Бахвалов, Лапин, Чижонков - Численные методы в задачах и упражнениях, страница 9

4 — 4ь При этом оценка погрешности (,1 „)~~~ 00 ~ ~/ — а~~ Ььь! 2 ) не зависит от ы. 12.1. Для приближенного вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций вида 1 юи=/ со~л*~~* о построить методом неопределенных коэффициентов квадратурную формулу с задавнымн узлами Я(/) = с~ /(0) + сг /(1) 12.2. Построить формулу вида (1) для и = 2, И~ = -1, Ир = 1. 12.3.

Построить формулу вида (1) для и = 3, 4 = -1, Ия = О, яз = 3 (формула Филона). 1 12. Ф клин с особенностями 12.4. Построить формулу вида (1) для п = б, с~ = -1, 4 = -0.5, Из = О, А4 = 0.5, Из = 1. 12.$. Показать, что при малых ы полученные в предыдущих задачах формулы неудовлетворительны с точки зрения оценки вычислительной погрешности. Вычисление интегралов от функций с особенностями. Существенную часть реально встречающихся подынтегральных функций составлшот функции с особенностями, причем особенность может содержаться либо в функции, либо в ее производных.

Если нерегулярность функции не вызвана колебательным характером ее поведения, то для вычисления больших серий интегралов такого типа применяется ряд специальных приемов: выделение особенности в весовую функцию, разбиение интеграла на части, аддитивное представление подынтегральной функции, замена переменных и т.д. 1 12.6. Пусть вычисляется интеграл ЦУ) = У(х)бх, причем У(з) о может быть представлена в виде У(х) = д(з)х, где а б (О, 1), д(з) — гладкзл функция, д(0) ~ О. Построить квадратурную формулу вида с оценкой погрешности сопзс шах [д"(х)[.М ~. за[О,О 12.Т.

Пусть вычисляется интеграл юЫ, У б СОО([0,1]), [Л[ ~ 1. Лз+ хе о Показать, что при использовании составной формулы трапеций с по- 1 стоянным шагом Ь = — суммарная погрешность оценивается через Ф 12.6. Для вычисления интеграла Глав а Ш. Чисееииоеиитег и овеиие используется следующая квадратурная формула с постоянным шагом 1 А= —: И' е где (,2 — 1)Ь < С1 < уЬ. Получить оценку погрешности )я ) < сопев. шах ~у'(х)~ м 1. ев[0,1) Г 1пх 1 12.9.

Как вычислять интеграл / — Их по составной квадра- „1 / 1+,2 % о ) турной формуле с постоянным шагом Й, чтобы погрешность имела 1 порядок О (/Р)? 1 Г )ах 12.101 Как вычислять интеграл ( — Их по составной квадра/ 1+х2 о турной формуле с постоянным шагом Ь, чтобы погрешность имела ее порядок О (Ье)? 1 12.11. Как вычисллть интеграл Их, где 6 « 1? у хв+ О2 о 12.12. Предложить квадратурную формулу для вычисления ин- 1 1 1 тегрвла у(х)х в1п(о1х)11х, где а > 1, о1 » 1, ДО) ?В О. о 12.13. Построить квадратурную формулу для вычисления инте- 1 грела / — 1Ь, где Щх)~ < сопев.

Г Дх) $ 1+хе 1 12.14. Построить квадратурную формулу для вычисления инте- ) грала У(х)е '11х, где ~У(х)~ < сопев. о 12.15. Для вычисления интеграла — Их, ф ~~ <1, 1=0,1,2, Дх) х о бб 1 12. Функции с особенностями с точностью е = 10 з построить квадратурную формулу с числом узлов, меньшим 100 (не проводя замену переменных). 12.16. Построить квадратурную формулу для вычисления с точностью 10 4 интегралов вида: при условии, что К'(х) ~ < 1. Глава ЪЧ Матричные вычисления 13.

Векторные и матричные нормы Нормой вектлора х = (хв,...,к„)т называется функционал, обо- значаемый ЦхЦ и удовлетворяющий следующкм условиям: ЦхЦ ) О, если х уЕ О, ЦОЦ = О, ЦахЦ = !а! ЦхЦ, Цх+ уЦ < ЦхЦ + ЦуЦ. Наиболее употребительны следующие нормы: ЦхЦ = щах !я~1, Цх!Ц = ~~ !я~1, ЦхЦз = 1=1 1=1 в ~ч~ Р = ~/(х,х). с1 ЦхЦц < ЦхЦ| < св ЦхЦц.

Нормой матрены А называется функционал, обозначаемый ЦАЦ, и удовлетворяющий следующим условиям: ЦАЦ > О, если А„-ЕО, ЦОЦ =О, Ца АЦ = !а! ЦАЦ, ЦА+ ВЦ < ЦАЦ+ ЦВЦ, ЦАСЦ < ЦАЦ1!СЦ. Пусть задана некоторая векторная норма Ц . Цк. Тогда матрич- ную норму можно определить как операторную: ЦАЦ = вар = впр ЦАхЦк. ЦАхЦк Охб Фе ЦхЦк Цхб Нормы Ц !Ц и Ц Цц называются эквевалеаткьснв, если для всех: х Е Н" справедливы неравенства с одними и теми же положитель-:.

ными постоянными с| и св: 13. Векторяые и ме Н этом случае матричная норма незывеется подчиненное векторной норме й 13.1. Является ли выражение поп Оя~ ~ + 2 яэ), 2~я~ ~ + ~яэ ~) нормой вектора х в Кз ? 13.2. Является ли выражение в шах ~~~ хь$ Фе[О,Ц нормой вектора х в К" ? 13.3. Найти константы эквивалентности, связывающие нормы ))хб, йх$, бх8з, а также вектоРы, на котоРых они достигаютсЯ.

13.4. Доказать, что если С вЂ” симметричная положительно определенная матрица, то ЯТх, х) можно принять за норму вектора х. Найти константы эквивалентности, связывающие зту норму с нормой йх~~з. 13.5. Найти матричные нормы, подчиненные векторным нормам '9 ° боо и б ° бэ. 13.6. Показать, что модуль любого собственного значения матрицы не больше любой ее нормы. 13.7. Пусть А — вещественная (вх ш)-матрица, х — вещественный ш-вектор и у — вещественный и-вектор. Доказать следующие три свойства спектральной нормы." )~ Ц)) ~ тЯ ~ ~~Ат)~ — ~Щ~ ~~АтА~~ ~~ААт)~ ~Щ~~~ 6У6з=~ 13.8.

Пусть А — вещественная прямоугольная матрица. Показать, что умноженне ее справа вли слева на ортогональную матрицу Ч соответствующих размеров не меняет ее спектральную норму. / и 13.8. Используя, что 9А)!д — — шах ~ ~„~а;~~, показать справедлизю1 вость неравыства бАбз э< 9А)Ц~А9 13.10. Рассмотрим функцию от элементов матрицы 8(А) = шах)а;д~. 59 Глава Л/. Ма З»1ЧВСЛЕЕИЯ Показать, что»(А) ве может быть нормой в пространстве матриц (хотя и является нормой вектора в К""в ).

13.11. Доказать, что выражение М(А) = »»(А) является матричной нормой. 13.12. Доказать, что для вектора х = (х1,хз) и Ь > О выраже. ~ХЗ вЂ” Х1) 1 нве Цхй» = шах 1х1~, ~ является нормой. Найти матричную норму, подчиненную этой векторной норме. / в 13.13. Пусть Ф(А) = ~ ~ оЦ .

Показать, что 1:1(АВ) < 1.1в1 < К(А)Ф(В), в нанти константы эквивалентности, связывающие Ф(А) и нормы О 11, 1 ° йз 1. О 13.14. Пусть числа И» > О, й = Т, » . Доказать, что шах (И»~х»~) есть норма вектора х. Нанти норму матрицы, подчиненную этой векторной норме. 13.1$. Пусть числа И» > О, й = Т,». Доказать, что Я сЦх»~ »=1 есть норма вектора х .

Найти норму матрацы, подчвневную этой векторной норме. в 13.16. Пусть числа И» > О, й = 1,». Доказать, что Я И»хз» »=1 есть норма вектора х . Нанти норму матрицы, подчиненную этой векторной норме. 13.17. Доказать, что шах ~~ Я х» есть норма вектора х. 1<1<в ~,~» Нанти норму матрацы, подчиненную атой векторной норме.

13.18. Пусть М(А) = » пшх )а1Я. Найти наилучшие кон-.': 1<в,у<в ставты С1, Сз в матричном неравенстве С1 М(А) < йАЦ < Сз М(А). 13.19. Пусть М(А) = » ° шах ~аО). Найти наилучшие кон- 1<ез<в станты См Сз в матричном неравенстве С1 М(А) < )~А))1 < Сз М(А) . ~ 1/р 13.30. Пусть ОхОр = ~ ~" 1х1~Р), р > 1. Доказать неравенство Рв1 Иенсева: Вх)~р < Ох)~ю 1 < О < р < со. 1 13. Векторные и матричные ворыы 13.21. Доказать, что при х Е Н." справедлвво равенство йп1 [[х[[р = [[х[! 13.22. Доказать, что для любой нормы пространства Н" имеет место утверждевие: х ~ х с=в х~ -т х; Уе' = 1,2,...,п. 13.23. Пусть [! [! — векторная норма в Н"' и А Е Н.

прямоугольная п1 х а матрица. Показать, что если ранг матрицы гапк(А) = и, то [[Ах[! — векторная норма в Но. ~ Че 13.24. Проверить, что [[х[[р — — ~~ [хс!" ~, р > 1, является 1=1 нормой в пространстве С" векторов с комплексными коордиие тами. Показать, что при х Е С" справедливо неравенство [[х[[„< < с([[йе[х[[[р + [Щх[[[р), с = сопес. Найти такую постоянную со, что се([[Не[к[!!я + [[1ш[х][[з) < [[х[[з для всех х Е С".

13.26. Пусть [! . [! — некоторая норма в В". Доказать, что ра[[х[! ° = шах — ' (х, у) [[у[! также задает норму в Н.", называемую двойственной к [! . [!. 13.26. Пусть 1 < р < со и  — любая подматрица квадратной матрицы А. Доказать, что [[В[[р < [[А[[р. 13.2Т.Доказать,чтоесли Р = йа8(41,е(з,...,дь) Е Н. "", где й = = шш(тв,п),то [[Р[[р = шах Щ. 13.28. Пусть  — иевырождеивая матрица, [! [! — некоторая норма в пространстве векторов размерности и.

Доказать, что [[х[[, = = [[Вх[! также является нормой в пространстве векторов. Какая норма в пространстве матрац порождается нормой [[х[[, в пространстве векторов? 13.29. Показать, что если А — певырождевиая матрица, то [[А[! ' = шГ [[Ах[[Дх[!. 13.30. Доказать неравенство [[А!!я < [[А[[1~т[Ат[[1~т для любой кормы А, подчиненной какой-либо векторной норме. 13.31. Доказать, что если А = А1 то [[А[[т = 1пах — ' (Ах, х) хМе ! [х! [тз Г л а в а П~. Мат вчвые вычисления 13.32.

Пусть |! !! — норма в пространстве матриц, подчиненная некоторой норме векторов. Доказать, что для л1обых матриц справедливо неравенство, ЦАВЦ < ЦА! ! ЦВЦ. 13.33. Пу А = Ат > О и ЦхЦл = (Ах х) Доказать что длл произвольного многочлена р (С) степени п1 > О верно равенство Цр„,(А)Цл = Црва(А)Цю 13.34. Пусть А = А1" > О и Е(х) = 1/2(Ах, х) — (Ь, х) — квадра. тичная Функция. Доказать, что: 1) г(х) = 1/2Цх — х Цл 1/2ЦхаЦз где х' — точное решение системы Ах = Ь; 2) равенство В(х') = ппп В(х) выполнено тогда и только тогда, хеВР когда х" — решение системы Ах = Ь; 3) для градиента функции г'(х) справедлива формула арф(х) = Ах — Ъ.