Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях (1032349), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Тогда частное решение ищется в виде рд = Й и (Вд(й) соз Вй + 2) (й) зш ~3Й), (*) где в = О, если а и ~3 не являются одновременно модулем и аргументом корня характеристического уравнения, и е равно кратности этого корня в противном случае; 1 = шах(пд, и) — степень многочленов В(й) и Т(й). Чтобы найти коэффициенты этих многочленов, надо подставить выражение (е) в неоднородное уравнение и приравнять коэффициенты при подобвьзх членах. Напомним этот алгоритм в простейшем непрерывном случае: р — у = е*, н уо(х) = Сде*+Сзе *, у~(х) = е*(Ах+В), 1 ро — р = 2А е* = е* ~ А = — ~ у(х) = Сз + — х) е* + Сз е *. 2 2 ) 21.1.
Найти частное решение уравнения 2рд — уд+1 = 1+ 2Й вЂ” Йз. 95 Г л а в а И'. Раэвостяые равиеяил 21.2. Найти частное решение уравнения й 2уй — уй+» — — 12 . 21.3. Найти частное решение уравнения 2уй — уйе» = зшй. 21.4. Найти решение задачи уй~» — Ьуй = ай, уо = 1 (а, Ь ф 0) . 21.б. Найти решение уравнения с переменными коэффициентами Уйе» вЂ” ЬУ» = 2» Ы, й > О. 21.6. Решить нелинейную задачу Уй Уй+»= ! Уо=1. 1+уй' 21.Т. Найти решение нелинейного уравнения 1 Уй+» = —. 2-уй 21.8. Найти решение задачи 1 у+,-и,,=„—,, у,=О, у,=О. 21.9.
Репжть нелинейное уравнение 1 уй+» = 2 — — > Уо = 2 ° Уй 21.10. Найти частное решение уравнения Уй-» Уй+Уй+» = ~ ) 8 4 ~2) 21.11. Найти частное решение уравнения -12уй-» — Уй+ У»а» = 4 й ~ 22. Фундаментальное решение 21.12. Найти частное решение уравнения 111" -брй, + 17р»+Зр,+, = ~-) ~З) ' 21.13. Найти частное решение уравнения бу»-й — 5уй + у»+й = 2 й 21.14. Найти общее решение уравнения 5 уй — й — уй + у»+1 = соей.
2 21.15. Найти общее решение уравнения 4у» й — Зуй — 2р»ей + у»ел = й. 21.16. Найти общее решение уравнения у»+й + р» — бу»-й + Зуй-л = 1. 21.17. Найти общее решение уравнения у»+й — 2р» — Зуй й = зшй. 22. Фундаментальное решение и задачи на собственные значения Фрндамеишалйиым решением Сй называется решение ревностного уравнения пор»+а»у»+»+. +а„уй+ =~» с правой частью уй = бой, где ГО при й~п, 5» 1 прий=п. 22.1. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения ау»+Ьрй+й =бе.
й 22.2. Пусть )а/Ь| ~ 1, ~Я < Г, а О» — ограниченное фундаментальное решение уравнения а уй + Ь уй+1 = у» . 97 Р л а о а 7?. Розностяыо уравнения Показать, что частным решением этого уравнения является сходя щийся ряд уй= ~~ бй- у . 1 % ~ 22.3. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения уй-1 — 2уй+уй+1 = ос. й 22.4.
Найти фундаментальное решение уравнения уй-1 — уй+уй+1 = оо й 22.5. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения уй-1 — -Уй+Уй+1 = йо. й 2 22.6. Найти все Л, для которых разностная задача = — Луы уо=уй1=0, 6=1/Ф, Уй+1 — Уй-1 28 имеет нетривиальные решения.
22.7. Найти все Л, для которых разностная задача уйе1 — 2уй+уй 1 йг =-Луы уо=у1о =О, о=1у1У, имеет нетривиальные решения. 22.8. Доказать, что решение задачи уй-1 — 2 уй + уй+1 = Ь уо = а, ум =,8, удовлетворяет неравенству Фо п1ах ~уй~ ( шахца~, ф) + шах ~Я 22.9. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения уй+1 — 8уй + Оуй-1 = 4о . й 22.10. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения 18 й Зуй 1 — — Уй+уй+1 = со ° 2 оя г 22. Фуидемеятаеьиое решенье 22.11. Найти ограниченное фундаментаеьное решение уравнения з ь -Уь-г — -Ув+Уь+г = бо.
8 4 22.12. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения Уь+г — Уь — 12уь-г = бо ° ь 22.13. Найти все решения задачи на собственные значения уьег — 2уь+Уь г Лг АУь Уо У1 Ую Уи г Й 1/Ж' 22.14. Найти все решения задачи на собственные значения Уь+, — 2уь + У, , дум Уо = Уг, Ук = О, Ь = 1/Ф. 22.1$. Найти все решения задачи на собственные значения Уьег — 2 уь + уь йг г =-1уь уо=б уи=уи-г 8=1Р' Глава УП Решение дифференциальных уравнений Постановки задач. Пусть в области Р с границей Г задана дифференциальная задача с граничным условием !и =1о на Г. Здесь Ь и 1 — дифференциальные операторы; У и у — заданные, а и, — искомый элементы некоторых линейных нормированных пространств г, Ф н У соответственно. Если одной вз переменных является время $, то рассматривают области вида Р(8,х) = И(х) х [со,Т), где Ф вЂ” время и х = (х1,..., ж,) — совокупность пространственных координат.
Зто означает, что решение ищетсл в пространственной области д(х) на отрезке времеви [1о, Т]. В этом случае условия, заданные при $ = Фо, называют иачальиыми, а условия, заданные на границе Г(х) области д(х), — еракичиыми, няи краееыми. Задачу, у которой заданы только начальные условия, называют задачей Коши. Задачу с начальными и граничными условиями называют смешаикой краевой задачей.
Если сформулирована задача, не зависящая от времени, и заданы граничные условия, то ее называют красе ой. Для решения сформулированных задач наиболее часто используется разиосткый ма|вод. 100 1 23. Методы построение ратяостяых схем 2 23. Методы построения разностных схем Разпостпый метод.
Для применения разностного метода определяют некоторую се1нну — конечное множество точек (узлов) Р» = = Р» О Г», принадлежащее области Р = Р и Г. Как правило, Гл С Г. Будем рассматривать только сетки, узлами которых являются все точки пересечения заданных наборов параллельных прямых (плоскостей), причем по каждой переменной выбирается свой постоянный шаг. Сеточный параметр Ь является, в общем случае, вектором, компоненты которого состоят из шагов сетки по каждой переменной. Для юучения свойств рззностных схем вводится понятие велнчины шага сетки, в качестве которого принимается какая-либо се1ночнае норма вектора Ь, например, 1/3 !!Ь)! = ша Ь1 !!Ь!! = ~ Ь,.
1(1(е 1=1 где и — число переменных в дифференциальной задаче. Чтобы избежать новых и ненужных для существа дела обозначении, в прнводимых виже оценках под Ь понимается величина шага сетки, Если Х С У и функция о определена на множестве У, то ее следом на множестве Х называют функцию, определенную на Х и совпадающую там с е. Если функция о определена на некотором множестве У, содержащем У», то ее след на У» будем обозначать (е)». Часто пространства гл, 1У» и Ул определяют как пространства следов функций ю г', Ф и (У на Р», Гь и Рл соответственно. При этом используются соеласоеаннме нормы пространств, т.е. для достаточно гладких функций е б У выполняется соотношение Нш )! (о)» !!т„= !! о !!т .
(3) (4) Ьлнл = 1'л в Рл, 1»ил = у» на Гл. 101 Все производные, входящие в уравнение и краевые условия, заменяются разносшными аннронсиманнями. При записи этих аппроксимаций в некотором внутреннем узле сетки берется одно и то же количество соседних узлов, образующих строго определенную конфигурацию, называемую шаблоном. В результате дифференциальные операторы Ь и 1 заменяются разностными Ь» и !» . Для нахождения приближенного решения задачи (1), (2) определим разнос1нную схему — семейство ревностных задач, зависюцих от параметра Ь: Г в а в а УП. Ревмвие Лифферевииаалвых ураввевий Решение ревностной схемы ил, называемое разиосшимм, принима..' ется в качестве приближенного решения дифференциальной задачи.: Аппрокснм;ация. Говорят, что рвзностная схема (3), (4) аппроксимируеш с поря:дком аппроксимации р = ппп(р1, рз) дифференциал».
ную задачу (1), (2), если при любых гладких функциях и, у, у суще. ствУют такие постоЯнные Ьо, с1, Р1, сз и Рз, что Длв всех Ь < Ье выполняются неравенства !!Т л(и)л — (У)л!! и„+ !!(У)л — Ул!!р, < с1Ьв', !!1»(и)л — (р)л)!о„+ !!(у)л — рл!! „< азу', где с1, р1, сз и рз не зависят от Ь.
Выражения, стоящие под знаком норм, называют погрешиосиими аппроксимаиии. Оператор Ь» нз (3) локально аппроксимируеш в точке х; дифференциальный оператор Ь кз (1), если длв достаточно гладкой фунт»- ции и б У существуют такие положительные постоянные Ьо, с и р, не зависящие от Ь, что при всех Ь < Ьо справедливо неравенство !(~л(и)л — (~и)л)!,-„.! < сЬв. Число р при этом называется порядком аппроксимации. Аналогично определяется порядок локальной аппроксимации оператора 1л. Широко используется также понятие аппроксимации на решении. Говорят, что ревностная схема (3), (4) аппроксимируеш иа решении и с порядком аппроксимации р = шш(р~,рз) дифференциальную за- ДачУ (1), (2), если сУЩествУют такие постоанные Ьо, с1, Р1, сз и Рз, что для всех Ь < Ьо выполняются неравенства !!Ьл(и)л — Гл!!р„< с1Ьв', !!1»(и)л — ц~л!!о„< сзЬш, где с1, р1, сз и рз не зависят от Ь.
Порядки шшрокснмаций обычно оценивают при помощи разло. жения в ряды Тейлора. Порядок аппроксимации разностной схемы может быть разный по разным переменным. Если погрешность аппроксимации стремится к нулю при любом законе стремления шагов по различным переменным к нулю, то такая аппроксимация называется безусловной. Если же погрешность аппроксимации стремится к нулю при одних законах убывания шагов и не стремится к нулю при других, то аппроксимацию называют условной.
лстойчнвость. Разностнав схема (3), (4) устойчива, если решение системы ревностных уравнений существует, единственно и непре- ., рывно зависит от входных данных ~л, ул, причем эта зависимость 102 1 23. Методы построения ревностных схем равномерна относительно величины шага сетки. Это означает, что для каждого е ) 0 найдутся Ьо и б(е), не зависящие от Ь, та' кне, что !!и~ — и„~!! < е, если Ь < Ьо1 !!Д, — Д~ )!! < б и !!4'- »"!! <б Для линейных схем определение устойчивости имеет вид !!.О'-"'"!!, — !Ф'- '"!!,„'"!!'"'- '"!!.„ где с1 и сз — постоянные, не зависящие от Ь. Устойчивость называется безусловной, если зти неравенства выполняются при произвольном соотношении шагов по различным переменным.
Если же для выполнения неравенств шаги должны удовлетворять дополнительным соотношениям, то устойчивость называется условной. Непрерывную зависимость по у» называют устойчивостью по правой часп1и, а непрерывную зависимость по <р» называют устойчивостью по граничным условиям. Если рассматривается смешанная краевая задача, то устойчивость по граничному условию при $ = Фо называют устойчивостью по начальным данным Сходимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
