Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 7

Доказать, что при а > 2/(Ь+ 1) суммарная погрешность удовлетворяет соотношению В(/) яь Р(а, Ь)/Ил, Р(а, Ь) ~ О. Проверить, что Р(а,Ь) > Р(Ь). 2 9. Метод неопределенных коэффициентов Из явного вида оценок погрешностей для квадратурных формул Я„(/) интерполяционного типа следует, что они точны для многочленов Я(х), по крайней мере, степени п-1, т.е. для У = Я„-ь(х) имеем Я„(/) = 1(/) . Поэтому если ин'- ь тегралы вида р(х)х 4х вычисляются просто, то коэффициенты с; а квадратуры могут бъьть вычислены вз решения системы линейных уравнений 1(хь) = Я„(хь), Ь = О,..., и — 1. Из условия точности квадратурной формулы на функциях заданного вида можно получить уравнения (в общем случае нелинейные) не только на коэффициенты, но н на узлы квадратуры.

Кеадрешурвмььа Фореьулави Чебышева называются квадратуры с одвнаковыми коьффипнентами, т.е. ь о Г Я„(/) = с~ /(хь), где с= — / р(х)бх. и ь=ь Их построение заключается в нахождении узлов хь из условий мак- симальной алгебраической степени точности. 39 ~ 9. Метод леолредеееяяьух уаяуффилзмяч"и точна чна для алгебраических многочленов степени 2а — 1. 9.7. Показать, что квадратурнзл формула е-1 У.(УУ = „- 1. У ('†„ ) у=о для вычисления интегралов вида ~У) = У(х) б* е точна для всех тригонометрических многочленов с периодом ы степени не вылив и — 1. 9.8. Пусть Т вЂ” треугольник на плоскости, А, В, С вЂ” середины его сторон. Показать, что квадратурная формула ~ у у*у д* — уту ууууу + уув) .~ у (Су) 3 т точна длл всех полиномов второй степени вида ае+а~х1+азхз+амх1+апхухз+атз з.

3 хз ЗДЕСЬ Х = (ХМ ХЗ), <Ь = ИХ1аХЗ. 9.9. Пусть П вЂ” прямоугольник на плоскости, А, В, С, Р— середины его сторон, Š— центр прямоугольника. о ольника. Показать, что квадратурная формула у уу у ю — ущ уууА) «ууеу .~уусу +у(еу .~ 2ууеуу б и точна для всех алгебраических многочленов от двух переменных третьей степени. 9дб. Пос роить квадратурнууо формулу Чебьппева с тремя узламн для вычисления интегралов вида: 2 1 о о 1У1 УУ*УО; 2)~УУ У~*; 3) ~У(*)й; 4) ~ УУ )и .

о е -1 41 Г л а в а 1П. Чнслевиое юггег овавне 9.11. Для вычисления интегралов вида: 1) хз У(х)<Ь; 2) х /(х)й-, 3) сое(х) У(г)й-, 4) (х+ 2) У(х)<Ь построить квадратурную формулу вида с1/(0) + сзУ(хз), точную длл, многочленов максимально возможной степени. 9.12. Построить квадратурную формулу вида 1 ) /(х)ах и с1/(0) + сзу(2/3), о 1 /(х)дх т с1/(1/2) + сз/(2/3), точную для многочленов максимально возможной степени.

9.14. Для вычисления следующих интегралов построить квадра *'-: турные формулы вида Я(/) = с1 У(0) + сз/(хз), точные для многочле-::, нов наиболее высокой степени: о 3 е х~/(х)4х; (х + 1)/(х)4х . 9.15. Найти козффнпненты квадратурной формулы /(х)Их я: с1/(О) + сз/(1/2) + сз/(2), о точной на многочленах максимально возможной степени. 9.16.

Построить квадратурвую формулу вида е */(х)ах м с1/(а) + сз/(Ь), /- О точную для многочленов максимально возможной степени. 42 10. Квадрат яые мулы Гаусса 9.17. Определить параметры сь,сз,хз так, что квадратурная ь формула у(х)41х в сьу(а) + сзУ(хз) будет точна на многочленах е максимально в4зьможной степени. 1 9.18. Для вычисления интеграла хзу(х)дх построить квадра- -1 турную формулу'вида ЯЦ) = сьу(-1)+ сто(хз) + сзУ(1), точную для многочленов максимально высокой степени.

9.19. Построить квадратурную формулу по четырем равноотстоащнм узлам 1 (Х)ах Ж С1 4 (Х1) + СЗ4 (ХЗ) + СЗ1 (ХЗ) + С41 (Х4) I Ф максимальной степени точности. 10. Квадратурные формулы Гаусса Рассмотрим следующую оптимнзационную задачу. При заданном числе узлов п построить квадратурную формулу а Я У)=~; Лхс) 4=1 для вычисления интегралов вида Щ) = р(хЦ(х) ах, О точную для многочленов максимально высокой степени.

Весовая функция р(х) здесь предполагается почти всюду положительной. В этой постановке имеется 2п свободных параметров (узлы хь и коэффициенты с; неизвестны), поэтому можно попытаться построить квадратуру, точную для многочленов степени 2п — 1. Легко убедиться в том, что не существует квадратуры с и узлами, точноя для всех многочленов степени 2п.

Действительно, возьмем Рз„(х) = = (х — х1)з "(х — х„)з. Тогда 0 = Б„(Ръ,) ~ ЦРз ) > 9. Важную роль при построении формул Гаусса играют ортогонааьвые многочлены на отрезке [а, Ь) с весом р(х) > О. Они могут быть 43 Г л а в в 1П. Численное вя ванне получены, например, в результате стандартной процедуры ортого- ' наяизации, примененной к системе (1,х,..., х",...), при скалярном . произведении ь (у,д) = р(х)у(х)д(х) дх .

О Пусть на отрезке [а, Ь] имеется система ортогональиых многочле-; нов с весом р(х) (1,ьрь(х),ьрг(х), ...,ьрь(х),... ). Тогда многочлен й-й степени ьдь(х) ортогонаяен произвольному мно- ь гочлену Р„(х) при и = О,..., й — 1. Действительно, многочлен Р„(х) 1 представим в виде Р„(х) = ~„сф~(х), и при й ф к имеют место,, 1 в равенства ь р(х)Фь(х)1Ь„(х) Их = О. а в ь р а у *мб ду~[ ортогонгльные многочлены: Лежандра <[-1, 1], р(х) = 1), Чебышева~ < 1 ~-~,г, и,~ = ),л рр ([о, ~, не =,-*),эр ((-оо,оо), р(х) = е * ). При построении квадратурных формул Гаусса ключевым явля-,'; етсл утверждение: Пусть хм..., х„— кули ортогонального многочленв ф„(х) сте-[ венк и к (1) — квадратуре, тонная длл миогочленов стененк и — 1.

1 Тогда квадратура ~1) будет точна длл мкогочлеиов стенекк 2и — 1.1 Поэтому сам процесс построения может быть разбит на два по-": следовательных этапа: ь — нахождение нулеи ортогонального многочленв, — нахождение весов методом неопределенных к<юффициентов. Приведем оценку погрешности формул Гаусса которая для случая [-1, 1], р(х) ьи 1 имеет вид 2гн+'(и1)4 И ((2и)!)г(2и+ 1) Э 10.

Квад яые и лы ТЪ 10.1. Методом ортогоналюации построить многочлены Лежандра со старшим коэффициентом 1, ортогональиые на отрезке [-1, 1] с весом р(х) = 1. 10.2. Доказать, что ортогональный многочлен степени а имеет ровно и различвык корней на отрезке [а, Ь]. 10.3. Доказвть, что среди всех многочленов степени и вида ь Р„(х) = х" + ... минимальную норму ]]Р„][э = р(х)Рэ(х) ох имеет ортогональный многочлен ф„(х) со старшим коэффициентом 1.

10.4. Для ортогональнык многочленов вида ф„(х) = х" + ... показать справедливость рекуррентнего соотношения ф„(х) = (х+ Ь )4„~(х) — с„4~„э(х) с коэффициентом с„> О. 10.5. Доказать, что ортогональные многочлеаы на симметричном относительно нуля отрезке с четным весом р(х) обладают свойством ф„(-х) = (-1)"4(х). 10.6. Пусть задан отрезок [а, Ь]. Доказать, что при Ь > а > 0 все коэффициенты ортогонального многочлена отличны от нуля.

10.7. Доказать, что нули ортогональнык многочленов с фиксированным на отрезке [а, Ь] весом р(х) > 0 перемежаются, т.е. „(хрй ( (в-') ( ~х(в-0 (хрй (Ь 10.8. Построить квадратуру Гаусса с одним узлом для вьгчислевня интеграла: 1 3 1) 1(7) = хДх) 4х; 2) 1Я = с*ах) Ых. е е 10.9. Построить квадратуру Гаусса с двумя узлами для вычисления интеграла: 1)1(~) = хэ~(х)Их; 2) 1Я = совхУ(х)Их. -1 -ю/э 10.10. Построить квадратуру Гаусса с тремя узлами для вычисления интеграла 1 У(У) = 1( ) 4х . -э Г л а в а Пй Чвслеяное иятег я овавие 10.11.

Доказать, что все коэффициенты квадратуры Гаусса по. ложительны. 10.12. Пусть весовая функция р(х) четна относительно середины, отрезка интегрирования — точки (а+ Ь)/2. Доказать, что узлы ква-~ ь ( дратуры Гаусса для вычисления 1(/) = р(х)/(х) сЬ расположены, О симметрично относительно (а+ 6)/2, а соответствующие симметри ь [ ным узлам коэффициенты квадратуры равны. ) 10.13.

На интервале (-со,со) найти ортогональный многочлен вида Фз(х) = хз + ... цри заданной весовой функции р(х) = ехр(-хэ). 10.14. На отрезке [-1, Ц найти ортогонзльный многочлен вид з„ 1 Фз(х) = хз +... при заданной весовой функции р(х) = ~/Г-~х й 10.15. На отрезке [ — 1, 1] найти ортогонзльный многочлен вида'. Фз(х) =( хз +... пРи заданной весовой фУнкции Р(х) = Я вЂ” х~.

1 10.18. На полуинтервале [О, со) найти ортогональный многочлеиФ вида Фэ(х) = хз+... при заданной весовой функции р(х) = ехр( — х).П 10.1Т. Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами-' Л для вычисления интегралов вида / ип(х) /(х) ~Ь. о 10,18. Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлааф СО для вычисления интегралов вида l ехр( — х) /(х) <Ь. $ 10.19. Построить квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами для вычисления интегралов вида / [ х — -[ /(х) ~Ь.