Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях (1032349), страница 19
Текст из файла (страница 19)
28.5. Если и — гармоническая в ограниченной области Ю функди д ция и à — ее граница, то ) — ЫГ = О, где — — производная по г дп направлению внешней нормали к границе Г. Сформулировать и доказать аналог этого равенства для решений ревностного уравнения Ььу;4 ьчд181у;Л+дздзу;„~ =О, 1<1< №, 1 <7 < Жз, в прямоугольной области, покрытой равномерной сеткой с шагом Ь. 28.6. Написать разностную схему для уравнения Ь и = у с аппроксимацией О (Ь4) . 28.Т. Для уравнения Ь и = 7' построить аппроксимацию с порядди ком О (Ьз) граничного условия — — аи = О на прямой х1 = О, дх1 используя минимальное количество узлов.
28.8. Для уравнения Ь и = У построить аппроксимацию с порядди ком О (Ь4) граничного условия — — аи = О на прямой х~ — О, дх1 используя минимальное количество узлов. 28.9. Пусть в прямоугольной области, покрытой равномерной сеткой с шагом Ь, следующим образом определен ревностный аналог оператора Лапласа Ььус ьз Э~дауд'+ дзд у 4, 1 < 1 < №, 1 < у < Фз. Показать, что если Ььу; <О привсех 1<1<№, 1<у<Из, то в этом случае наменьшее значение достигается функцией у;, . хотя бы в одной точке границы, т.е.
при 1 = О или 1 = № + 1, либо при 1 = О или у = Фз + 1. 28.10. Доказать, что если в терминах предыдущей задачи справедливо неравенство Длу;, )О привсех 1<1<№, 1<у<из, то наибольшее значение достигается функцией усз хотЯ бы в одной точке границы.
127 Г л а в а И1 Р««пение диффеРеиниельимл УРаеиеивй 28.11. Пусть в прямоугольной области, покрытой равномерной сеткой с шагом Ь, разностный аналог оператора Лапласа б "р«,; вз д д рьр + д дер«,, 1 < «< ~~„1 < у < ~Ч„ определен на сеточных функциях р;, ьв рь, обращаюпп«хся в ну, на границе, т.е. ири « = О, Ф«+ 1 и при .у = О, «Уз + 1. Доказать, что оператор -Ь является симметричным, положительно определенным ь в обычной евклидовой метрике, и для него справедлива оценка . (р,рь) < ( — д "р,р ) <се(рь,рь), где постоянная и«) О и не зависит от сеточного параметра Ь, а постоянная сз может быть положена равной 8/Ьз. 28.12. Показать, что для решения методом Гаусса дискретного уравнения Пуассона «1ьрь = уь с однородными условиями Дирихлв на границе ( см.
предыдущую задачу) при естественной нумерацни неизвестных требуется выполнить количество арифметических действий, равное по порядку О (Ь «) . 28.13. Упорядочить неизвестные в предыдущей задаче так, чтобы количество арифметических действий для решения методом Гаусса дискретного уравнения Пуассона стало равным по порядку О (Ь з). 23.14. Считая систему базисных функций ~р«, уз,..., у„заданной, выписать систему уравнений метода Ритца для задачи д / да~ д / ди1 — ~ад(х,р) — ) + — (аз(х,р) — ) = у(х,р) в Р, дх ~, ' дх) др (, ' др,) и=О на Г.
28.15. Пусть в единичном квадрате Ю задана регулярная (»се. веро — восточная») триангуляция с шагом Ь и в качестве базисных функций ~РыФз ", р» используются кусочно — линейные над треугольниками функции. Выписать систему уравнений метода Ритца для задачи Ьа = у(х,р) в Ю, и=О на Г. Ответы, указания, решения 3.1.
1) йз(х) = 2х +в+2; 2) Ьз(х) = в+2. 3.2. хе при р=0, ...,и — 1, х" — щ,(х) при р=в. З.З. Пусть п = 3. В ланов формуле ые(х) = (х — а) (х — — ) (х -6) а+Ьз 2 ) сделаем стандартную замену перемышых о+ь ь — о х= 2 + 2 У, где Уб[-1,1]. В результате получим УЬ- оз' юзЬ) =( — ) Ь вЂ” у). 12! Точни звстремума нубичесного многочлева уз — у ва [-1, 1] разны соот- 1 зетстзевно у< и = ш —. Следовательно, Гз' [[ыз(х)[[ = [ызЬ<д)[ = (Ь вЂ” а) 12,/З Рассуждал аналогично длл и = 2 и в = 4, получаем [[ыз(х)[[ = 1 [[4в)4(х)[[ = (Ь вЂ” а) (Ь о)4 3.4. 1) р= 3; 2) р= 2.
ЗЛ. Использовать выпуклость фуннцви >их и представление погрешности (ио не оценку погрешности !). 4! З.З, Поскольку ~<4>(х) = — -и- [[ ц(х)[[ ы 1, длл оцевли погреш- (А' — х)е ности змеем 4~ (1з )ь = (4з 1)е- Следозателыю, [А[ ) 3. 129 Ответы, ЗЛ'. Покажем сначала справедливость пытующего предстазлевил: 4нь(х) о "" = (* - *') .(* ) ' Действительно,поскольку е п '-(х) =2.П(*-*) ь=1/ 1 и при х и х<,, л ф 1 каждое пз провэзедею%й под знаком сунмирозазэщ обращаетсз з пуль, .'(ю) = П(*'-*) э 1 эю Без сгравичевнл общности можно считать с = О, т.е.
х; = -х„еь-, 1 = 1,...,в. Рассмотрим теперь пару свппемык вэ общей формулы мнсгочлена Лагражна, соответствукизэ(ц разным,эпачевивм фуюашн 1» п Уь+~-ь длл полвторого Й. После зьпысевик одинакового числового м ножигелл эа скобку получим еь (х) (х) Ь, + У( =Уз шь(х) - юв(х) (х — хь)а4(хб) (и+ иь)м'„('-хь) + Длв четного и фувкциа ьь,(х) — четнаа, а ее,проюподнал м„'(х), соответственно, — нечетнаа. Поэтому.выражение в кзадратвык скобкак ири. пинает вкд м (х) 2хь хэ -хэ ы„'(хь)" лзлаась, очевидно, четной функцией.
Аналогично длл нечетного в фувкциа еь,(х) — нечетваа, а 'ее произзодвал и„'(х), соответственно, — четйак, п выражение з квадратвык скобках прввимает ющ иц„~ж~"'' 2х .г л „.,, (х)' что также лзлаетсл четной функцией. Отметим, что з данном случае х = 0 лазаетсл узлом ввтерполлцвн с номером й = (и+1)/2, и у этого слагаемого кет пары. Но ово само — четко, и зтц,замечание завершает доказательство.
З.З. По определеюпо вспомогательные мвогочлевы (и — 1)-й степевв Ф~(р), 1 = 1,...,и обладают сзойртзрм Ф;(рь) и бь. Положим з формуле длл Ф;(х), обладающей теми же сзойстзамв, х =.. х(р). линейное преобразование не меюшт степени,'мвогочленз Кроме' того, Ф~(хь) 130 = Ф[(а(рь)) ' Ф»(рь) = Ю»ь, т.е. даа мыио»зева (» — 1)-й степеик сом»адают в» тачках. Отсюда саедует ю1 токдествеииое соападею»е, и, саедоватезыю, равенство ховстаат Лебега АЫ'1[ к А[ "!.
Тахз»ы об1жюнз веакчвзю Ав ие записи'г о'г давим и распоиаз»еииа От рею1а квтерыыацик [е, Ь), а опредеааетса тольао вэзвмвь»м распозощещаем уазов. 3.3. По овредеаевюо А иа отрезав [1, ») амане а Аа юах ~~» «Е[1,«[ 1 1 11 М»» Аа ~ 1 т (»-1)! ) 4(» — фч»»а — 1 ~-' (1 — 1)! (» — 1)! 3.10. Пусть сирааедзюю верааевство в П[*-у[ (- «ар.а[ 1 1 »а1 Тогда вз ревекка аредыдущей задачи инеем в я 1 -.„,.„,К,1 „,;,.и -'- «е[1.«! 1 1 »Ю — 1)[ ~С„',=К2", К=-,'. 1 1 131 Отнетвм спркаедаквость соатвовекий а в »! П[4-й[-(1- )(--')' ПО- ~»-,~.-- 21/»' 1 [ 1 Фей первое из которых очеввдио, а второе вохазываетса по ввдухции. Теперь е их п»ваацью проведем оцеаху свезу даа Лв: а 1 3 «а[1«!~«~~ (1-1)!(» 1)! П х«(1-1)[(» — 1)! П !2 ! '»е[ »Е1 (вспоаьзоваио верааевст1ю шах [7(а)[ > [Д(3/2)[).
аа[1.а! Даа оцеиак проваведеива в правой части продеааем преобразование: П !2 ! [1-1[П!2 ! 2[1- у[ П !2 ! 4(» — й)1~а-1 И у р (К 1). О*вегас, азавиа, реаюввл Доназнем вспомогательное неравенство с поммцью спецвааьной параметризацви аргумента х. Пусть х и й+1, где й — целое. Прв 2 < й < и-1 будем предполагать, что [1[ < 1/2; при й = 1 параметр Ф принимает значение вэ отрезка [О, 1/2], а прв й = и — из [-1/2,0].
Отметим равенство п П]х — /[ = ) . ~(1+1)...(З+й — 1Н1 — 1)...( — й — 1). $ й — з+1 з з мп При з > О справедншы неравенства: (з + 1) ...(з + й - 1) < й., (1 - з) ...( - й - з) « - й)~, а при з < 0 — соответственно: (1+1)...(З+»-1)«»-1)1, (1-1)...( -й-З)<(и»+1).. ~ <1, »$(и — й)! <(и — 1)!, 1<й<и 1.—;.— $ прююднт [к искомому неравенству. Оценка доказана 3.11. хз = -с, хз = О, хз = с, где с — провэвольное число вз отрезка [з/3/3, 1]; Аз = 5/4. В 4.1.
1) Сзедствием трвгонометрвческого тождества соа ((и + пз)О) + соа ((и — т) О) = 2 соа(иО) соз(шп) И;,(х)Т„,(х) =Т+ (х)+Т„(х), и>пз>0, вэ которого при и = пз следует исаомое. 2) Половим х = сов п, тогда 4х = -аш щЩ и 1 ( ) ( )И 2(Ф +Ф+ )' з Т„' — зш(и азссоа х) 3) Поскоаьну —" =, полагаа х = сов О, имеем и -~/1 — х~ 1 / 1 , 1 , ~ вп((и + 1)О) — ав((и — 1)п) 2япц 2соа(иО)мпО =Т (х) 2впЮ 132 у еш евка теперь искомое равенство спрааедлвво с точиостью до постолииой, кото'. рую легко опредемггь, так как Тв(-1) = (-1)в. 4) Нвюсредстзевпо двфферевцвроваввем аычискеетсе Тв(х); папомвим, что (агссоех)' = -(1 — хэ) Ыэ. х (2ш — 1) 4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
