Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях (1032349), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В то же время всюсая система (2), равносильнгл (1), записывается в виде (4) с матрицей В = (Š— В) А '. Для систем со знакоопределенными матрицами метод (3) обычно строится в виде х»+~ — х» +Ах" = Ь, т т.е. В = Š— т А, с = т Ь.
Здесь т — итерационный параметр. 16.1. Пусть элементы матрицы В имеют вид Ь»1 — — 2~ 3 ~» В . До-, казать, что система х = Вх+ с имеет единственное решение и метод простой итерации сходится при любом начальном приближении. 16.2 При каких а, Д сходится метод простой итерации х»+» =;, = Вх»+с, где В= В с»,В 16.3. Привести пример задачи х = Вх+ с такой, что у матрицы В есть собственное значение Л вне единичного круга, но метод (3) ' сходится при неко1аором вача»ъном приближении.
16.4. Пусть матрица В в методе (3) имеет вид В=( 1, О<,Д<1. /а 41 Показать, что величина ошибки е" = х» — х в норме Й '6' начинает: монотонно убывать лишь с некоторого номера итерации Ж. Оценить М при с» = Дш1. 16.6. Пусть все собственные значения матрицы А вещественны и положительны: Л(А) ) О.
Доказать сходимость метода х»+~ — х» — +Ах" = Ъ т 68 при т = ЙАЙ» с любой матричной нормой. Для оценок собственных значений используется следующее утвер-:; ждение (теорема Гершгорина): «16. Метод простой лтералии Все сабе«поенные значения матрицы А принадлезсат объединению кругов ]г — ан] < ~~~ ]а«.], 1= 1,,п. 1«ы Ясли указанное объединение кругов распадаетпся на несколько свлзныя честней то казкдал такал часть содерзкит с«полька собственных значений сколько кругов ее составляют. 15.5. Доказать, что у матрицы все собственные значения вещественны.
Найти интерваяы, которым принадлежат собственные числа. 15.'Т. Пусть А — матрица простой структуры, т.е. подобна диагональной (А = Ч ~ЮЯ, где столбцы «1«матрицы Я есть собственные векторы матрицы А, а элементы диагональной матрицы В есть соответствующие собственные значения, т.е. д«« = Л;), и все Л(А) б 1т, М], т ) О. Доказать, что метод х»+« — х» +Ах» = Ь т 2 сходится при О < т < †. М 15.8. Пусть матрица в системе Ах = Ь имеет внд Доказать, что метод простой итерации х"+' = (Š— тА)х» + тЬ сходится начиная с любого начального приближения при О < т < 2/5. 15.9.
Пусть матрица системы является симметричной и положительно определенной (это означает, что Л(А) й [т, М], т > О). Для циклического итерационного метода длины Ф вида х»+» — х" +Ах" = Ь т» с параметрами ты тз,..., ть«, ты... требуется найти их оптимагьвые последовательности, т.е. минимизирующие норму ошибки за весь Цикл. 69 Г л а в а 1У. Матричные вычясленив 15.10. Пусть все собственные значения Л невырожденной ма,' трицы А порядка и нзвестны.
Построить нтерационный метод с., переменным параметром то, который не более чем за о шагов при-',. водил бы к точному решению системы Ах = Ъ. 15.11. Пусть у задачи Ах = Ъ с матрицей простой структуры:, имеется одно отрицательное собственное значение Лз Е [ — 2 — е, -2+ е], 0 < е « 1, а остальные — положительны: Л; 5 [1,3[, з = 2,...,п.
Предложить. итерационный метод для решения такой системы. 15.12. Для решения системы х = Вх+ с рассмотрим алгоритм с. некоторым начальным приближением хо: яьы = Вх" +с, хо+1 = ахз+(1 — а)из+~. Пусть Л(В) е [ш, вв), ш > 1. Найти оптимальное значение итерационного параметра а. 15.13. Построить квадратную матрицу А размера 31х 31 с эле-.' ментами [аб[ < 1 и собственными значениями [Л(А) [ < 1 такую, что:. [[Азо[[ > 10о 15.14. Для системы Ах = Ъ с матрицей А = Ат > О, Л(А) 5 Е [пз, М[ рассмотрим метод наискорейшего спуска х"+' = хь — ао г, аз = (гь,го) (Агю гь) Здесь гь = Ахь — Ъ вЂ” невязка на й-й итерации. Доказать справед-' ливость неравенства для ошибки [[х — х'[[з < (1 — — ) [[х — х [[з.
М 15.15. Пусть собственные числа симметричной матрицы В таковы, что Л1 = -Лз и [Л1[ = [Лз[ > [Лз[ » .... [Л„[. Построить аналог Оз — процесса Эйткена ускорения сходимости итерационного процесса хо+' = В хо + с. 15.16. Пусть А — невырожденная матрица размера и х и и Хо — произвольная и х и матрица.
Рассмотрим итерационный процесс::. Хз.4.1 = Хо + Хь(Š— АХо), й = О, 1,... Доказать, что 1ш1 Хо = А тогда и только тогда, когда спектральз-+ее ный радиус матрицы Š— АХо меньше 1. При этом Š— АХо =,' 70 1 15. Метод остой итерации = (Š— АХе)э, й = О, 1,.... Доказать также, что если АХе — — ХеА, то АХ» = ХьА для всех й. 15.17.
При каких значениях параметра т метод х +' = (Š— тА)х + тЬ для системы уравнений Ах = Ь с матрицей: 5 08 4 2 1 05 1)А= 2.5 2 0; 2)А= 3 5 1 2 08 4 1 3 3 1 0.5 0.3 3 1.2 0.8 3) А = 1 3 0 ; 4) А = 1.4 2 0.1 1 1 2 0.6 0.4 1 сходится с произвольного начального приближения? 15.18. Пусть собственные числа матрицы А таковы, что Л1 1е т -1, Ль 6 [1,5] для всех й > 1.
Написать сходящийся итерационный процесс простой итерации для системы Ах = Ь. 15.19. Пусть А = А' > О. Написать наилучший по скорости сходимости итерационный процесс вида хе+1 = хь — Р1(А)(Ах" — Ъ), Р1(1) = а1+ ~3. 15.20. Пусть итерации метода хе+1 = Вх" +1, ЦВ~~ < 1, сходятся к решению х' системы уравнений Ах = Ь. Доказать, что Цх" — х*Ц < Ц(Š— В) 'Ц Цх"+1 — х"Ц. 15.21.
Пусть итерации метода х"+' = Вхь+1, ЦВЦ < 1, сходятся к решению х' системы уравнений Ах = Ь. Доказать, что Цх' — х'Ц < ЦВЦ'Цх' — х'Ц+ ЦВЦ" Ц1Ц/(1 — ЦВЦ). 15.22. Пусть А = Š— С, с1 > О, у1 > О. Доказать, что если решение х' системы Ах = Г неотрицательно, то итерации метода ха+1 = Сх" + 1, хе = О, сходятся к х'. 15.23. Пусть  — трехдиагональнзя неразложимая матрица, у которой сумма модулей элементов в строке удовлетворяет условию и ~ ~511~ < 1, 1 = 1,2,...,о, причем строгое неравенство выполня1=1 ется хотя бы в одной строке.
Доказать, что итерационный метод х"+1 = Сх" + Г сходится. (Неразложимая матрица не может быть 71 Г л а в а ГК Матричные вычисления 1/4 1/8 1/16 ... 1/2" 1/2"+' 0 1/4 1/8 ... 1/2" ~ 1/2" 1/4 0 1/4 ... 1/2" з 1/2" з 0 1/4 В = 1/8 15.26. Построить сходящийся метод простой итерации для системы уравнений с матрицей 1 05 О 0 ...
0 0 0 2 05 0 ... 0 0 0 0 1 0.5 ... 0 0 0 0 0 2 ... 0 0 0 0 0 0 ... 1 0.5 0 0 0 0 ... 0 2 15.27. Пусть емез,...,е„— базис пространства К". Доказать: сходимость с любого начального приближения следующего итершп~-, онного метода (метода оптимального координатного спуска) для си-- стемы уравнений с невырожденной матрицей А: ь ~ ь (Š— Ахь,Ае ) .. (У вЂ” Ах",Ае~) 'ОАеДз ' ю ОАе~Ц 15.28. При каких условиях итерационный метод хьы = (2А~ — Е)х" + 2(А — Е)% сходится быстрее метода простой итерации х~+' = Ахь + У? 15.29. Пусть Л и е — собственное число и соответствующий.' собственный вектор матрицы простой структуры А, хе — началь-' ное приближение в методе простой итерации для решения системы Ах = Ъ. Написать шаг метода простой итерацвв так, чтобы в разложении по собственным векторам ошибки метода на первой итерации,' коэффициент при векторе е был равен нулю.
72 приведена к блочно треугольному виду перестановкой одноименных строк и столбцов). 15.24. Найти область значений итерационного параметра т, при„:: которых итерационный процесс х"+~ = (Š— тА)хь + тЬ сходится,:. если Ве(Л(А)) > б > О. 15.25. Исследовать сходимость метода хь" ~ = Вхь + у для реше. ння системы уравнений с матрицей 1 1б. Методы релаксации 16.
Методы релаксации Представим матрицу системы Ах = Ь в виде А = Т + Р + В, где Р— диагональная матрица, Т и  — соответственно левая нижняя и правая верхняя треугольные матрицы с нулевыми диагонеллми (строго нижняя и строго верхняя треугольные матрицы). Будем предполагать, что все диагональные элементы ан отличны от нуля, и, следовательно, любая матрица вида Р+ т1 с произвольным параметром т обратима. Методы Якоби, Гаусса — Зейделя и релаксации записываются в виде: Р ивы + (Е+ В) хь = Ь, (Р + Х ) х"+1 + В хе = Ъ, (Р+тй)х + +(тВ+(т — 1)Р]х" = тЬ.
Здесь итерационный параметр т называется параиешром релакса- ции. 16.1. Найти области сходимости методов Якоби и Гаусса — Зейделя для систем с матрицами вида А= Р а 13 16.2. Доказать, что для систем линейных уравнений второго порядка (и = 2) методы Якоби и Гаусса — Зейделя сходятся и расходятсл одновременно. 16.3. Пусть невырожденная матрица А обладает свойством диагонального преобладания, т.е. для всех ( справедливо ~а;Я < д~а;;~, о < 1. аеу Тогда для ошибки в методе Гаусса — Зейделя имеет место неравенство Йх — х" Й < д" бх — хоб 16.4. Исследовать сходимость метода Гаусса — Зейделя для матриц с элементами: 1) аьб =3 73 Г л а в а 1У. Матричные вычислелия 2, я=у, 2) аь1 = -1, ]я — Я =1, О, ]й-у] >1.
71 а~ 16.8. Система Ах = Ь с матрицеи А = ~ ( решается мето- ]' ],а 1] дом Гаусса — Зейделя. Доказать, что: если ]а] > 1, то для некоторого начального приближения итера- ',;, ционный процесс расходится; если ]а] < 1, то итерации сходятся при любом начальном прибли- '-, жении. 16.9. Показать, что существует система уравнений третьего по- .'~ рядка, для которой метод Якоби сходится, а метод Гаусса — Зейделя:) расходится. 16.10. Показать, что существует система уравнений третьего порядка, для которой метод Гаусса — Зейделя сходится, а метод Якоби, расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
