Ям2(у) — ЯМ1(у) м1 (М,/М,)Фп при условии, что Мм Мз — М| -+ оо. 11.12. Пусть |(У) — Ям(Р) = с/М + 0(1/М +з). Доказать, что у(у) я (Р) Яма(у) Ям1 (У) щ (М,/М,)- -1 при условии, что М1 ~ оо, Мз > М1. 2 12. 'Численное интегрирование функций с особенностями Быстро осцнллируюпвяе функции. Пусть требуется ваги~- слить интеграл ехр(йих)У(х)Ит, где ы(Ь вЂ” о) л 1, У(х) — глада кая функция. Функции Не(ехр(йох)у(х)), 1ш(ехр(йох)У(х)) имеют Г л а в а Пй Чвслевяое интегрирование на рассматриваемом отрезке примерно ы(Ь вЂ” а)/к нулей.

Поскольку многочлен степени п имеет не более п нулей на этом отрезке, такие функции могут быть хорошо приближены многочленеми степени и лишь при о ~ и(Ь вЂ” а)/к. Поэтому для непосредственного вычисле. иия интегралов от таких функций потребуется применение квадра.

тур, точных для многочленов очень высокой степени. Более выгодным может оказаться использование ехр(1ых) в качестве весовой функции. Зададимся узламн интерполирования Ь+а Ь вЂ” а ху = — + — Иу, у = 1,2,...,п, 2 построим многочлен Лагранжа о„(х) и рассмотрим квадратурную формулу Я„(У) = ехр(1шх)1„(х)Иэ = а = — ''-(-'— "Ф (- ) узм где 1 »=/ и,'., ,.