Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 10

13.35. Доказать, что если (Ах, х) > О для всех х, то существует ' постоянная б > О, не зависюцая от х, и такая, что (Ах х) > лцхцз ',, для всех х. 13.36. Привести пример положительно определенной в Вв ма трвцы, спектр которой не является вещественным. 13.3а. Доказать, что нормы матрицы А, определещ~ е в стаями йу(А) = и п1ах (а2! и аа'(А) = ( 2 а11.)1/з, не подчинены' 1<а,1<в а,я'=1 никаким векторным нормам.

13.38. Показать, что для любого собственного значения Л(А) не- . ) вырожденной матрицы А справедлива оценка 1/цА 'ц < !Л(А)!. 13.39. Доказать, что для любого собственного значения Л(А) ма- '. трицы А справедливо неравенство !Л(А)! < Ы'ЦАьЦ11", где й — на- ' ь турзльное число. 1ЗАО. Довлеть, что если А — нормальная матрица (ААт = * = А1 А), то ЦАЦз = р(А), где р(А) — спектрапьньй радиус ма-: трицы А.

13.41. Убедиться, что и х и — матрица А при и > 2 не определяется полностью квадратичной формой (Ах,х), т.е. найдутся две не:. равные матрицы А и В, для которых (Ах,х) = (Вх,х). ) 14. Элементы теории возмущений 14. Элементы теории возмущений Рассмотрим скстему линейных алгебраических уравнений Ах=Ъ с квадратной невырожденной матрицей А. При ее решении в результате вычислений с конечной разрядностью вместо х получается нриблиэсенное решение х, которое можно рассматривать как шочное решение возмущенной системы (А + БА) х = Ь, где матрица возмущений БА мала в каком-либо смысле.

Другой источник ошибок в х определяется возмущениями БА и 6Ь в элементах матрицы А и в компонентах вектора правой части Ь (например, вследствие ошибок округлений, возникающих в процессе ввода вещественных чисел в память компьютера). Для оценки того, насколько приближенное решение х отличается от точного решения х, используются нормы векторов и подчиненные нормы матриц, для которых норма единичной матрицы равна 1. Пусть в системе Ах = Ь возмущается только вектор Ъ, т.е.

вместо исходной системы решается возмущенная система Ах = Ь = = Ь+ БЪ, и пусть х' — точное решение возмущенной системы. Тогда для относительной ошибки в х верна оценка < ЦАЦ ЦА 'Ц вЂ” = ЦАЦ ЦА 'Ц Цх|| ||ЬЦ ЦЬЦ Величина ЦАЦЦА 'Ц называется числом обусловленноснзн матрицы А и часто обоэначаетсл сопд(А). Для вырожденных матриц сопб(А) = оо. Конкретное значение сопб(А) зависит от выбора матричной нормы, однако в силу их экввввлентности при практических оценках этим различием можно пренебречь.

Из приведенного выше неравенства следует, что даже если вентнор невлзни г = Ь вЂ” Ах мал, относительные возмущения в решении могут быть большими, если сопб(А) велико (такие матрицы называют плохо обус ьовленнымн). 14.1. Доказать неравенство Цх — хЦ ЦЪ вЂ” ЬЦ ЦЬ вЂ” АхЦ ЦхЦ ЦЪЦ ЦЪЦ < сопб(А) — = сопб(А) 63 Г л а в а Л~. Матричные вычисления 14.2. Показать, что сопб(А) > 1 для любой матрицы А и сопбз Щ) = 1 для ортогональной матрицы Я. 14.3. Можно ли утверждать, что если определитель матрицы мал, ' то матрица плшш обусловлена? 14.4.

Пусть дана жорданова клетка порядка п: 1 а 0 ... 0 0 0 1 а ... 0 0 0 0 0 ... 1 а 0 0 0 ... 0 1 Вычислить сопд (А) и оценить возмущение в компоненте х1 ре-,. шения системы Ах = Ь, если компонента 6„вектора Ъ возмущена, на е. 14.5. Решается система Ах = Ь с матрицей 1 Ф 1 А= с е е, ф<1, Ф=-1. 1 е с После замены х1 = х~, хз = ехз, хз = ехз для нахождения новых: неизвестных х' возникает система А'х' = 6' с матрицей А'= Ф 1 1 В каком случае число обусловленности меньше? 14.6.

Пусть А = Ат > О, А(А) Е рп,М) и А ф ДЕ. Доказать, что( сопбз(А+ аЕ) монотонно убывает по а при а > О. 14.?. Существуют ли несимметричные матрицы, для которых:„ справедливо неравенство: сова~(А) = сопб(Аз) > 1? 14.9. Доказать неравенство 4 1 сопб~(А) и сопбз(А)— 14.9. Пусть 100 99 Доказать, что данны матрица имеет наибольшее число обусловлена ности сопдз(А) из всех невырожденных матриц второго порядшс е 14. Элементы теории возмущений элементами которых являются положительные целые числа, меньшие яли равные 100.

14.10. Пусть для некоторого 1 > а > 0 и элементов каждой строки 1 невырожденной матрицы А выполнено неравенство а)аи! > ~~ !а; !. Оценить снизу и сверху сопб (А), используя только диагональные элементы матрицы. 14.11. Пусть  — треугольная матрица размера и х и, у которой: 1) !гб! < 1 для всех е,у; 2) гп = 1 для всех 1. Найти максимально возможное значение числа обусловленности сопй (В) . 14.12.

Оценить снизу и сверху сопб (А), используя границы сингулярных чисел невырожденной матрицы А размера и х и: Л(АтА) е (а,ф]. 14.13. Оценить ссаспз(А) (и х и)-матрицы 2 -1 0 0 ... 0 0 -1 2 — 1 0 ... 0 0 0 -1 2 -1 ... 0 0 А= 0 0 0 0 ... 2 — 1 0 0 0 0 ... -1 2 14.14.Матрица Уилкинсона 20 20 0 0 ... 0 0 0 19 20 0 ... 0 0 0 0 18 20 ... 0 0 0 0 0 О ... 2 20 0 0 0 0 ... 0 1 имеет наименьшее по модулю собственное значение, равное 1.

Как оио изменится в результате возмущения первого элемента последней строки на величину е = 20 1е 20! е 5 10 т? 14.15. Пусть Š— единичная матрица и ))бЕ)! < 1. Показать, что матрица Š— бЕ невырожденная и выполнена оценка 1 )!(Е - бЕГ')! < 1- ))бЕ)! 14.16. Пусть Š— единичная матрица и ))бЕ)! < 1.

Получить оценку отклонения матрицы Е от матрицы (Š— бЕ) Г л а а а Л~. Матричные аычяслеяяе 14.17. Пусть А — невырожденная матрица и ОА 'еАО < 1. По. казать, что матрица А + ЗА невырожденная и выполнена оценка 'ОА 1!) 0(А+бА) 'и < 1 пА-,З цп 14.18. Пусть А — невырожденная матрица и ОА "ЮАО < 1. По.) лучить оценку отклонения матрицы (А+ ЮА) ' от А '. $ 14.19. Найти решения двух систем с близкими коэффициентами, / х+Зр = 4, '( х+ 3.000019 = 4.00001; / х+Зу = 4, '( х+ 2.99999у = 4.00001; и объяснить результат. 14.2(0.

Пусть А — квадратная матрица порядка и с элементамж $ а; = (р для 1 =1, 4 для1= 1 — 1, 0 для остальных индексов ). Вычи33 слить матрицу А 1 и показать, что при (д( < ~р( матрица А хорошеф обусловлена, а при )д! ) (р! и больших значениях и — плохо обусло-~ алена. 14.21. Пусть А определена как в предыдущей задаче. Выразится„': явно решение системы Ах = Ь через правую часть. 14.22. Доказать, что сопб(АВ) < сопб(А) сопб(В) для любой зач~ данной нормы в определении числа обусловленности и для любых ква 1 дратных матриц. 14.23. Пусть 0 1 ... 0 А„(а) = О 0 ...

1 а 0 ... 0 — матрица размерности и х п. Доказать, что характеристическое уравнение матрицы А„(а) имеет вид Л" = а. Сравнить собственные„ числа близких матриц Аэе(2 те) и Атэ(0). 14.24. Оценить снизу число обусловленности сопйэ А матрицы: 10 10 30 1 20 -400 1) А = 0,1 0.5 0.1; 2) А = 0.2 -2 — 20 О.ОЗ 0.01 0.01 — 004 — 02 1 1 15. Метод простой итерации 14.26. Система Ах = Ь, где 2(1+ 10-1о А= -1 10-ю 10-1о, Ь= -10-" 10-1о 10-1о 10-1о имеет решение х = (10 1о, — 1,1). Доказать, что если (А + Е)у = Ь, )Е~ < 10 в~А~, то ~х — у~ < 10 7. Это означает, что относительно малые изменения в элементах матрицы А не приводят к болыпим изменениям в решении, хотя сопй„(А) = 10'о. 14.26.

Получить неравенство сопй(А) > )Л (А)/Л~ш(А)~ для произвольной невырожденной матрицы А и любой матричной нормы, используемой при определении числа обусловленности. Верно ли, что если отношение соответствующих собственных чисел велико, то матрица обязательно будет плохо обусловленной? 14.27. Пусть п хи — матрица А такая, что ан > Я ~а; ~, а; < О, уии при 1 ф й Доказать, что матрица А ' имеет только положительные элементы.

14.28. Пусть и х и — матрица А такая, что ан > 2', ~ае~, а; < уии О, при,1 ф 1. Пусть, далее, С = А+ оЕ, о > О. Доказать, что (А 1);. » (С '); Уь',у. 15. Метод простой итерации Преобразуем систему линейных алгебраических уравнений Ах =Ъ с невырожденной матрицей А к виду (2) х = Вх+с. Если решение системы (2) находится как предел последовательности х" +' = В х" + с (3) то такой процесс называется двухслойным итерационным методом, или ме1подом простой итерации. При этом В называется оператором перехода. Справедливы следующие теоремы о сходимости метода.

Если йВО' < 1, п1о система уравнений (2) имеет единственное решение в итерационный процесс (3) сходшпся к решению со скоростью ееометрической проерессии. Пусть система (2) имеет единстпвенное решение. Итерационный процесс (3) сходится к решению системы (2) при любом начальном б? Г л а в а Л~, Матричные вычвслелвв нриблизеении тогда и только 1логда, когда осе собстпеенные значе.' нил ман»рины В но модулю меньше 1. Рассмотрим общий способ перехода от системы (1) к системе (2)., Всякая система х = х — Ю (Ах — Ь) (4) имеет вид (2) н при де»(Ю) ф О равносильна системе (1).