Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях (1032349), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Решение и» раэностной схемы (3), (4) сходится к решению и дифференциальной задачи (1), (2), если существуют такие постоянные Ьо, с и р, что для всех Ь < Ьо выполнено неравенство !Ни)» — М!п„< с Ь, где с, и р не зависят от Ь. Число р называют порлдком сходимости разностной схемы, при этом говорят, что разностное решение и» имеет порядок точности р. Теорема (о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости).
Пусть выполнены следующие условия: 1) операторы Ь, 1 и Т~, 1» — линейные, 2) решение и дифференииаяьной задачи (1), (2) существует и единственно, 3) разностная схема (3), (4) аппраксимирует дифференииальную задачу (1), (2) с порядком р, 4) ревностная схема (3), (4) устойчива. Тогда решение ревностной схемы и» сходится к решению и дифференциальной задачи с порядком не ниже р. Поскольку для многомерных задач порядок аппроксимации по разным переменным может быть неодинаковым, порядок сходимости по разным переменным также может быть различным.
Если аппроксимация и (или) устойчивость ревностной схемы условные, то 103 Г л а в а И1 Решеяве диффервщкальших авяеяий сходимость имеет место только при тех соотношениях между ша. гамп сетки по разным переменным, при которых выполнены условия аппроксимации и (или) устойчивости.
Требование устойчивости является необходимым условием сходимости. Рассмотрим наиболее распространенные методы построения разностньпс схем. 1. Метод неопределенных коэффициентов. Пусть имеется трехточечный шаблон (три расположенных подряд узла сетки хь ы хь, хье1 ) и требуется найти разностный оператор 1ь, локально аппроксимирующий дифференциальный оператор Ь на функции и в узле хь. Для нахождения неопределенных коэффициентов а 1, ао,а1 с помощью формулы Тейлора вначале находятся коэффициенты при и(х), и'(х), и" (х),... в выражении (~.( ).-(ь ).И.=., = = (а 1и(хь ~) + аои(хь) + ади(ха+~) — (ьи)ь)! щ Затем приравнивая к нулю коэффициенты последовательно при иь, иь, и~~ и т.д., приходим к системе линейных алгебраических уравнений, решая которую находим а мое, а~.
Порядок аппроксимации определяется после подстановки их найденных значений в первый ненулевой коэффициент при производных в точке хь. 2. Интегро — интерполяцнонный метод. Рассмотрим его на том же шаблоне для уравнения и + и = у(х) . Проинтегрируем уравнение от хь 1 до хь44. хв+~ ля+1 1 1 У 1 2Л вЂ” (ил+1 — иь ~) + — ~ ис(х = — / У(х) Их . 2Л,/ 2Л / Фй-1 Фь ь Заменяя интегралы, например, по квадратурой формуле Симпсона, получаем разностное уравнение 1 1 1 — (иьь1 — иь 1)+ — (иьч.1+4иь+ил 1) = — (~ьч.1+4уь+уз 1) б 3. Интегральное тождество Марчука. Для задачи -(а(х) и') + 6(х) и = у(х), 0 < х < 1, и(0)=и(1)=0, 0<ос<а(х)<а1, 0<Ь(х)<61, 104 О 23. Методм построения реэностнъйх схем где а(х), 6(х), У(х) имеют конечное число разрывов первого рода, построение ревностной схемы основываетсл на интегральном тождестве, которому удовлетворяет решение исходной задачи *1+6 + +» 1+ (Ьи — У)Их = Ей+1 ей й ей Ей-1 Ей+1 Е ей е — (Ь.-У) Ь+ .,' — (Ьи-У) Ь.
Е1, Ей Ей-1 Ей+1 яе ей ('р.) й» = У а11Р; нз системы линеиных алгебраических уравнений Аа = 6, где ай=(й"1р;,1р ), 6;=(У1р;), й У=1,№, 1"1» — размерность (У») . Если последовательность (У») полна в (У, то ) 1пп й» = И. »- о В качестве бозисных функций у," в простейшем случае испольэ ются кусочно — линейные. Для произвольной сетки а = хо < х1 < У « ...
х„= Ь они имеют внд х1 — х » — при О < х < х,, 'ро(х) = хй — хо О прихй <х<х„; 105 Здесь в целях экономии места у каждого слагаемого отброшен множитель вида 2/(х»+1 — х» 1). 4. Метод Ритца. Если оператор Ь вЂ” самосопряженный и положительно определенный, то равносильны две задачи: а) нахождение решения задачи У и = У в гильбертовом пространстве У со скалярным произведением (, ); б) нахождение И б У, минимизирующего функционал ,7(и) = (1и,и) — 2(и,У) . Для нахождения й строится последовательность (1У») конечномерных надпространств пространства У с известным базисом (1р,").
В каждом ((У») находится элемент И», минимизирующий,7(и) в (У»). Для этого достаточно найти коэффициенты а; разложения И» по Г л а в а 7П. Решение диффереяпиапъеых ураеяееий О »р (х) ы х хе-» ( х„— х„» прихе <х<х„ при х„» <х<х„; при х»» < х < х;, х» — х»» х»чп — х »е;(х) = при х» < х < х»е», при остальных х х»е» — х» для» = 1,..., п — 1. 5. Метод Галеркнна. В отличие от метода Ритца, метод Галер- кина не требует самосопряженности и положительной определенно- сти оператора Ь из задачи Ьи = у. Для нахождения решения й в каждом из конечномерных подпро- странств Ц, отыскивается элемент йь такой, что для любого иь Е Уь справедливо (» йь — 1,еь) = О.
Соответствующие коэффициенты а» разложения йь по базису подпространства Уь определяются из си- стемы уравнений, имеющих тот же вид, что и в методе Ритца. Отли- чие состоит в том, что а» = (Ьф»р,"). 6. Метод аппроксимации функционала. В этом методе ми- нимизируемь»й функционал » (и) заменяется приближенным функци-, оналом,уь(у). Пусть на отрезке [а,'е) введена сетка хь, й = О, и.
То- ' гда производные в функционале заменяются конечными разностями, аинтегралы — квадратурами. Например, (1ь»рь — Уюеь) = О, й = О,и. 23.1. Привести пример последовательности сеточных функций . (»р") из семейства пространств (Фь), которая сходилась бы к 106 и мы, таким образом, приходим к задаче минимизации приближен- '. ного функционала,»ь(»р) . разностная схема получается приравнива- '" нием к нулю величин дул(д»рю й = О, и. 7.
Метод сумматорного тождества. Аналогично методу ап- ' проксимации функционала интегральное тождество (Ьи — у, е) = О . заменяется сумматорным тождеством (Ььуь — Ушел) = 0 для л»обого иь. Так как в конечномерном пространстве векторы еы й = О, и .: образуют базис ( й-я компонента вектора еь равна 1, остальные— нулю), то ревностная схема получается из системы уравнений 23. Методы построения оствых схем ьго = и(0), <р„= и(1), 1 = Х, и — 1, Ь == 1/и, а и принадлежит одному из пространств С,СО),С®,С1в~,С(пх'~? В качестве [[ 4„взять [[ [[ .
Существуют ли функции и(х), к которым (~рь) сходится с бесконечным порядком? 23.3. Справедливы ли равенства: и(х + Ь) — 2и(х) + и(х — Ь) 1) Иш ь~о и(х+ 2Ь) + и(х) и(х) + и(х — 2Ь) Ьг — Ьпг ь- о 2) 1ш1 и(х + Ь) — и(х — Ь) ь-+о 2Ь и(х + 2Ь) + и(х) и(х) + и(х — 2Ь) 2 2 2Ь вЂ” Ьш ь-+о если и(х) Е СОВ? 23.4. С каким порядком дифференциальная задача — +2исовх = совх+вш(2х), х Е [О,Ц, и(0) = О, <Ь аппроксимируется рвзностной схемой +а; =Д, ус=О, 1=0,,п — 1,6=1/и, Ь ' 2 если в качестве области определения /ь используется Рь=(хв+г?г, 1=0,и — Ц, х; =гЬ, х;~.~,г — -х;+Ь/2, 107 некоторой функции и Е Ф, если в качестве нормы Ф» взять г/г Ь Я (Ог~ ) ), и расходилась, если в качестве нормы Фь принять ьг ша К[. 23.2.
Сходится ли последовательность сеточных функций ( рь) к функция и и с каким порядком, если Г л а в а 711. Ратеяве лв еревлиаеьвых вввеввй а величины а; и Д определены как 1)а» = совх„+ соех»»», Л = — '+-'(яш(2х )+еш(2х+,)); 2)а» = 2 соя х», у» = совх»».» + еш(2х»ча); 3)а» = 2сое»с»».»,,У» = совх»+» + з(п(2х»+»)? 23.5. С каким порядком дифференциальная задача »»и — +2иоозх =созх+вш(2х), х Е [0,1[, и(0) = О, аппроксимяруетсд ревностной схемой 'Р»+» 'Р»»Р»+» +»Р» Ь +а 2 =Л, Ре=о, 3=О,й1,а=1/и, если в качестве области определения уь используется .Оь — — (хо» = О,п — Т), а величиг[ы а» и»г„оцредеяеиы как: 1)а» = сов х + сов х»~», Л = 1~ + 1~ (еш(2х;) + еш(2х»+»)); 2)а» = 2созя:;, у» = созх;+е(п(2х»)? 23.6.
Для дифференциальной задачи »1аи -- — + аи = соек, х Е [О,я[, а > О, »Ы и(0) = О,и(х) =1, на трехточечном шаблоне с постоянным шагом построить схему десятого порядка ашгроксимзции. 23Л. Для дифференциальной задачи — — =у(х), хе [0,1[, »Ри и(0) = а, и(1) = Ь, и Е С(41 на трехточечном шаблоне с переменными шагами сетки построить разностные схемы первого и второго порядка аппроксимации.
23.8. Для диф»реренциальной задачи »Ь вЂ” + си = у(х), с = сопзс, и(0) = а, 1 23. Методы построения развоствых схем янтегро — ннтерполяционным методом на трехточечном шаблоне с постоянным шагом построить схему четвертого порядка аппроксимап;ии. 23.9. Для дифференциальнон задачи — — + си = /(х), х Е [О, 1]> с > О, аи и(0) = а, и(1) = Ь, интегро — интерполяционным методом на трехточечном шаблоне с постоянным шагом построить схему четвертого порядка аппроксимации. 23.10. Для дифференциальной задачи — — ~а(х) — ] = 1, х Е [О, 1], И/ йюл и(0) = и(1) = О, а(х) = построить разностную схему с помощью интегрального тождества Марчука. 23.11.
Дана дифференциальная задача ааи — — + си = /(х), х 6 [О, 1], и(0) = и(1) = О. При каких с для решения этой задачи применим метод РитцаУ 23.12. Для дифференцнзльной задачи — — ~а(х) — ! =1, хб[0,1], и(0) =и(1) =О, а(х) = (2 ' 4< 1 3/2, О < х < х/4, построить разностную схему методом Ритца, взяв кусочно — линейные функции в качестве базисных. 23.13. Указать такую разностную схему, аппроксимируюпбао дифференциальную задачу — — = /(х), х б [0,1], али и(0) = и(1) = О, Г л а в а УП. Решеяве двффереецваеьвых равнений со вторым порядком, которая при каждом й представляет собой сн.' стему линейных алгебраических уравнений с положительно опреде.
ленной матрицей. 23.14. Для дифференциальной задачи — — ~а(х) — ) + Ь(х) и = Дх), х Е [О, Ц, И Г Ии'1 и(0) =и(1) =О, а(х) >О, Ь(х) > О, на равномерной сетке построить ревностную схему методом зппроксимацни функционала. 23.16. Для дифференциальной задачи И / Ж1 — — ~а(х) — / =1, хб(О,Ц, ( 1, 0 < х < я/5, ~ 1/3 /5 « * 1 построить разностную схему методом Гелеркина, взяв кусочно — линейные функции в качестве базисных. 23.16. Для дифференциальной задачи — — +а — +си=1, хб(О,Ц,с>0, ааи йь и(0) =и(1) =1, построить ревностную схему методом Гахеркина, взяв кусочно — линейные функции в качестве базисных. 23.1Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
