Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях (1032349), страница 12
Текст из файла (страница 12)
16.11. Доказать, что обобщенный метод простой итерации х~+' — х" В +Ах" =Ь, т А = Ат > О, бес(В) ф О, т > О, т 7 Т сходится при условии  — -А > 0 ~(Вх, х) > -(Ах, х) Ых ~ 0) . 16.12. ПустьА = Б+ Р+ й', где  — левая треугольная, а Р— диагональная подматрнцы А. Доказать, что метод релаксации сходится с любого начального приближения при т Е (О, 2). 74 ! 16.5. Показать, что выполнение неравенства 0 < т < 2 является " ' необходимым для сходимости метода релаксации. 16.6.
Пусть матрица А простой структуры имеет собственные значения А(А) Е (ти, М], т > О. Доказать, что при любом положи. '! тельном значении итерационного параметра т сходится метод следу- ' ющего вида: х~+~ — хь /хь" + х" '~ т 1, 2 Определить оптимальное значение т,~~. 16.7. При каких а Е (О, 1] для матрицы из предыдущей задачи ". метод х~+' — хь +А(ах + +(1 — а)х") = Ь сходится~при любом т > О? 5 15. Методы релаксации 16.13. Пусть В = Х + ХХ, где Х вЂ” нижняя треугольная матрица с нулями на диагонали, У вЂ” верхняя треугольная матрица. Пусть далее ~ОВ~О < 1, так что итерационный процесс х"+' = Вх" + Х сходится. Доказать что метод хе+~ = Х х "+~+ХХх" +Х также сходится.
16.14. Для системы уравнений г.2 л 4иц — и;~~< — и; 74 — и;,<+~ — и;,; ~ — — 5 Л~, 1 у =1,2,...,п — 1; п5=1; ие,* = псе = ип,а = вся = О, 1 = О, 1, ..., и написать расчетные формулы и найти асимптотическую скорость сходимости следующих итерационных методов: 1) метода Якоби; 2) метода Гаусса — Зейделя; 3) метода верхней релаксации с оптимальным параметром релаксации; 4) Чебьппевского циклического итерационного метода с длиной цикла 8. 16.15. Исследовать сходимость метода Якоби для решения системы уравнений с матрицей 2 -0.2 0.3 0.4 03 -3 1 — 14 0.4 0.8 4 2.4 -0.5 1.2 — 2.5 -5 16.16. Найти а, ~9, при которых метод Гаусса — Зейделя будет сходящимся для систем уравнений с матрицами: 0 а 0; Р а 0; о 13 В 16.17.
Пусть матрицы Ао 1 = 1,2, простой структуры имеют собственные значения Л(А;) Е [ш, М], т ) 0 н А~Аз = АзАЬ А = = А~ + Аз. Доказать, что при любом положительном значении параметра т сходится итерационный метод следующего вида для решения системы уравнений Ах = Ь: х"+'Хз — хь + А~х~+'7з + Аехь = Ъ; т ьы а+~!г + А~х"+~7з + Азхь"' = Ь. т 75 Г л а в а 1Ч. Матричлме вмчислевия Определить оптимальное значение т,рь. 16.18. Доказать сходимость итерационного процесса из предыдущей задачи, если матрицы А1, Аг удовлетворяют следующим уело.,' виям: А1Аг уе АгА1, (А;х, х) > 0 Дла г = 1, 2. 16.19.
Пусть матрицы Аь г = 1,2, простой структуры имеют ! собственные значения Л(А;) Е (пг,М], пг > 0 и А,Аг = АгА1, А = = А, + Аг. Доказать, что при любом положительном значении итерационного параметра т сходится итерационный метод следующего вида для решения системы уравнений Ах = Ь: хь+1/г хь + А1 х "+11г + Агх" = Ъ; т хЬ+1 — хЬ+1/г +Аз(хь+1 — х ) = О.
т Определить оптимальное значение т,р1. 16.20. Доказать сходимость итерационного процесса из предыдущей заиачи, если матрицы А1, Аг удовлетворяют следующим условиям: А1 Аг ф АгА1, (А;х, х) > 0 для г = 1, 2. 16.21. Показать, что если матрица А = М вЂ” гт' вырожденная, то нельзя получить р(М 1Ф) < 1 ни для какой невырожденной матрицы М. 16.22.
Доказать, что если итерации Мхь+' = Жхь + Ь всегда сходятсл, то р(М 1гт') < 1. 16.23. Пусть А1 = 112 1, Аг = -1/12 1 Пусть В1 и Вг — соответствующие зтим матрицам операторы перехода в итерационном методе Якоби. Показать, что р(В1) > р(Вг), т.е. опровергнуть мнение о том, что усиление диагонального преобладания влечет за собой более быструю сходимость метода Якоби.
17. Задачи на собственные значения Степенной метод вычисления максимального по модулю собственного значения матрицы А имеет вид: (хь+1, х") х ~0; х"+ =Ахь, Л"+ = ' ', Й=0,1,2,... 11хь11гг Е 17. Задачи ва собетвеввые эиачевив (Предполагается, что х» ~ 0 при всех й > 1. ) 17.1. Пусть А — матрица простой структуры (собственные векторы еже», ..., е„матрицы образуют базис в С" ). Пусть далее !Л ! = !Л1! > !Лз! > !Лз! » .. Л„и Ь вЂ” линейная оболочка ею ез,, е„. Доказать, что в случае симметричной матрицы для степенного метода при условии хе (е Ь справедлива оценка л'=л +о(!л (л !'»).
1Т.2. Доказать, что при хе р Ь для степенного метода справедливо соотношение Л» = Л1 + О(!Ле/Л1 !»). 17.3. Пусть А — симметричная матрица с собственными значениями Л» в 5, 1 < Л; < 3 при е = 2,3,...,п. Построить итерационный процесс вида х»+1 = (А+ сЕ)х", с = сове», Š— единичная матрица, для получения Л1 с наилучшей при данной информации скоростью сходимости. 17.4. Пусть А — симметричная матрица с собственными значениями Л1»е 1, 1 < Л; < 3 при 1ев 2,3, ...,и. Построить итерационный процесс вида х»+' = (А+ сЕ)х", с = сове», Š— единичная матрица, для получения Л» с наилучшей при данной информации скоростью сходимости. 1Т.5.
Собственные числа симметричной матрицы А удовлетворяют соотношениям Л1 ~ 5, -1 < Л; < 3, 1 = 2,3,...,п. Выбрать постоянную с так, чтобы итерационный процесс (х»+',х») х»+1 = Ах» + сх», Л» = — с+ ' (х», х») давал нанлучшую информацию о Л1. 17.6. Пусть и х и матрица А имеет и различных собственных значений. Предположим, что хе принадлежнт линейной оболочке некоторых собственных векторов е;„е;„...,е;„но не принадлежит никакой их линейной подоболочке.
К какому собственному значению матриц)я сходятся итерации степенного метода и с какой скоростью? 17.7. Пусть А — симметричная и х а матрица, Л б В, х Е Ке — произвольные число и вектор, причем !)х!!е = 1. Доказать, что существует собственное число Л» матрицы А, для которого !Л» -Л! < < !!Ах — Лх!!з. 17.8. Показать, что для максимального и минимального собственных чисел симметричной матрицы А справедливы оценки: Л„,ьч(А) < ш)п аи, 1<1<» Л (А) > шах ап. 1<в<в Г л а в а 1Ч. Матрячяые вычисления 17.9. Пусть задана матрица А е С""" с собственными значенн ями (Л;). Показать, что для их абсолютных величин имеют месте"'.
оценки (Ах, х)! 1(Ах, х) хяо (х,х) ~ ' х~о1 (х,х) даже если А не является зрмнтовой. 17.10. Доказать, что у вещественной трехдиагонаоьной матрицы ' Ь1 с1 0 0 ... 0 0 оз Ьз сз 0 ... 0 0 О аз Ьз сз " 0 0 о о о о ... ь„ О 0 О О ° Яв Ьп все собственные значения вещественны, если аьыс;>О, 1=1,2,...,п — 1. 17.11. Доказать, что у трехдиагонзльной матрицы Ь| с| 0 0 ... 0 0 Ьз сз 0 ...
0 0 0 аз Ьз сз . 0 0 А= о о о о ... ь„ о о о о ... „ ь„ )Ль(А) ) < 1 Ис, если ~ац + ~ь;! + Ц < 1 Ч1, а1 = с„= 0 и если хотя бы;„. для одного значения индекса ~ неравенство строгое, а а;+~с~ ~ О, 1 = ( =1,2,...,п — 1. 17.12. Доказать, что для квадратных матриц А, В одинакового3 размера спектры матриц АВ и ВА совпадают.
17.13. Пусть А и  — матрицы размера щ х и и и х тп соответ- ) ственно, щ > п, Рс(Л) = бес(ЛЕ-С) — обозначениехарактеристиче- ( ского многочлена квадратной матрицы С. Доказать справедливость ,', равенства Рлв(Л) = Л™" Рвл(Л) . у 17.14. Доказать, что если матрицы А и В коммутируют, то су-, ществует собственное число Л(АВ), равное произведению собствен- '~. ных чисел Л(А)Л(В).
1 17. Задачи на собственные значения 17.15. Доказать, что если А — симметричная и положительно определеннал матрица, а  — симметричная матрица, то все собственные числа Л(АВ) матрицы АВ вещественные. 17.16. Доказать, что если А,  — симметричные и положительно определенные матрицы, то все собственные числа Л(АВ) матрицы АВ положительные. 17.17.
Доказать, что если А — симметричная и положительно определенная матрица, а  — симметричная матрица, то система собственньпс векторов матрицы АВ полна. 17.18. Пусть А — симметризуемая матрица, т.е. существует не- вырожденная матрица Т такая, что ТАТ ' — симметричная матрица. Доказать, что система собственных векторов матрицы А полна. 17.19. Доказать,что если А, — симметричныеи положительно определенные, коммутирующие матрицы, то матрица АВ положительно определена.
17.20. Доказать положительную определенность матрицы 05 1 1 1 1 25 3 3 1 3 45 5 0 0 0 0 ... Ь„ ~ с„ 1 1 3 5 7 ... 2п — 3 1/2(4п — 3) 17.21. Доказать положительную определенность матрицы 2 -1 1/2 -1/3 -1 3 -1 -1/2 1/2 -1 4 2 -1/3 -1/2 2 5 17.22. Доказать положительную определенность матрицы 3 -6 24 15 17.23. Пусть обе матрицы А,Ат е К""" имеют строгое диагональное преобладание и положительные диагональные элементы. Доказать, что А положительно определена. 17.24. Построить пример симметричной положительно определенной 3 х 3 матрицы, трехдиагонаяьная часть которой не является положительно определенной. Г л а в а 1К Матричные вычислеиив 17.25.
Доказать, что если А,  — симметричные ц х и матрицы, то необходимым и достаточным условием равенства АВ = ВА явля-,"" ется существование базиса в пространстве К", составленного из об. ' щвх собственных векторов матриц А и В. 17.26. Пусть А = Ат > О. Доказать, что Л~~~~(А) = шахВл(х); Л,я„(А) = пппВл(х), (Ах, х) где Вл(х) = — отношение Рзлея. (х, х) 17.27. Пусть А = Ат > О. Доказать, что если Л (А) = айй прн некотором 1 < й < ц, то айй = айу = О прн всех 1 ~ й, 1 ~ й. 17.28. Доказать, что если для некоторого 1 н прн всеху выполняются неравенства (ап — а11~ > С~а;й~+~~~ ~а «~, то в области ~Л вЂ” ан) < ~ ~о;й~ лежит точно одно собственное знв йфу ченне матрицы А.
17.29. Доказать, что каждое собственное значение матрицы А (. лежит по крайней мере в одной нз следующих областей: ~Л вЂ” анЦЛ вЂ” а11~ < ~~~ ~а;й~~) ~ауй~, 1~61. йин й~у 17.30. Доказать, что каждое собственное значение матрицы А лежит по крайней мере в одной нз областей: в ь-а ~Л вЂ” ан~ < ~~~ ~ачй~ ~~~ )ауй), 1~1, а е (О,Ц. 17.31. Пусть а Ь О О ...
О Ь а Ь О ... О А„(а,Ь) = О О ... Ь а Ь О О ... О Ь а — матрица размера п х а. Доказать следующие равенства: 1)бейА„+д(аЬ) = адейА„(аЬ) — Ь с$еСА„й(а,Ь), и > 2; 80 1 17. Задачи на собственные значении ггг гА„Ы,Ы= (( /г - гз74-И) и+1'г — (!г-ггЗтг-~) ) гг 'Зтг-и. гг; (и/2) 3) беСАи(о, Ь) = ~~ С~~++1~(а /4 — Ь )~(а/2)" 1», Ь > 1. 1Т.З2. Пусть матрица А„(а, Ь) определена как и в предыдущей задаче. Найти все ее собственные чксла и собственные векторы. 1Т.ЗЗ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
