Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях (1032349), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если зто не оговаривается специально, то в приводимых ниже задачах сетка выбирается равномерной по обеим переменным х„, =п1Л, п1=0,х1, ...; 1„=пг, п=0,1, ..., а для сеточной функции и в точке (х, 1„) используется обозначе- ние и,"„. 26.1. Определить порядок аппроксимации разностной схемы и и „+1 и +,+а г и п ап т+1 т-1 2Л 26.2. Для однородного уравнении с оператором переноса при а(х, 1) = соней построить схемы первого и второго порядков аппрокСниацнн (ЕСЛИ Зта жянажиа) На ШабЛОНЕ НЗ ТОЧЕК (Х,„, 1»), (Х»„1 ~1), (х +1,1„) при условии т = тЛ (1 = сопеФ).
26.3. Для однородного уравнения с оператором переноса при а(х,с) = 1 построить схему с порядком аппроксимации 0(тз, Лл) на шаблоне нз Деснти точек: (х,»ыз, $1), (хп»-1 11), (х,„, $ь), Й = п,а+1. 119 Г л а в а тП. Ретенне дяфференляаеьтех а»ясней Ьь и = ~~ Ьы и +, = О. в Ч ~ и+ь лх Ищем частные решения схемы в виде ив = (Л(~р))" е' Спектральный признак устойчивости ревностной схемы формулнруется следующим образом: если прн заданном законе стремлення т н Ь к нулю существует постоянная с < оо такая, что для всех у справедлнво неравенство ~Л(~р)~ < е то схема устойчива н может быть применена длн численного решешш соответе1твующей задачи Коши для уравнення оп = у . 26.4. Исследовать с помощью спектрального признака устой пь вость разностной схемы прн постоянном коэффициенте а в+1 п в и ит — ит ит — и„", ~ т +а Ь 26.5.
Исследовать с помощью спектрального признака устойчнвость ревностной схемы прн постоянном козффяцненте а «+1 п и и -" — и:" -~=о +а 26,8. Исследовать с помощью спектрального признака устой повесть разностной схемы прн постоянном коэффнцненте а Ь и+л — ив+и 2 в 2 в в Ьз «+1 в в в ит иив от+1 ит-1 2Ь 28.Т. Исследовать с помощью спектрального прнзнака устойчнвость разностной схемы прн постоянном коэффициенте а ив+1 и ив+1 ив+1 ит изв + и»1 т-1 т Ь 120 Спектральный признак устойчнвостн.
Ревностные схемы для однородного уравнения переноса с постоянным коэффнцнентом а можно записать в виде 1 27. Параболические урааиеиил 26.8. Исследовать с помощью спектрального признака устойчивость разностной схемы при постоянном коэффициенте а в+1 в в+1 в+1 и,в — и„, и,в+1 — ип, 1 +а =О. т 26.9.
Исследовать с помощью спектрального признака устойчивость ревностной схемы при постоянном коэффициенте а в в в+1 Фв+1 т 1 ~пв в +а + =О. 2Ь 26.10. При каких д Е [О, 1) устойчива схема в+1 в в в в в Олв Ош 6 1в+1 ~пь ° ° юь Опз-1 26.11. Для уравнения переноса ди дп — +а — = У(х,С) дС дх построить двухслойную схему порядка аппроксимации: 1) 0(та, Ь); 2) 0(т, Ь~); 3) 0(т~, Ь~); 4) 0(т, Ь) . 27. Параболические уравнения Построение и исследование ревностных схем для уравнений в частных производных параболического типа традиционно проводится в открытой полуполосе Р = ((х, С): 1 > х > О, С > 0) на примере простеюпего уравнения теплопроводности ди дао Ри = — — — = у(х,С) дС дха с начальным условием и(х,О) = ио(х) при С = 0 и краевыми условиями о(0, С) = о(1, С) = 0 при С > О. 121 Г л в в в 741.
ре 1еяне ди вреяцнельоых урвонеевй Предполагается что начальная функция ио(х) удовлетворяет крае вым условиям. Отметим, что в общем случае на любом из концов отрезка краевое условие может быть задано в виде линейной комбинации функции и производной си+ Ьи~ = с. Тогда необходимо обратить внимание на способ его аппроксимации, Характерная особенность параболической задачи —.смешанный тип данных: краевые усяовия по х и начальные по 1.
Поэтому исследо. ванне аппроксимации такое же как и в гиперболических уравнениях, а исследование устойчивости — принципиально другое. 2?.1. При каком соотношении т и Ь схема ии+' — ии п1 п~ Иив 1 — 2ит+ нов+1 имеет порядок аппроксимации О (тг, Ь4)? 2Т.2. При каких д ревностная схема и,в Ип| О иув — 1 иув + ию+1 Ит — 1 2и1в + и1в+1 и+1 и Ив+1 2ип+1 п+1 и и п п Лг Ьг имеет порядок аппроксимации О (тг, Ь4)? 24.3. Определить порядок аппроксимации схемы 1в п1 + ~и т 12 т 1и +1 — и,+1 6 п+1 п +— 12 т 6 1 (и"+1 2 ~ 2ии+ +Ив+1 1 п 21 и + и Ьг + Ьг Будем называть схему устойчивой в равномерной мегприке, еап$ имеет место неравенство Йи"и' < с Йи"И'+ игах бу"'и' 122 Анализ устойчивости схем в равномерной метрике. Опре.
делим норму сеточной функции ии на и-м временном слое следующнм образом: 1!и" 1~ = 1пах ~и" (, 1 27. Параболические уравнения где с не зависит от шагов сетки т и Ь, но может линейно зависеть от величины Ф. Ислв зто особо не оговаривается, то сетка считается равномерной по обеим переменным хпз=п1Ь~ п1=0~1, ... ~М~ МЬ=1~ Фв=вт, в=0,1~ а для сеточной фуякцви и в точке (х,г„) используется обозначение ив. При исследовании устойчивости схем с краевыми условиями первого рода важную роль играют сеточные функцви у~ =ош(ятиЬд)' ш=1,...,М вЂ” 1, о=1,...,М вЂ” 1, являввциеся решениями задачи на собственные значения " +' „","+" ' =-Лд„, р,=ум=О, Ь=ЦМ. С вх помощью можно постровть частные решения вида и" = Ь~р~, = Ьв о1п(яп1Ьч), ш= 1,...,М вЂ” 1, д = 1,...,М вЂ” 1, удовлетворяющие однородным краевым условиям.
27.4. Исследовать устойчивость явной схемы л+1 в в в в в т Ь з + в 2Т.б. Исследовать устойчивость неявной схемы в+1 в л+1 ъ в+1 в+1 и„, -и„, и„, 1 — 2в„, +и + т 3 Ь +У 2Т 6. Первая краевая задача для однородного уравнения теплоди дои преподнести — = — аппроксимируется явной двухсловной схемой дс дхз и и ит 1 — 2в,+и,+1 в+1 в в в л в т Ьз иО =ие(П1Ь), ил=иМ=О Уа>0.
Определить порядок сходвмости решыия ревностной схемы к решет вию дифференциальной задачи при различных р = —. Ьз' Г л е в а УП. Решевве двффереацивиьяых ураввелвв 2Т.Т. Доказать, что явная схеме Пв+1 Вв «» «» ",-г "»~, Ь1 г в~- — пв =0 Чп>0, т пе в (щЬ) — т(Ь1 — 1/2 неустойчива, если Йп~ = оо. пь-Фе г 2Т.О. Исследовать устойчивость схемы О«+1 Пв-1 «г «» в «в в и«»-1 2п«» + вг«+1 2г Ьз 2Т.О. При каквх д б [О, 1) схема будет устойчивой? ди дев 2Т.10.
Уравнение теплопроводности — = — аппроксимир1в дФ дхх ется схе1юой Д1офорта — Франкела (схемв "ромб" ) в в-1 в+1 в и„,+1 — и„, — игв + Вгв 1 В«+1 Вв-1 гв «» ди дев дзп — + с' — = —. а аз дхз 2Т.11. Для параболического уравнения построить схему нвивыо. шего порядка аппроксимации на шаблоне вз точек (Хгвв1»1 )г (Х»в»1 )г Й П»П+ 1 2Т.12. Для параболического уравнения построить схему наввысшего порядка аппроксимации на шаблоне из точек (Х Х1,$"), (Х»«,11), Ь=о — 1,П,П+1.
2Т.13. Для параболического уравнения построить схему наивыс. шего порядка аппроксимации на шаблоне из точек (Хгв 1»»" 1), (х +1,»"+1), (Х~,Фь), Ь = и — 1,п,п+ 1. 124 Выяснить условия ее устойчивости и показать, что если Ь -+ О, т -+ О так, что — = с;Е О, то эта схема аппроксимврует гиперболическое уравнение 28. Эллиптические еввя 2Т.14. Для параболического уравнения построить схему наивысшего порядка аппроксвмации на шаблоне вз точек (впав-1юГ+ )е (хек+1~1" )з (Х~в~1 )з Й = и — 1,о,п+ 1.
2Т.15. Исследовать устойчивость ревностной схемы в., 1-2о' +~4,+1 и1+1 — в1 1 2т ри р у ее=в~ =01=01,.... 2Т.16. Исследовать устойчивость ревностной схемы ау+1 — оу-1 и'+ — 2ву+1 + ву+ Вев ~ев вв-1 Вю ив+1 при краевом усювии и~о = вем = О, у = О, 1,.... 2Т.1Т. Исследовать устойчивость разностной схемы Вп -1 Вт — Вюв + В~ +1 1 1+1 1-1 ее+1 — в1 1 2т при краевом условии иу = ием = О, у = О, 1,.... 2Т.18. Исследовать устойчивость разностной схемы в„, 1 — 2в, +в~+1 1 1+1 и1+1 и5-1 пю т 2т при краевом условии иее = ием = О,,у = О, 1, 11 = ((х, у): Х > х > О, У > у > О) иа примере уравнения с переменными коэффициентами -.бв - =— ~ (х у) — ) + — ~ з(х,у) — ) = У(х,у) ох |, Ох,1 оу ~, Оу) с однородными краевыми условиями первого рода о(О,у) = и(Х, у) = 0 при У > у > О, о(х, О) = и(х, 1') = 0 при Х > х > О.
12$ 2 28. Эллиптические уравнения Построение и исследование ревностных схем для уравнений в частных проюводвых эллиптического тапа в простейшем случае проводится в области прямоугольной формы Г л а в а 771. Решение д Ролллаоолмх уроовеввй Наиболее употребительным цри этом является случай уравнения Пуассона: дги дги -Ьи ьз — + — = Дх у). — дхг дуг Отметим, что в общем случае на любой стороне црямоугольввка кра.
евое условие может быть задано в виде линейной комбинации функции и производной аи+ Ьи' = с. Тогда необходимо обратить внимание на способ его аппроксимации. Типичным примером эллиптического оператора четвертого порядка является бигармовический оператор: д'и д'и д'и ~1г гв — + 2 — +— дх4 дхгдрг д94 Для него краевое условие может содержать линейную комбинацию производных неизвестяой функции до третьего порядка вялю пь тельно. ( Особенность постановки эллиптических задач — наличие талые краевых условий.
Поэтому исследование аппроксимации производится как для гиперболическвх и параболических уравнений, а исследование устойчивости аналогично случаю разностных схем для линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. 28.1. Используя значения функции и в центре Ао и в верпщнох Аь правильного и-угольника со стороной Ь, получить аппроксимз цию оператора Лапласа Ьь и в центре многоугольника. Оценить ее порядок для различных и. 28.2. Описать все девятиточечные ревностные аппроксимацвв оператора Лапласа Ь" и(хм хг), имеющие вид 1 Ьг [аоои(хм хг) + аюи(хг + Ь, хг) + а-гои(хг — Ь, хг)+ аоги(хмхг + Ь) + оо ги(хмхг — Ь) + аыи(хг + Ь, хг + Ь) + аг — г .и(хг+1,хг — Ь)+а ыи(хъ — Ь,хг+Ь)+а г ги(хг — Ь,хг — Ь)], где ац не зависят от Ь, и обладающие вторым порядком аппроксв- мации, т.е. Ьои(хыхг) Ьи(хмхг) =0(Ьг) пРи иЕ С~41.
126 28. Эллиптические уравяевня 28.3. При каких значениях параметра с оператор л" из предыдущей задачи будет отрицательно определенным? 28.4. Построить тринадцатиточечную ревностную аппроксимацию бигармонического оператора Ьз, использующую узлы (х1, хз), (х1 ~ Ь,хз),(хмхз ~ Ь),(х1 ~ 2Ь,хз),(хыхз ~ 2Ь),(х1 ~ Ь,хз ~ Ь), (х1 х Ь, хз ~ Ь), и оценить погрешность аппроксимации на функциях и б С~~~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
